Статы Экзамен / Статы / statukr

У першому доданку в правій частині цього виразу усереднюється адитивна величина, а в другому – бінарна. Такі середні розглядалися в підрозділі 6.2. Використовуючи формули (6.9) і (6.12), придатні для будь-яких адитивних і бінарних величин, знаходимо

де – введена в підрозділі 6.1 радіальна функція розподілу. Підставляючи (7.50) у (7.49), одержуємо

стають статистично незалежними, функція v прямує до нуля, а – до одиниці.

Дисперсія числа частинок N0 2 у виділеному в си-

стемі об’ємі V0 дорівнює

N0 2 d 3r1 d 3r2 n r1 n r2 ,

де інтегрування виконується за об’ємом V0 . Підставляючи сюди (7.51), знаходимо

260

Вхідний у цю формулу інтеграл виразимо через ізотермічну стисливість. З цією метою використовуємо отриманий у підрозділі 7.4 вираз для дисперсії числа частинок у виділеному об’ємі V0 . Тоді (7.53) можна записати у вигляді

v 0 , з формули (7.53) випливає отриманий у підрозділі 7.1 вираз для дисперсії числа частинок в ідеальному газі:

N0 2 nV0.

Розкладемо флуктуючу густину (7.48) у ряд Фур'є:

261

де N – число частинок в об’ємі V ,

v q d 3rv r e iqr

– компонента Фур'є функції v r . Тут ми врахували (7.51) і перейшли від інтегрування за r1 і r2 до інтегрування за

r1 r2 і r2 .

Нехай повний об’єм системи V і її температура T фіксовані. Тоді мінімальна робота, необхідна для відхилення системи від стану рівноваги, дорівнює

Rmin FП ,

де FП – зміна повної вільної енергії системи. Згідно

з (7.13) імовірність такого відхилення в результаті флуктуацій дорівнює

Зміну вільної енергії тіла, обумовлену флуктуаціями густини, представимо у вигляді

де – друга варіаційна похідна від FП за n. Переходя-

чи в (7.60) до компонентів Фур'є і враховуючи (7.57), знаходимо

де q – фур'є-компонента функції r .

Підставляючи (7.61) у (7.59), одержуємо імовірність флуктуації у вигляді

262

Звідси видно, що флуктуації різних компонентів Фур'є nq статистично незалежні і є гауссівськими. Згідно з (7.57),

і q ), тому розподіл імовірностей флуктуацій nq дається виразом

Якщо врахувати, що

nq 2 Re nq 2 Im nq 2

– сума квадратів двох незалежних величин, і порівняти формулу (7.62) з (7.5), одержимо дисперсію флуктуючої величини nq :

Порівнюючи цей вираз з (7.58), знаходимо

Ця формула дозволяє одержати радіальну функцію розподілу (7.52), якщо відома функція q .

Зміну вільної енергії тіла представимо у вигляді інтеграла за об’ємом:

263

де f r – флуктуюча густина вільної енергії, f – її середнє значення. Воно постійне вздовж тіла. При малих флуктуаціях розкладемо f r f в ряд за ступенями відхилення (7.48) густини від середнього значення. Лінійний член розкладу пропорційний n r . При інтегруванні за об’ємом він дає нуль, тому що

d 3rn r n V .

Квадратичний член дорівнює

де друга похідна від густини вільної енергії обчислюється у стані рівноваги. Оскільки f стосується одиниці об’єму

речовини, то

fn

– хімічний потенціал. Отже,

Але при T const маємо

d 1n dP.

Тому

264

Підставляючи (7.66) з урахуванням (7.67) у (7.65) і переходячи до компонентів Фур'є (7.56), одержуємо

Порівняння цієї формули з (7.61) дає

де 1n – питомий об’єм. Компонента Фур'є q у розглянутому наближенні виявилася незалежною від q. Це означає, що у формулі (7.61) виконаний розклад q в ряд за ступенями q і в цьому розкладі залишений головний член 0 (7.69). Іншими словами, вирази (7.65) і (7.66) дозволяють розглянути лише довгохвильові флуктуації густини. Члени порядку q2 при розкладі q бу-

дуть ураховані нижче. Отримані в цьому підрозділі співвідношення будуть використані в теорії фазових переходів.

7.9. Узагальнена сприйнятливість

Щоб пов'язати флуктуації з дисипацією енергії в системі, розглянемо її реакцію на змінне зовнішнє поле. Гамільтонову функцію системи представимо у вигляді

враховує взаємодію системи із заданим зовнішнім полем. Нехай V залежить від часу за законом

265

де x – деяка величина, яка характеризує систему, f t – задана функція часу. У квантовій теорії H (7.70) необхідно

замінити оператором Гамільтона ˆ системи, а – ерміто-

H x

вим оператором xˆ. Наприклад, розглянемо взаємодію системи заряджених частинок із змінним електричним полемt . Гамільтоніан взаємодії дорівнює

ˆ

P t ,

де ˆ – оператор електричного дипольного моменту систе-

P

ми. Гамільтоніан взаємодії магнетика із змінним магнітним полем H t дорівнює

ˆ

MH t ,

де ˆ – оператор магнітного моменту.

M

Будемо вважати, що в момент t система знаходилася у стані рівноваги, а середнє значення x дорівнювало нулю. У цей момент включається зовнішнє поле. Воно виводить систему зі стану рівноваги. З'являється середнє зна-

чення x t , індуковане зовнішнім полем. Воно є відгуком

системи на зовнішнє поле. Якщо поле слабке, зв'язок між відгуком x і причиною f , яка викликає цей відгук, буде

лінійним. Ми розглянемо випадок, коли цей зв'язок однорідний. Якщо f 0, відгук x відсутній. Крім того, цей

зв'язок повинен задовольняти принцип причинності. Причина повинна передувати наслідку. Це означає, що зв'язок між x і f повинен бути таким:

266

У цьому співвідношенні вважається, що зв'язок x з f нелокальний. Значення x у момент t визначається значеннями f в усі попередні моменти часу. У наступному підрозділі буде показано, що функція , яка входить у (7.72),

зображується рівноважним середнім типу (7.27). Вона залежить від різниці часів t t . Принцип причинності вимагає,

щоб t t 0. Переходячи в (7.72) до нової змінної інте-

Величини xt , t , f t , які входять у (7.72), предста-

вимо у вигляді інтегралів Фур'є. Тоді з (7.72) випливає, що фур'є-компоненти цих функцій пов'язані співвідношенням

Ця функція називається узагальненою сприйнятливістю.

де і – дійсна і уявна частини . Підставляючи

(7.77) у (7.76), одержуємо

267

, . (7.78)

Таким чином, – парна функція частоти, а –

непарна.

У співвідношенні (7.75) змінна дійсна. Однак корисно вийти за межі дійсної осі і розглядати аналітичні властивості узагальненої сприйнятливості в комплексній площині частоти. Оскільки i , одержуємо

ei t ei t e t .

Тоді з (7.75) і обмеженості t при t 0 випливає, що функція регулярна у верхній напівплощині комплек-

сної частоти. Цей результат є наслідком інтегрування в (7.75) за напіввіссю t 0 , тобто принципу причинності. У нижній -напівплощині вираз (7.75) непридатний, тому що має там особливості. Щоб одержати у ниж-

ній напівплощині, необхідно здійснити аналітичне продовження інтеграла (7.75) з області Im 0 в область

Im 0.

З регулярності узагальненої сприйнятливості в області Im 0 (або принципу причинності) випливають важливі

співвідношення між функціями і . Щоб одержати їх, розглянемо функцію

,

де – фіксована дійсна частота. Ця функція регулярна усередині контуру C у площині , показаного на рис. 7.3.

268