Статы Экзамен / Статы / statukr

Середнє від хронологічного добутку шести польових операторів у (11.80) обчислюється за допомогою теореми Віка. Існує шість способів спарювання трьох операторів знищення з трьома операторами породження:

Тут спарені оператори мають однакові індекси a,b, c. Ви-

рази (11.82) необхідно підсумувати. Потім спарені оператори у кожному доданку необхідно поставити поруч, помно-

живши доданок на 1 P , де P – число перестановок фер-

мієвських операторів, які необхідно при цьому виконати. Заміняючи пари спарених операторів функцією Гріна віль-

них частинок (11.48) і з огляду на вираз n10 1 1 для густини частинок в ідеальному фермі-газі, одержуємо

G0 n0n0 G0 G0 G0

00 1 2 01 20 12

G0 G0 n0 G0 G0 n0

(11.83)

01 10 2 02 20 1

G0 G0 G0 .

02 10 21

Третій і шостий доданки в квадратних дужках (11.83)

420

відрізняються тільки змінними інтегрування. Оскільки V12 V21, їх внесок у поправку (11.83) однаковий. Це

відноситься також до четвертого і п'ятого доданків. У результаті маємо

з діаграмою на площині. Діаграма складається з точок (вузлів, вершин), суцільних і штрихових ліній, петель. Ці елементи зіставляються з окремими множниками у (11.84) за правилами, наведеними на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Правила відповідності між діаграмами Фейнмана і аналітичними виразами

Суцільна лінія між точками 1 і 2 зображує розповсюдження вільної частинки від точки 2 до точки 1, штрихова лінія означає міжчастинкову взаємодію. Петля з одним вузлом 1

зіставляється з густиною частинок n10. Використовуючи ці правила, зіставимо з поправкою (11.84) чотири діаграми на

421

рис. 11.4.

Рис. 11.4. Діаграми Фейнмана для одночастинкової функції Гріна в першому порядку теорії збурень

Такі діаграми були введені вперше в квантовій електродинаміці Р. Фейнманом (1949). Тому вони називаються фейнманівськими діаграмами. Кожна діаграма може бути наглядно витлумачена як деякий процес розповсюдження частинки в системі таких же частинок. Наприклад, діаграма на рис. 11.4 (в) зображує процес розповсюдження вільної частинки від точки 0 до точки 2. У точці 2 вона зазнає акту взаємодії і знову рухається вільно до точки 1. Зазнавши повторно акту взаємодії в точці 1, частинка рухається

потім до точки 0.

Діаграми а і б на рис. 11.4 відповідають таким способам спарювання операторів (11.82), при яких спарюються оператори знищення і породження з індексами 0 і 0 , а оператори, які входять у , спарюються між собою. Такі

діаграми називаються «незв'язними». Діаграми в і г , навпаки, «зв'язні». З формули (11.79) випливає, що внесок не-

зв'язних діаграм у поправку G 1 компенсується, якщо врахувати розклад знаменника

422

Після розкладу видно, що знаки перед інтегралами d 1

0

в чисельнику і знаменнику (11.79) протилежні. Компенсація незв'язних діаграм відбувається у всіх порядках теорії збурень. Отже, необхідно в розкладі функції Гріна враховувати тільки зв'язні діаграми і не звертати уваги на знаменник у (11.78). Це означає, що поправка першого порядку до вільної функції Гріна дорівнює

G0 G0 n0 .

(11.85)

01 10 2

Правила відповідності між аналітичними виразами і діаграмами, наведені на рис. 11.3, необхідно доповнити. А саме, у виразі для поправки до функції Гріна необхідно вико-

нати інтегрування d1, ... за координатами внутрішніх вершин 1, 2, ... Крім того, існує додаткове правило знаків,

зякими доданки входять у поправку (11.85). З формули (11.84) видно, що знак першого доданка в квадратних дужках протилежний знаку інших доданків. Це пов'язано

знаявністю замкнутої електронної петлі з двома вершинами 1 і 2 на рис. 11.4 (а). Можна показати, що внесок діа-

грами будь-якого порядку у G входить зі знаком

1 L , де L – число замкнутих ферміонних петель на

діаграмі з більш ніж однією вершиною. Сформульовані тут правила відповідності залишаються справедливими і у вищих наближеннях теорії збурень. Вони дозволяють

423

написати аналітичний вираз для будь-якої діаграми Фейнмана. Отже, необхідно спочатку зобразити всі діаграми n -го порядку, а потім зіставити їх з аналітичними виразами. При цьому достатньо обмежитися тільки топологічно нееквівалентними діаграмами, тобто такими, які не можна одержати одну з іншої перестановкою операторів V . Прикладами топологічно еквівалентних діаграм є діаграми, які відповідають третьому і шостому, а також четвертому і п'ятому доданкам у формулі (11.83). Заміна двох топологічно еквівалентних діаграм однією

(див. рис. 11.4 (в, г)) компенсує множник 12 у (11.83).

Зв'язні топологічно нееквівалентні діаграми другого порядку зображені на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Діаграми Фейнмана для функції Гріна в другому порядку теорії збурень

До цього моменту ми розглядали правила відповідності між діаграмами і формулами в координатному представленні. Тим часом, в однорідних системах більш зручним виявляється імпульсне представлення функції Гріна. Розглянемо перехід до цього представлення на прикладі першого доданка у формулі (11.85). Вхідні в цю формулу функції Гріна вільних частинок залежать від різниць x x . За

424

цими різницями виконаємо фур'є-розклад (11.19). Розклад Фур'є функції V12 (11.81) має звичайний вигляд

n – парні мацубарівські частоти (11.18). Компонента Фур'є функції (11.86) дорівнює

де q – просторова фур'є-компонента енергії взаємодії двох частинок. Функція (11.87) не залежить від n , тому

що запізнювання міжчастинкової взаємодії не враховується.

Підставляючи розклади (11.19) і (11.86) у перший доданок (11.85), одержуємо

425

грали dx1 dx2 обчислюються згідно з формулою

Як і очікувалось, поправка (11.90) в однорідній рівноважній системі залежить від різниць r r , . Виконуючи

фур'є-перетворення (11.20) за цими різницями, знаходимо

Аналогічно можна показати, що компонента Фур'є другого доданка у формулі (11.85) дорівнює

Поправки (11.91) і (11.92) зіставимо з діаграмами на рис.

11.6.

426

11.7. Власно-енергетична функція

Представивши функцію Гріна системи взаємодіючих електронів у вигляді ряду за степенями електрон-електрон- ної взаємодії, ми приходимо до необхідності підсумувати нескінченне число членів цього ряду. Ця процедура еквівалентна підсумовуванню діаграм Фейнмана. Вона спрощується введенням власно-енергетичної функції.

Діаграми для функції Гріна можна віднести до одного з двох типів. До першого типу відносяться діаграми, які не можна розділити на дві частини шляхом розриву лише однієї внутрішньої суцільної лінії. До цього типу належать діаграми на рис. 11.5 (а-е) і на рис. 11.6. Діаграми на рис. 11.5 (ж-к) належать до другого типу. Їх можна перетворити в більш прості діаграми шляхом розриву однієї внутрішньої електронної лінії. Підсумовуючи доданки у функції Гріна, які відповідають діаграмам першого типу, ми може-

електронним лініям, винести за дужки. Тоді в дужках залишиться деякий множник, який називається власноенергетичною функцією, або масовим оператором. Графічно він зображується сумою всіх діаграм першого типу без вхідної і вихідної електронних ліній. Такі діаграми називаються неприводимими. Діаграми другого типу приводимі. На рис. 11.7 показано декілька діаграм для власноенергетичної функції. Вона позначена буквою p

і зображена колом.

Рис. 11.7. Діаграми для власно-енергетичної функції

428

Якщо точну функцію Гріна G зіставити з подвійною лінією, ряд теорії збурень для неї графічно буде представлений діаграмами на рис. 11.8.

Рис. 11.8. Блочне підсумовування діаграм для функції Гріна

Перший доданок у правій частині зображує G0. Другий до-

данок є сумою всіх неприводимих діаграм. У третьому доданку підсумовані всі приводимі діаграми, які можна розділити на дві неприводимі розривом однієї внутрішньої електронної лінії і т. д. Використовуючи правила відповідності, розглянуті в підрозділі 11.6, одержимо для суми на рис.

Таким чином, для обчислення функції Гріна G необхідно одержати .

Серед діаграм для виділимо ті, у яких одна штрихова

429