4.7.3Алгоритм минимизации процессов

Описанный в параграфе 4.6.2 алгоритм можно использовать также для решения задачи минимизации конечных процессов, которая заключается в том, чтобы по заданному конечному процессу P построить процесс с наименьшим числом состояний, который сильно эквивалентен P .

Для построения такого процесса сначала строится процесс P 0, получаемый из P удалением недостижимых состояний. Искомый процесс имеет вид P 0 .

Множество состояний процесса P 0 может быть построено, например, следующим образом. Пусть P имеет вид

P = (S, s0, R)

Рассмотрим последовательность подмножеств множества S

определяемую следующим образом.

• для каждого i ≥ 0 множество Si+1 получается добавлением

Поскольку множество S по предположению конечно, то последовательность (4.44) не может неограниченно возрастать. Пусть Si

– тот член последовательности (4.44), на котором эта последовательность стабилизируется. Очевидно, что

•все состояния из Si достижимы, и

•все состояния из S \ Si недостижимы.

Поэтому множеством состояний процесса P 0 является множество

Si.

Пусть S0 - множество состояний процесса P 0. Заметим, что при вычислении отношения µ(P 0, P 0) требуется вычислить не более чем |S0| членов последовательности (4.33). Это верно потому,

94

что в данном случае каждое из отношений в последовательности (4.33) является эквивалентностью (так как если бинарное отношение µ на множестве состояний произвольного процесса является эквивалентностью, то отношение µ0 тоже будет эквивалентностью). Поэтому каждый из членов последовательности (4.33) определяет некоторое разбиение множества S0, и для каждого i ≥ 1, если µi+1 6= µi, то разбиение, соответствующее отношению µi+1, является измельчением разбиения, соответствующего отношению µi. Нетрудно показать, что таких измельчений может быть не больше, чем количество элементов в множестве S0.

Теорема 12.

Процесс P 0 имеет наименьшее число состояний среди всех конечных процессов, которые сильно эквивалентны P .

Доказательство.

Пусть P1 – некоторый конечный процесс, такой, что P1 P . Выделим из P1 достижимую часть P10 и построим процесс (P10) . Как было установлено выше,

P1 P10 (P10)

Кроме того, поскольку P P 0 P 0 и P P1, то, следовательно,

Как было доказано в теореме 11, процессы P 0 и (P10) минимальны. Отсюда и из (4.45) по теореме 10 следует, что процессы P 0 и (P10) изоморфны. В частности, они имеют одинаковое число состояний. Поскольку

•число состояний процесса (P10) не превосходит числа состояний процесса P10, так как состояния процесса (P10) являются классами разбиения множества состояний процесса P10, и

•число состояний процесса P10 не превосходит числа состояний процесса P1, так как множество состояний процесса P10 является подмножеством множества состояний процесса P1,

95