7.8.10Понятие конкретизации процесса с СО

Для процессов с СО можно определить понятие конкретизации, аналогично тому, как это было сделано для обычных процессов с передачей сообщений в параграфе 7.7.1.

Для каждого процесса с СО P знакосочетание Conc(P ) обозначает процесс в исходном смысле данного понятия (см. параграф 2.4), который называется конкретизацией процесса P , и имеет следующие компоненты.

1.Состояниями Conc(P ) являются

•всевозможные означивания из Eval(XP ),

•а также дополнительное состояние s0, которое является начальным в Conc(P )

2.Для

•каждого означивания ξ Eval(XP ), такого, что

–ξ(atP ) = s1, и

–Op открыт на ξ

Conc(P ) содержит переход

ξa - ξ0

если ξ0(atP ) = s2, и имеет место один из следующих случаев:

(a)Op – внутренний, a = τ, и имеет место соотношение

ξOp- ξ0

которое означает следующее: если Op имеет вид

(op1, . . . , opn)

то существует последовательность ξ1, . . . , ξn означиваний из Eval(XP ), такая, что

212

• x XP \ {atP } ξ(x) = ξ1(x), ξ0(x) = ξn(x), и

• i = 2, . . . , n, если opi имеет вид (x := e), то

ξi(x) = ξi−1(e), y XP \{x, atP } ξi(y) = ξi−1(y)

(b)• Op = Op1 · (α ? x) · Op2,

•a = α ? v, где v – произвольное значение из Dt(x),

и

•существуют означивания ξ1 и ξ2 из Eval(XP ), такие, что

ξ Op1- ξ1 , ξ2 Op2- ξ0

ξ2(x) = v, y XP \ {x, atP } ξ2(y) = ξ1(y)

(c)• Op = Op1 · (α ! e) · Op2,

• существует означивание ξ1 из Eval(XP ), такое, что

3.Для

•каждого означивания ξ Eval(XP ), такого, что

ξ(IP ) = 1

• и каждого перехода в Conc(P ) вида ξ a - ξ0

Conc(P ) содержит переход s0 a - ξ0 .

Читателю предлагается самостоятельно исследовать взаимосвязь между

•конкретизацией произвольного процесса с передачей сообщений P , в том смысле, в каком это понятие было определено в параграфе 7.7.1, и

•конкретизацией процесса с СО, полученного в результате редукции процесса P .

213

7.8.11Отношения эквивалентности на процессах с СО

Пусть P1 и P2 – процессы с СО.

Мы будем говорить, что P1 и P2 наблюдаемо эквивалентны, и обозначать этот факт знакосочетанием

P1 ≈ P2

если их конкретизации наблюдаемо эквивалентны (в исходном смысле данного понятия, см. параграф 4.8).

+

Аналогичным образом определяется отношение ≈ наблюдаемой конгруэнции на процессах с СО.

Используя понятие редукции процессов с СО, можно определить ещё одно отношение эквивалентности на множестве процессов с СО. Данное отношение

r

• обозначается символом ≈ , и

• представляет собой минимальную конгруэнцию на множестве процессов с СО, обладающую следующим свойством: если P 0 получается из P в результате применения какоголибо правила редукции, то P ≈r P 0

r

(т.е. ≈ является пересечением всех конгруэнций на множестве процессов с СО, обладающих вышеуказанным свойством).

Читателю предлагается самостоятельно

• исследовать связь операций на процессах с СО с отноше-

+

ниями ≈ и ≈, т.е. установить свойства, аналогичные свойствам, изложенным в параграфах 3.7, 4.5, 4.8.4, 4.9.5

•сформулировать и обосновать необходимые и достаточные условия наблюдаемой эквивалентности процессов с СО, не использующие понятие конкретизации

+r

•исследовать взаимосвязь между отношениями ≈, ≈ и ≈

•найти такие правила редукции, чтобы было верно включе-

ние

r +

≈ ≈

214

7.8.12Метод доказательства наблюдаемой эквивалентности процессов с СО

Один из возможных методов доказательства наблюдаемой эквивалентности процессов с СО основан на излагаемой ниже теореме 34. Для формулировки этой теоремы мы введём вспомогательные понятия и обозначения.

1.Пусть P – процесс с СО.

Составной переход (СП) в P – это (возможно пустая) последовательность CT переходов процесса P вида

•среди Op1, . . . , Opn – не более одного СО ввода или вывода

•определена конкатенация

(. . . (Op1 · Op2) · . . .) · Opn

которую мы будем обозначать тем же символом CT .

Если последовательность (7.24) пуста, то её конкатенацией CT по определению является СО (>?).

Состояние s0 называется началом СП (7.24), а состояние sn – его концом.

Знакосочетание s0 CT- sn является сокращённой записью утверждения о том, что CT – это

•СП с началом s0 и концом sn

•а также – СО, соответствующий этому СП.

2.Пусть ϕ и ψ – формулы.

Знакосочетание ϕ ≤ ψ является сокращённой записью утверждения о том, что формула ϕ → ψ является тождественно истинной.

215

3.Пусть Op = (op1, . . . , opn) – внутренний СО, и ϕ – формула. Знакосочетание Op(ϕ) обозначает формулу, определяемую

рекурсивно:

где opn(ϕ) обозначает формулу, определяемую следующим образом: если opn имеет вид (x := e), то opn(ϕ) получается из ϕ заменой каждого вхождения в неё переменной x на выражение e.

4.Пусть ϕ, ψ – формулы, и Op1, Op2 – СО. Мы будем говорить, что верна диаграмма

ϕ

A B

??

C D

ψ

если выполнено одно из следующих условий.

(a)Op1 и Op2 – внутренние СО, и верно неравенство

ϕ≤ (Op1 · Op2)(ψ)

(b)Op1 и Op2 можно представить в виде конкатенаций

Op1 = Op3 · (α ? x) · Op4

Op2 = Op5 · (α ? y) · Op6

где Op3, Op4, Op5, Op6 – внутренние СО, и верно нера-

венство

ϕ ≤ (Op01 · Op02)(ψ)

где

216

•Op01 = Op3 · (x := z) · Op4

•Op02 = Op5 · (y := z) · Op6

•z – новая переменная (т.е. не входящая в ϕ, ψ, Op1,

Op2)

(c)Op1 и Op2 можно представить в виде конкатенаций

Op1 = Op3 · (α ! e1) · Op4

Op2 = Op5 · (α ! e2) · Op6

где Op3, Op4, Op5, Op6 – внутренние СО, и верно неравенство

Теорема 34.

Пусть P1 и P2 – два процесса с СО:

не имеющие общих состояний и общих переменных.

P1 и P2 находятся в отношении ≈, если существует функция µ вида

µ : SP1 × SP2 → Fm

обладающая следующими свойствами.

217

??

3. Свойство, симметричное предыдущему: для

удовлетворяющая следующим условиям:

(a)имеет место неравенство (7.28)

(b)для каждого i = верна диаграмма

218