??

7.8.13Пример доказательства наблюдаемой эквивалентности процессов с СО

В качестве примера использования теоремы 34 докажем наблюдаемую эквивалентность

Bu er 1 ≈ Buf

где

•Bu er 1 – это рассмотренный выше процесс Bu er n (см. (7.23)) при n = 1, т.е. процесс, имеющий вид

его начальное условие – (k = 0) (q = ε), и

• Buf – процесс, имеющий вид

In ? xa Out ! x - b

начальное условие этого процесса = >.

219

Определим функцию µ : {A} × {a, b} → F m следующим образом:

Проверим свойства 1, 2, и 3 для функции µ.

1.Свойство 1 в данном случае представляет собой неравенство

((k = 0) (q = ε)) > ≤ ((k = 0) (q = ε))

которое, очевидно, верно.

2.Проверим свойство 2.

•Для пары (A, a) нам надо рассмотреть лишь левый пе-

реход в процессе Bu er 1 (так как для правого перехода не выполнено условие (7.26)).

В качестве (7.27) мы возьмем совокупность, состоящую из единственного перехода из a в b.

Диаграмма (7.29) в данном случае имеет вид

(k = 0) (q = ε)

Пользуясь тем, что

ϕ, ψ, θ Fm (ϕ ≤ ψ → θ ϕ ψ ≤ θ)

(7.33)

220

запишем неравенство, соответствующее этой диаграмме, в виде

Очевидно, что данное неравенство верно.

•Для пары (A, b) нам надо рассмотреть лишь правый

переход в процессе Bu er 1 (так как для левого перехода не выполнено условие (7.26)).

В качестве (7.27) мы возьмем совокупность, состоящую из единственного перехода из b в a.

Диаграмма (7.29) в данном случае имеет вид

??

(k = 0) (q = ε)

Пользуясь (7.33), запишем неравенство, соответствующее этой диаграмме, в виде

Очевидно, что это неравенство верно.

3. Проверим свойство 3.

221

•Для пары (A, a) и для единственного перехода из a в b в качестве (7.30) мы возьмем совокупность, состоящую из левого перехода из A в A.

Диаграмма (7.31) в данном случае имеет вид (7.32). Как уже было установлено, данная диаграмма верна.

•Для пары (A, b) и для единственного перехода из b в a в качестве (7.30) мы возьмем совокупность, состоящую из правого перехода из A в A.

Диаграмма (7.31) в данном случае имеет вид (7.35). Как уже было установлено, данная диаграмма верна.

7.8.14Дополнительные замечания

Для повышения удобства применения теоремы 34 можно использовать следующие понятия и утверждения.

–если Op – внутренний, то Inv ≤ Op(Inv)

–если Op – СО ввода, и имеет вид Op1 · (α ? x) · Op2, то

Inv ≤ (Op1 · (x := z) · Op2)(Inv)

где z – переменная, не входящая в XP

– если Op – СО вывода, и имеет вид Op1 · (α ! e) · Op2, то

Inv ≤ (Op1 · Op2)(Inv)

С использованием понятия инварианта процесса теорему 34 можно модифицировать следующим образом.

Теорема 35. Пусть

222

• P1 и P2 – два процесса с СО:

Pi = (XPi , IPi , SPi , s0Pi , RPi ) (i = 1, 2)

не имеющие общих состояний и общих переменных, и

•формулы Inv1 и Inv2 являются инвариантами процессов P1 и P2 соответственно.

P1 и P2 находятся в отношении ≈, если существует функция µ вида

существует совокупность СП процесса P2 с началом A2

удовлетворяющая следующим условиям:

(a) имеет место неравенство

223

(b) для каждого i = верна диаграмма

3. Свойство, симметричное предыдущему: для

удовлетворяющая следующим условиям:

(a)имеет место неравенство (7.39)

(b)для каждого i = верна диаграмма

224

Композиция диаграмм

Теорема 36. Пусть

•ϕ, ψ, θ – формулы

•Op1, Op2 – внутренние СО, такие, что верна диаграмма

ϕ

A B

??

C D

ψ

• Op01, Op02 – СО, такие, что верна диаграмма

225