то, следовательно, число состояний процесса P 0 не превосходит числа состояний процесса P1.

4.8Наблюдаемая эквивалентность

4.8.1Определение наблюдаемой эквивалентности

Ещё одним вариантом понятия эквивалентности процессов является наблюдаемая эквивалентность. Данное понятие используется в тех ситуациях, когда мы рассматриваем невидимое действие τ как несущественное, и считаем две трассы одинаковыми, если одна может быть получена из другой путём вставок и/или удалений невидимых действий τ.

Для определения понятия наблюдаемой эквивалентности мы введём вспомогательные обозначения.

Пусть P и P 0 – некоторые процессы.

1. Знакосочетание

означает, что

•или P = P 0

•или существует последовательность процессов

P1, . . . , Pn (n ≥ 2)

таких, что

– P1 = P, Pn = P 0

– для каждого i = 1, . . . , n − 1

Pi τ - Pi+1

(4.46) можно интерпретировать как утверждение о том, что процесс P , может незаметным для наблюдателя образом превратиться в процесс P 0.

96

2. Для каждого действия a Act \ {τ} знакосочетание

означает, что существуют процессы P1 и P2 со следующими свойствами:

(4.47) можно интерпретировать как утверждение о том, что процесс P , может

•некоторым образом эволюционировать, так, что внешним проявлением этой эволюции будет лишь исполнение действия a,

•после чего вести себя как процесс P 0.

Если имеет место (4.47), то мы будем говорить, что процесс P может наблюдаемо выполнить a, и после этого вести себя как P 0.

Понятие наблюдаемой эквивалентности основано на следующем понимании эквивалентности процессов: если мы рассматриваем процессы P1 и P2 как эквивалентные, то должны быть выполнены следующие условия.

1.• Если один из этих процессов Pi может незаметно превратиться в некоторый процесс Pi0,

• то и другой процесс Pj (j {1, 2} \ {i}) тоже должен обладать способностью незаметно превратиться в некоторый процесс Pj0, который эквивалентен Pi0.

2.• Если один из этих процессов Pi может

–наблюдаемо выполнить некоторое действие a Act \ {τ},

–и после этого вести себя как некоторый процесс Pi0

• то и другой процесс Pj (j {1, 2} \ {i}) должен обладать способностью

– наблюдаемо выполнить то же действие a,

97

–после чего вести себя как некоторый процесс Pj0, который эквивалентен Pi0.

Используя обозначения (4.46) и (4.47), вышеприведённое неформально описанное понятие наблюдаемой эквивалентности можно выразить равносильным образом как некоторое бинарное отношение µ на множестве всех процессов, обладающее следующими свойствами.

(1)Если (P1, P2) µ, и для некоторого процесса P10 верно утверждение

(2)Симметричное свойство: если (P1, P2) µ, и для некоторого процесса P20 верно утверждение

то должен существовать процесс P10, такой, что выполнены условия

и (4.50).

(3)Если (P1, P2) µ, и для некоторого процесса P10 верно утверждение

то должен существовать процесс P20, такой, что выполнены условия

и (4.50).

98

(4)Симметричное свойство: если (P1, P2) µ, и для некоторого процесса P20 верно утверждение

то должен существовать процесс P10, такой, что выполнены условия

и (4.50).

Заметим, что мы не требуем, чтобы µ было отношением эквивалентности.

Обозначим символом Mτ совокупность всех бинарных отношений, которые обладают вышеприведёнными свойствами.

Множество Mτ непусто: оно содержит, например, диагональное отношение, которое состоит из всех пар вида (P, P ), где P – произвольный процесс.

Как и в случае сильной эквивалентности, встаёт естественный вопрос о том, какое же из отношений, входящих в Mτ , можно использовать для определения понятия наблюдаемой эквивалентности.

Так же, как и в случае сильной эквивалентности, мы предлагаем следующий ответ на этот вопрос: мы будем считать P1 и P2 наблюдаемо эквивалентными в том и только в том случае, когда существует хотя бы одно отношение µ Mτ , которое содержит пару (P1, P2), т.е. искомое отношение наблюдаемой эквивалентности на множестве всех процессов мы определяем как объединение всех отношений из Mτ . Данное отношение обозначается символом ≈.

Нетрудно доказать, что

•≈ Mτ ,

•≈ является отношением эквивалентности, т.к.

–рефлексивность ≈ следует из того, что диагональное отношение принадлежит Mτ ,

–симметричность ≈ следует из того, что если µ Mτ , то µ−1 Mτ

99