Статы Экзамен / Статы / statukr

Завдяки принципу Паулі енергія і тиск при T 0 не дорівнюють нулю.

5.3. Елементарні збудження в ідеальному електронному газі

Як уже відзначалося, в основному стані електрони ідеального газу заповнюють усі стани в імпульсному просторі, розташовані всередині поверхні Фермі. При збудженні системи електрон із стану під поверхнею Фермі переходить у вільний стан над цією поверхнею. Якщо через p1 позначити імпульс електрона в початковому стані

де E0 – енергія основного стану (5.13). Вираз (5.15) має вигляд суми енергії основного стану і енергії збудження:

Цей вираз можна записати у вигляді:

Доданки у правій частині (5.16) позитивні. Перший доданок називається енергією частинки, а другий – енергією дірки:

150

Таким чином, елементарними збудженнями в електронному газі є частинки над поверхнею Фермі і дірки під поверхнею Фермі. У процесі збудження системи вони народжуються парами.

Якщо збудження слабке, тобто p1 і p2 лежать поблизу

поверхні Фермі, можемо скористатися розкладом енергії збудження в ряд за ступенями p1,2 pF . Тоді

E зб F p2 pF F pF p1 ,

де F pF m – швидкість Фермі. Графік цієї залежності показаний на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Закон дисперсії квазічастинок

Урахування міжелектронної взаємодії в нормальній системі приводить до зміни нахилу прямих на рис. 5.4, а в надпровіднику – до появи щілини в спектрі збуджень.

збудження (рис. 5.5).

151

Електронний газ у цих умовах називається сильно виродженим. Оскільки збудження системи слабке, лише відносно невелика кількість електронів переходить із станів під поверхнею Фермі у стани над поверхнею Фермі. Виникає невелике число частинок і дірок з імпульсами поблизу значення pF . Вони відповідальні за теплоємність.

Теплоємність газу електронів при постійному об’ємі може бути отримана з формули (2.25). Для цього необхідно знати температурну залежність внутрішньої енергії газу (5.12). Оскільки функція розподілу Фермі містить хімічний потенціал електронів, з'ясуємо спочатку, як він залежить від температури.

Для обчислення інтегралів (5.12) скористаємося їхнім розкладом в ряди за ступенями kT F . Цей метод запропо-

нований А. Зоммерфельдом у 1928 році. Відповідний розклад термодинамічних величин називається зоммерфельдівським.

Розглянемо інтеграл:

в околі енергії Фермі. Переходячи в (5.19) до нової змінної інтегрування

154

У першому доданку в правій частині (5.22) ми повернулися до колишньої змінної kTx . Наявність експоненти

вінтегралах (5.22) приводить до того, що помітний внесок

вінтеграли дає лише інтегрування за малими x . Це дозволяє верхню межу в останньому інтегралі вважати рівною нескінченності. Тоді точний вираз (5.22) може бути замінено наближеним:

Оскільки функція за умовою плавно змінюється поблизу межі Фермі, її можна розкласти в ряд Тейлора:

де ми обмежилися лінійними членами розкладу. Штрихом позначена похідна. Підставляючи (5.24) у (5.23), одержуємо розклад інтеграла (5.19) у ряд за ступенями

155

kT :

Зоммерфельдівський розклад (5.25) дозволяє одержати температурну залежність хімічного потенціалу виродженого електронного газу. Для цього скористаємося умовою сталості числа електронів:

N T 0 N T 0 .

Використовуючи (5.25), перепишемо її у вигляді:

Розрахунок внутрішньої енергії (5.12) відрізняється від виконаного вище лише тим, що функція тепер дорів-

нює 3 2 . У результаті

156

Тут E0 – енергія основного стану електронів (5.13). Теплоємність (2.25) дорівнює:

тури теплоємність електронного газу зростає лінійно і в області високих температур kT F досягає класичного

значення (4.18). Мала величина теплоємності (5.28) при низьких температурах пов'язана з тим, що при слабкому збудженні електронного газу лише невелика частина електронів у шарі шириною kT поблизу межі Фермі бере участь у тепловому русі. Інші електрони «заморожені» принципом Паулі.

5.5. Рівняння стану ідеального електронного газу

Великий потенціал електронного газу (5.1) дорівнює:

Підставляючи сюди густину станів (1.20) і виконуючи інтегрування за частинами, одержуємо:

157

Позаінтегральні доданки в (5.30) відсутні. У результаті маємо:

Цей вираз справедливий при будь-якій температурі. Використовуючи (2.94), знаходимо:

У класичному випадку з урахуванням (4.17) одержуємо звідси рівняння Менделєєва – Клапейрона (4.15). В області низьких температур з (5.27) і (5.32) випливає:

де P0 – тиск (5.14) при нульовій температурі. Співвідно-

шення (5.33) являє собою низькотемпературне рівняння стану ідеального електронного газу.

Вільна енергія електронів пов'язана з великим потенціалом співвідношенням (2.91):

F N .

Підставляючи сюди (5.26), (5.31) і (5.27), одержуємо:

158

У результаті ентропія (2.38) виродженого електронного газу дорівнює:

Відповідно до теореми Нернста, ентропія (5.35) дорівнює нулю при нульовій температурі.

Із формули (5.1) диференціюванням за температурою при постійних V і можна одержати точний вираз для

ентропії ідеального фермі-газу:

За умови (5.18) із нього випливає формула (5.35).

5.6. Електронний газ у магнітному полі

Із класичної електродинаміки відомо, що електрон у по-

стійному і однорідному магнітному полі H рухається за гвинтовою лінією, вісь якої збігається з напрямком вектора

H . Вісь z декартової системи координат направимо вздовж цього вектора. У площині x, y електрон виконує

і заряд електрона, c – швидкість світла в порожнечі. У процесі руху енергія електрона і проекція його імпульсу на напрямок поля pz зберігаються.

Задача про квантовий рух електрона в магнітному полі розв’язана Л. Д. Ландау в 1930 році. Якщо векторний по-

159