Статы Экзамен / Статы / statukr

У граничному випадку H=0, = при фіксованому числі електронів з цієї формули одержуємо:

Nm F S ,

2

де F – енергія Фермі двовимірного електронного газу. Ця

формула випливає з (5.12), якщо врахувати вираз для густини електронних станів

mS

2 2

у двовимірному випадку. Остання легко може бути отримана із загальної формули (1.17).

5.8.Розподіл Бозе – Ейнштейна

Уцьому підрозділі ми одержимо функцію розподілу частинок за станами в ідеальному бозе-газі. Як і у випадку

p і спіновим квантовим числом : i p, . Спін частин-

ки s 0, 1, 2, ... має g 2s 1 орієнтацій у просторі. Оскільки бозони не підкоряються принципу Паулі, числа заповнення ni одночастинкових станів можуть мати будь-які цілочисельні значення: ni 0, 1, 2, ... Закон дисперсії час-

тинки, як і раніше, будемо вважати параболічним (1.2). Щоб знайти середнє число бозонів ni у стані i , застосу-

ємо до частинок у цьому стані великий канонічний розподіл Гіббса. Їхня енергія дорівнює ni i , де i – енергія

однієї частинки. Великий потенціал (3.5) цих частинок дорівнює:

190

ni 0

Сума, що входить сюди, являє собою геометричну прогресію зі знаменником

exp i .

kT

Вона сходиться, якщо

Таким чином, хімічний потенціал ідеального бозе-газу не може бути позитивним. Виконуючи в (5.86) підсумовування, одержуємо

Великий потенціал усього газу дорівнює

Середнє число частинок у стані i знаходимо за допомогою формули (2.93):

Цей вираз називається функцією розподілу Бозе – Ейнштейна.

191

розподіл (5.90) переходить у класичний розподіл Больцмана (4.26). Підставляючи в цю нерівність хімпотенціал (4.22), перепишемо його у вигляді (5.5). Як і у випадку фер- мі-газу, квантовий розподіл (5.90) переходить у класичний (4.26), якщо теплова довжина хвилі де Бройля частинки

Якщо воно фіксоване, це рівняння дозволяє визначити хімічний потенціал бозонів як функцію густини і темпера-

тільки через енергію, суми (5.89) і (5.91) можуть бути замінені інтегралами за вже відомим правилом:

де – густина станів (1.20). Вона визначається законом дисперсії частинки (1.2).

5.9. Бозе-ейнштейнівська конденсація

Оскільки бозони не підкоряються принципу Паулі, при нульовій температурі усі вони перебувають у стані з нульовим імпульсом. Координати кожної частинки при цьому цілком не визначені. Частинка з рівною імовірністю може бути знайдена в будь-якій точці конфігураційного простору. Сукупність частинок у стані з нульовим імпульсом називається бозе-ейнштейнівським конденсатом. З'ясуємо,

192

як утворюється конденсат при зменшенні температури бозе-газу.

Якщо температура настільки висока, що газ підкоряється законам класичної статистики, розподіл частинок в імпуль-

зменшується відповідно до формули Максвелла (4.3). Коли

починають накопичуватися в стані з нульовим імпульсом. При T T0 число частинок у нескінченно малому елементі

об’єму імпульсного простору на початку координат нескінченно мале. Якщо ж T T0 , це число виявляється обмеже-

вони виявляються в конденсаті. Утворення конденсату – квантовий ефект. Тому для з'ясування природи температури T0 необхідно порівняти теплову довжину хвилі де Брой-

ними. Якщо T T0 , довжина хвилі де Бройля мала у порів-

нянні з відстанню між частинками. У цьому випадку квантовими ефектами можна знехтувати. Якщо ж T T0 , ці дов-

жини зрівнюються, і рух частинок необхідно описувати законами квантової механіки. З умови

одержуємо

193

нерівність (5.87). Припустимо, що густина частинок фіксована, і будемо поступово знижувати температуру. Тоді

у (5.94) стає максимальним. Це відбувається при деякій кінцевій температурі T0 . Вона не може дорівнювати нулю,

тому що тоді рівність (5.94) буде порушено. Із (5.94) одержуємо рівняння для T0 :

194

Видно, що цей вираз за порядком величини збігається з отриманим вище виразом (5.93).

При T T0 рівняння (5.94) уже не виконується ні при якому 0 . Справа в тім, що при переході від (5.91) до (5.94) врахована густина станів . Вона зникає в точці 0 , тим часом як саме в цій точці накопичуються частинки при T T0 . Функція розподілу частинок за енергією з густиною станів (1.20) справедлива лише для станів

Тоді число частинок у станах 0 (надконденсатні частинки) при T T0 дорівнює:

195

Зменшення енергії газу (5.100) у порівнянні з класичним значенням (4.17) обумовлене існуванням конденсату, який не дає внеску в енергію.

Диференціюючи (5.100) за температурою, одержуємо теплоємність газу при постійному об’ємі:

При зниженні температури вона зменшується за законом

показаний на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Теплоємність бозе-газу

Якщо T T0 , теплоємність досягає класичного значення

(4.18).

Якщо у формулі (5.89) врахувати правило (5.92), великий потенціал ідеального бозе-газу може бути записаний у вигляді:

197

Виконуючи тут інтегрування за частинами, одержуємо:

23 E .

Це співвідношення збігається з (5.31) і справедливе при будь-якій температурі. З урахуванням (2.94) знаходимо:

PV 23 E .

Підставляючи сюди (5.100) і з огляду на (5.95), переконаємося в тому, що при T T0 тиск бозе-газу не залежить від

об’єму. Це означає, що його стисливість стає нескінченною.

Відповідно до теореми Нернста, вона стає рівною нулю при нульовій температурі.

З формул (2.93) і (5.89) легко одержати наступний точний вираз для ентропії ідеального бозе-газу:

i

справедливий при будь-яких температурах.

5.11. Чорне випромінювання

Розглянемо порожнину в тілі. Оскільки атоми тіла випромінюють і поглинають електромагнітні хвилі, порож-

198

нина буде наповнена електромагнітним випромінюванням. Випромінювання, яке перебуває в рівновазі з речовиною, називається чорним, або рівноважним, випромінюванням. Як і речовина, воно має деяку температуру T .

Електромагнітне поле в порожнині можна розглядати як суперпозицію плоских монохроматичних хвиль:

та. Електромагнітні хвилі у вакуумі поперечні. Отже, плос-

для хвиль з будь-яким значенням j . Тут c – швидкість

світла у вакуумі. Із формули (5.101) видно, що ізочастотними поверхнями в просторі хвильових векторів є сфери

радіуса c . Наявність меж порожнини приводить до того,

що хвильові вектори і частоти хвиль дискретні. Хвилю

з даним q можна зіставити в просторі хвильових векторів з коміркою об’ємом

2 3 ,

V

де V – об’єм порожнини. Отже, число хвиль в об’ємі d 3q q -простору дорівнює:

199