4.9.3Логический критерий наблюдаемой конгруэнтности

Логический критерий наблюдаемой конгруэнтности двух процессов получается небольшой модификацией логического критерия наблюдаемой эквивалентности, из параграфа 4.8.2.

Множество формул F m+, используемых в данном критерии, является расширением множества формул F m из параграфа 4.4.2 путём использования дополнительной модальной связки hτ+i:

•каждая формула из F m принадлежит F m+, и

•для каждой формулы ϕ F m знакосочетание

hτ+iϕ

является формулой из множества F m+.

Для каждой формулы ϕ F m+ её значение на процессе P определяется следующим образом.

• Если ϕ F m, то её значение в P определяется так же, как в параграфе 4.8.2.

• Если ϕ = hτ+iψ, где ψ Fm, то

Для каждого процесса P мы будем обозначать знакосочетанием Th+τ (P ) совокупность всех формул из Fm+, которые имеют на этом процессе значение 1.

Теорема 16.

Пусть процессы P1 и P2 конечны. Тогда

Как и в случаях и ≈, представляет интерес задача нахождения по двум заданным процессам P1 и P2 списка формул

ϕ1, . . . , ϕn Fm+

112

+

как можно меньшего размера, таких, что P1 ≈ P2 тогда и только тогда, когда

4.9.4Критерий наблюдаемой конгруэнтности, основанный на понятии НБМ

Введём вспомогательное обозначение. Пусть

•P – процесс вида (S, s0, R), и

•s1, s2 – пара состояний из S.

Тогда знакосочетание

sτ+- s0

означает, что существует последовательность состояний

s1, . . . , sn (n ≥ 2)

такая, что s1 = s, sn = s0, и для каждого i = 1, . . . , n − 1

+

P1 ≈ P2 тогда и только тогда, когда существует отношение

µ S1 × S2

удовлетворяющее следующим условиям.

0.µ – НБМ между P1 и P2

(понятие НБМ изложено в параграфе 4.8.3).

113

существует состояние s01 S1, такое, что

s01 τ+- s01

и (4.68).

Ниже знакосочетание НБМ+ является сокращённой записью фразы

“НБМ, удовлетворяющее условиям 1 и 2 теоремы 17”.

4.9.5Алгебраические свойства наблюдаемой конгруэнции

Теорема 18.

Наблюдаемая конгруэнция действительно является конгру-

+

энцией, т.е. если P1 ≈ P2, то

114

Доказательство.

+

Как было установлено в параграфе 4.9.4, соотношение P1 ≈ P2 эквивалентно тому, что существует НБМ+ µ между P1 и P2. Используя это µ, для обоснования каждого из вышеприведённых соотношений мы построим соответствующее НБМ+.

•Пусть символы s0(1) и s0(2) обозначают начальные состояния a.P1 и a.P2 соответственно.

Тогда отношение

{(s0(1), s0(2))} µ

является НБМ+ между a.P1 и a.P2

•Пусть

–символы s0(1) и s0(2) обозначают начальные состояния P1 + P и P2 + P соответственно, и

–символ S обозначает множество состояний процесса P .

Тогда отношение

{(s0(1), s0(2))} µ IdS

является НБМ+ между P1 + P и P2 + P

•Пусть символ S обозначает множество состояний процесса P . Тогда отношение

{((s1, s), (s2, s)) | (s1, s2) µ, q S}

является НБМ+ между P1|P и P2|P

•Отношение µ является НБМ+

–между P1 \ L и P2 \ L, и

–между P1[f] и P2[f].

115

Теорема 19.

Для любых процессов P1 и P2

Доказательство.

+

Импликация “ ” следует из включения ≈ ≈, и того, что

Докажем, что в этом случае имеет место соотношение

+

P1 ≈ τ.P2

Согласно определению наблюдаемой конгруэнции, надо доказать, что выполнены следующие условия.

(0)P1 ≈ τ.P2.

Это условие следует из (4.70) и (4.69).

(1)Если для некоторого процесса P10 верно утверждение

116

то для некоторого процесса P20 ≈ P10 верно утверждение

Из (4.70), (4.74), и из определения наблюдаемой эквивалентности следует, что для некоторого процесса P20 ≈ P10 верно утверждение

то для некоторого процесса P10 ≈ P20 верно утверждение

P1 τ+- P10

Из определения операции префиксного действия и из (4.77)

следует, что

P20 = P2

Пусть P10 есть в точности тот процесс, который упоминается в предположении (4.72). Из предположения (4.70) следует, что

Сопоставляя (4.79) и (4.73), получаем, P20 = P2, т.е. мы доказали (4.78).

Другая причина, по которой может иметь место (4.71) заключается в том, что

117

• не существует процесса P10 ≈ P20, такого, что

P1 τ+- P10

В этом случае аналогичными рассуждениями можно доказать, что имеет место соотношение

+

τ.P1 ≈ P2

Теорема 20.

+

Отношение ≈ совпадает с отношением

• ≈ – конгруэнция (т.е., в частности, ≈ сохраняет операцию +), и

+

• ≈ ≈.

+

Докажем включение (4.80) ≈. Пусть (P1, P2) (4.80).

Поскольку для каждого процесса P имеет место соотношение

def

то, полагая в (4.81) P = 0, имеем:

Поскольку

• для любого процесса P имеет место свойство

P + 0 P

• и, кроме того, ≈

118

то из (4.82) следует, что

+

Если неверно, что P1 ≈ P2, то из (4.83) по теореме 19 следует, что

+

• либо P1 ≈ τ.P2

+

• либо τ.P1 ≈ P2

Рассмотрим, например, случай

(другой случай разбирается аналогично).

+

Так как ≈ – конгруэнция, то из (4.84) следует, что для любого процесса P

+

Из (4.81), (4.85) и включения ≈ ≈ следует, что для любого процесса P

Докажем, что имеет место соотношение

(4.87) равносильно существованию процесса P20 ≈ P2, такой, что

Выберем произвольное действие b Act \ {τ}, которое не входит в P2 (здесь мы используем предположение из параграфа 2.3 о том, что множество Names, а значит, и множество Act, является бесконечным).

Соотношение (4.86) должно быть верно в случае, когда P имеет вид b.0, т.е. должно быть верно соотношение

119

Так как имеет место соотношение

то из (4.89) по определению отношения ≈ следует, что для некоторого процесса P20 ≈ P2 имеет место соотношение

Случай P2 + b.0 = P20 невозможен, так как процесс в левой части этого равенства содержит действие, которое не содержит процесс в правой части этого равенства. Согласно (4.90), отсюда следует соотношение

Из определения операции + следует, что (4.91) возможно в том и только в том случае, когда имеет место (4.88).

Таким образом, мы доказали, что для некоторого процесса P20 ≈ P2 имеет место (4.88), т.е. мы доказали (4.87).

+

Из (4.84) и (4.87) следует, что P1 ≈ P2.

Теорема 21.

+

≈ является наибольшей конгруэнцией, содержащейся в ≈, т.е. для каждой конгруэнции ν на множестве всех процессов имеет место импликация:

Доказательство.

+

Докажем, что если (P1, P2) ν, то P1 ≈ P2. Пусть (P1, P2) ν. Так как ν – конгруэнция, то

Если ν ≈, то из (4.92) следует, что

+

Согласно теореме 20, из (4.93) следует, что P1 ≈ P2.

Теорема 22.

120

+

Включение ≈ следует

•из включения ≈, и

•из того, что если P1 P2, то данная пара удовлетворяет

+

условиям, изложенным в определении отношения ≈. Отметим, что оба включения в (4.94) – собственные:

+

• a.τ.0 6 a.0, но a.τ.0 ≈ a.0

+

• τ.0 ≈/ 0, но τ.0 ≈ 0

Теорема 23.

1. Если P1 ≈ P2, то для каждого a Act

+

a.P1 ≈ a.P2

В частности, для каждого процесса P

121

Доказательство.

Для каждого из доказываемых соотношений мы построим НМБ+ между его левой и правой частями.

1.Как было установлено в теореме 14 из параграфа 4.8.3, соотношение P1 ≈ P2 эквивалентно тому, что существует НБМ µ между P1 и P2.

Пусть символы s0(1) и s0(2) обозначают начальные состояния a.P1 и a.P2 соответственно.

Тогда отношение

{(s0(1), s0(2))} µ

является НБМ+ между a.P1 и a.P2. (4.95) следует

•из вышедоказанного утверждения, и

•из соотношения τ.P ≈ P , которое верно согласно (4.57).

2.Пусть P имеет вид

P = (S, s0, R)

Обозначим символами S(1) и S(2) дубликаты множества S в процессах P и τ.P соответственно, входящих в левую часть соотношения (4.96). Элементы этих дубликатов мы будем обозначать символами s(1) и s(2) соответственно, где s – произвольный элемент множества S.

Пусть символы s0l и s0r обозначают начальные состояния процессов в левой и правой частях соотношения (4.96) соответственно. Тогда отношение

{(s0l , s0r)} {(s(i), s) | s S, i = 1, 2}

является НБМ+ между левой и правой частями соотношения (4.96).

3.Пусть Pi = (Si, s0i , Ri) (i = 1, 2). Мы можем считать, что S1 ∩ S2 = . Обозначим

122

• символом s0τ начальное состояние процесса

• символом s0 – начальное состояние процесса

Заметим, что (4.100) совпадает с правой частью (4.97).

Левая часть (4.97) сильно эквивалентна процессу P 0, который получается из (4.100) добавлением перехода

s0 a - s02

это легко увидеть при рассмотрении графового представ-

Нетрудно доказать, что процесс P 0 наблюдаемо конгруэнтен процессу (4.100). Множества состояний этих процессов можно рассматривать как дубликаты S(1) и S(2) одного и того же множества S, и НБМ+ между P 0 и (4.100) имеет вид

Поскольку

123

+

• по теореме 22, имеет место включение ≈, и

• (4.100) совпадает с правой частью (4.97),

то мы доказали наблюдаемую конгруэнтность левой и правой частей соотношения (4.97).

4.Рассуждения в данном случае аналогичны рассуждениям

впредыдущем случае. Мы не будем излагать их детально, отметим лишь, что

•левая часть соотношения (4.98) находится в отношении сильной эквивалентности с процессом P 0, графо-

вое представление которой имеет вид

где

–s01 и s02 – начальные состояния процессов P1 и P2,

–s012 – начальное состояние процесса P1 + P2

•правая часть соотношения (4.98), которую мы обозначим символом P 00, получается из P 0 удалением перехо-

дов вида

s0 - s1

124