На цьому рисунку зображений графік залежності функції
2AM 4BM 3 від намагніченості при різних температурах. Горизонтальна штрихова лінія проходить на висоті H від осі абсцис. Абсциси точок перетину штрихової лінії із суцільними є коренями M T , H рівняння (8.65). З рисунка
видно, що при T Tc намагніченість збільшується з ростом поля. Її напрямок збігається з напрямком вектора H . Якщо
ж T T |
і 0 H |
2 |
|
A |
|
32 |
B 12 , рівняння (8.65) має три |
|
|
|
|
|
c |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
корені: |
M1 M2 M3. |
Корінь M1 відповідає метастабіль- |
ній фазі з антипаралельними векторами H і M . Корінь M 2 знаходиться в області абсолютної нестійкості магнетика, аналогічної ділянці ab ізотерми Ван-дер-Ваальса на
рис. 8.5. Дійсно, на ділянці ab кривої на рис. 8.15 намагні- |
ченість зменшується з ростом поля, тобто |
M H |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
З іншого боку, диференціюючи рівняння (8.65) за M і H , |
одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Ф |
M |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
H |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ,H |
|
|
|
|
|
|
|
Звідси видно, що на ділянці |
|
|
2 |
|
|
0, |
тобто |
ab |
Ф |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ,H |
|
|
потенціал Ф має на цій ділянці не мінімум, а максимум. Лише корінь M3 відповідає стійкому стану магнетика. Від-
значимо, що коли при фіксованій температурі T Tc змі-
нювати поле, то |
при |
проходженні ним |
значення |
H 0 |
виникає фазовий |
перехід першого роду. |
У точці T Tc , |
H 0 знаходяться в |
рівновазі одна з |
одною дві |
фази |
з протилежними за знаком значеннями параметра порядку
(8.64).
Розглянемо окремі випадки розв’язку рівняння (8.65).
Випадок H 0 уже був розглянутий вище: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a |
Tc T |
|
2 , |
T Tc , |
|
M |
|
|
|
(8.67) |
|
|
|
|
|
|
|
s |
2B |
|
|
|
T Tc . |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
Тут M s – спонтанна намагніченість. Критичний показник
12.
Нехай різниця T Tc мала, але скінченна, а поле H
слабке. Тоді, знехтуючи в області T Tc маємо
M
в рівнянні (8.65) членом M 3,
Це відомий закон Кюрі – Вейсса для намагніченості, індукованої полем. З нього випливає нижня рівність у формулі (8.66). Для розв’язання рівняння (8.65) в області T Tc
покладемо M Ms M , де M s – значення намагніченості (8.67) за відсутності поля, а M Ms . Тоді, обмежуючись у рівнянні (8.65) членами M , одержуємо
M |
a |
T |
T 12 |
|
H |
. |
(8.69) |
|
|
|
|
c |
|
|
4a Tc T |
|
|
|
2B |
|
|
|
|
|
У слабкому полі другий доданок у цьому виразі малий у порівнянні з першим.
Нехай тепер поле H мале, але скінченне, а T Tc.
У самій точці Кюрі з формули (8.65) одержуємо рівняння критичної ізотерми:
Отже, критичний показник 3. |
Скористаємося розкла- |
дом намагніченості в ряд за степенями T Tc : |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
3 |
... |
|
|
|
|
|
M Mc Mc T Tc |
2 |
Mc T Tc |
|
6 |
Mc T Tc |
|
|
|
|
|
|
|
|
Штрихами позначені похідні в точці Кюрі. Вони легко обчислюються шляхом диференціювання рівняння (8.65) за температурою. У результаті маємо
M M |
|
|
|
a |
4B 13 |
T T |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
6B |
H |
|
|
|
|
(8.70) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
4B |
T |
Tc |
3 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
648B3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
Графік цієї функції наведений на рис. 8.16. Там же штрихом зображений параметр порядку (8.67) за відсутності поля.
Рис. 8.16. Температурна залежність намагніченості феромагнетика в полі
Оскільки |
магнітний момент системи дорівнює |
M Ф |
, ентропія S і теплоємність C |
H |
рівні |
H |
|
|
|
|
S |
Ф |
aM 2 , |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.71) |
|
CH T |
S |
aT |
M |
2 |
|
T |
T |
, |
|
|
|
|
|
|
де враховано Ф |
M |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо H 0, з формул (8.67) і (8.71) знаходимо стрибок |
теплоємності, рівний a2Tc 2B , при переході через точку
Кюрі. Отже, показник 0. Таким чином, нерівності (8.54) і (8.57) у теорії Ландау перетворюються в рівності.
У випадку T Tc і слабкого поля необхідно скористати-
ся формулою (8.69). Тоді частина теплоємності (8.71), пов'язана з наявністю упорядкування, дорівнює
|
a2 |
T |
a 12 |
H |
|
|
|
H 2 |
|
|
CH |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
. |
|
|
|
T T 32 |
|
8a Tc T |
3 |
|
2B |
|
4 |
2B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
Якщо ж H 0, |
а T Tc , |
використовуємо вираз |
(8.68). |
Тоді одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CH |
|
TH 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2a T T |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
У самій точці Кюрі теплоємність CH дорівнює a2Tc 3B.
Графік залежності CH від температури зображений на
рис. 8.17. Там же штриховою лінією показаний стрибок теплоємності при H 0.
Рис. 8.17. Розмиття стрибка теплоємності феромагнетика в полі
З рисунків 8.16 і 8.17 видно, що в зовнішньому полі параметр порядку відмінний від нуля у всій області температур, а стрибок теплоємності відсутній. Поле знижує симетрію парамагнітної фази, так що різниця між фазами зникає, фазовий перехід «розмивається».
8.13. Флуктуації параметра порядку
Як і в попередніх підрозділах, будемо вважати, що зміна симетрії тіла при фазовому переході другого роду описується одним параметром порядку . Цей параметр флук-
тує. При наближенні до критичної точки інтенсивність флуктуацій зростає. Користуючись теорією Ландау, знайдемо закон цього зростання.
Нехай об’єм V тіла фіксований, а число частинок у ньому флуктує. Тоді великий потенціал неоднорідного тіла, яким воно є за наявності флуктуацій, дорівнює
П d 3r ,
де – густина потенціалу. При фіксованих V , T і флуктуаційне відхилення П цієї величини визначає імовірність флуктуації:
324
Ця формула випливає з (7.13) і (2.98). Відповідно до теореми про малі добавки розклад (8.58) можна написати і для :
Тут 0 – густина великого потенціалу симетричної фази,
aV , b BV , t T Tc , h – зовнішнє поле. Коефіцієнти розкладу (8.73) виражені через T і , а не T і P, як
у формулі (8.58). Розклад (8.58) відноситься до однорідного тіла. За наявності флуктуацій у цьому розкладі необхідно враховувати не тільки різні ступені , але і
ступені його градієнта. Найпростіший член розкладу, який відповідає кубічній симетрії більш симетричної фази,
g 2 , врахований у (8.73). Обмежуючись в цьому
розкладі членом 2 , ми припускаємо, що поблизу
точки Кюрі важливі лише довгохвильові флуктуації параметра порядку. Нижче ми переконаємося в цьому.
Використовуючи формули (8.72) і (8.73), розглянемо флуктуації параметра порядку в симетричній
фазі за відсутності поля. Тут – рівноважне значення
параметра порядку. Якщо поля немає, воно дорівнює нулю. Обмежуючись в (8.73) квадратичними за членами,
одержуємо
П d |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
g |
|
|
|
. |
(8.74) |
|
t |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розкладемо в ряд Фур'є:
Оскільки флуктуація r дійсна, маємо |
|
|
q |
* . |
(8.76) |
|
q |
|
Підстановка (8.75) у (8.74) дає
t gqq * d 3rei q q r .
П q q qq
Тут ми перейшли від підсумовування за q до підсумовування за q і врахували (8.76). Вхідний сюди інтеграл дорівнює
|
r V qq . |
|
|
|
d 3rei q q |
|
|
|
Отже, |
|
|
|
|
|
|
П V t gq2 |
|
q |
|
2 . |
(8.77) |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
З формул (8.72) і (8.77) випливає, що флуктуації різних величин q статистично незалежні. Вони розподілені згід-
но із законом Гаусса (7.5). Середня квадратична флуктуація цієї величини дорівнює
q |
|
2 |
|
kTc |
|
. |
(8.78) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2V t gq2 |
|
|
|
|
|
|
|
Звідси видно, що при t 0 дійсно зростають довгохвильові флуктуації з хвильовими числами
q 
gt .
Відзначимо, що величина g повинна бути позитивною. У протилежному випадку потенціал П не мав би мінімуму при const. При g 0 однорідне тіло нестійке.
З формули (8.78) випливає, що при q 0 |
|
|
2 |
|
kTc |
, |
(8.79) |
|
V |
|
|
|
|
|
де – сприйнятливість (8.66). При наближенні до точки
Кюрі величина (8.79) зростає пропорційно t 1.
Розглянемо флуктуації параметра порядку в несиметричній фазі. Тут , де описується формулою
(8.64). Обмежуючись у розкладі (8.73) квадратичними за
членами, одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П d 3r 2 t |
2 g |
|
|
. |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідси випливає, що середня |
квадратична |
|
флуктуація |
|
q |
|
2 |
при t 0 може бути отримана з формули (8.78) |
|
|
заміною 2 .
Мірою кореляції флуктуацій параметра порядку в точ-
ках r1 і r2 є кореляційна функція |
|
G r1, r2 r1 r2 . |
(8.80) |
Такі функції розглядалися в підрозділі 7.6. Підставимо фур'є-розклад (8.75) у формулу (8.80). Оскільки флуктуації величин q з різними q статистично незалежні, вхідне
у формулу (8.80) середнє відмінне від нуля лише при q q :
G r 
q 2 
eiqr ,
q
де r r1 r2. Підставимо сюди (8.78) і перейдемо до інте-
грування в q -просторі за правилом (5.6). При t 0 знаходимо
G r |
|
kTc |
|
d 3q |
eiqr |
. |
|
2 |
3 |
2 t gq2 |
2 |
|
|
|
Вхідний сюди інтеграл був обчислений у підрозділі 8.6. Він дорівнює
G r |
|
kT |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
c |
|
exp |
|
|
, |
(8.81) |
8 gr |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
(8.82) |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– кореляційний радіус флуктуацій. При t 0 |
множник 2 |
у(8.82) необхідно замінити одиницею.
Зформул (8.81) і (8.82) видно, що кореляція флуктуацій
згасає на відстані rc . При наближенні до точки Кюрі коре-
ляційний радіус зростає пропорційно t 12 . У точці Кюрі він стає нескінченним, а G r 1r , тобто кореляції стають
дальнодіючими. Цей результат справедливий і в тому випадку, коли радіус взаємодії частинок скінченний. Отже, поблизу точки Кюрі кожна частинка зазнає впливу великого числа інших частинок. Такий вплив відчувається не безпосередньо, а через ланцюжок сусідніх частинок.
Сформулюємо умову застосування розглянутої тут теорії, заснованої на розкладі Ландау (8.73). Вимагаємо, щоб середній квадрат флуктуації параметра порядку (8.79), усе-
реднений за кореляційним об’ємом rc3 , був малий у порів-
нянні з його характерним значенням 2 :
З огляду на (8.66) і (8.82), перепишемо цю нерівність у вигляді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T Tc |
|
|
kTc b |
. |
(8.83) |
|
|
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поряд з нерівністю |
|
T Tc |
|
Tc |
вона визначає |
межі за- |
|
|
стосування теорії Ландау. |
Нерівність (8.83) |
отримана |
В. Л. Гінзбургом і А. П. Леванюком у 1959 році. Область температур, обумовлена нерівністю, оберненою (8.83), називається флуктуаційною областю. Вивчення властивостей речовини в цій області – одна з актуальних задач статистичної фізики.
8.14.Модель Ізінга
У1925 році Ізінг запропонував таку модель магнетика. Частинки розташовані у вузлах кристалічної ґратки. Кожна
зних має магнітний момент , який має лише дві орієн-
тації у просторі. Частинки взаємодіють одна з одною. Якщо магнітні моменти у вузлах ґратки з номерами n і n паралельні, енергія їх взаємодії дорівнює Jnn . Якщо
ж моменти антипаралельні, ця енергія дорівнює Jnn . Си-
стема знаходиться в постійному і однорідному магнітному полі H. Тоді її гамільтонова функція дорівнює
E |
|
J |
|
n |
H |
|
|
n |
. |
(8.84) |
|
|
nn n |
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Тут введені змінні n , які ми будемо називати спіновими змінними. Кожна з них набуває лише два значення n 1 для орієнтацій магнітного моменту частинки за полем
