|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
SpU t |
|
|
|
|
D z |
|
, z exp |
|
S z |
|
, z , |
|
(12.89) |
|
|
|
z 0 |
|
z t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де тепер ефективна дія дорівнює |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S z , z dt z t |
i |
|
z |
t H z t |
, z t |
, |
(12.90) |
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а міра інтегрування, як і раніше, дається формулою (12.87). Траєкторії в інтегралі (12.89) задовольняють граничну умо-
ву |
|
z 0 |
|
|
z t . Вона належить до бозевських частинок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
У випадку ферміонів z і z є елементами алгебри Грассмана. З формули (12.58) видно, що в цьому випадку грани-
чна умова повинна мати вигляд |
|
z t |
|
|
z 0 . Умову, |
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливу для бозонів і ферміонів, запишемо у такий спосіб:
|
|
|
|
|
|
z t |
|
|
|
z 0 . |
|
|
|
|
(12.91) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формули |
(12.89) |
|
|
і (12.90) |
|
|
дозволяють |
|
одержати слід |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
статистичного оператора exp H . Для цього необхідно |
в (12.89) і (12.90) здійснити заміну it |
. Тоді |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
D z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z=Spe |
|
|
|
|
|
|
, z exp S z |
|
, z , |
(12.92) |
де |
|
|
|
z |
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S z , z d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z H |
z , z |
, |
(12.93) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а міра (12.87) містить dz dz .
Щоб проілюструвати викладений тут метод, розглянемо
систему з одним ступенем свободи. Її гамільтоніан запишемо у вигляді
Він відповідає одновимірному гармонічному осцилятору з частотою , енергія якого відраховується від енергії
нульових коливань. Якщо aˆ і aˆ – ферміївські оператори, то відповідна система є осцилятором Фермі. Амплітуда (12.84) для системи з гамільтоніаном (12.94) дорівнює
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z f |
ˆ |
t |
zi lim |
|
|
2 i |
2 |
|
|
|
|
|
U |
|
dzl dzl |
|
|
|
|
i |
n |
|
n |
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.95) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
zl zl 1 |
|
|
|
zl zl zl 1 |
|
z f |
zn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перші два доданки в показнику експоненти можна представити у вигляді
zl All zl , ll
де A – матриця з елементами
All ll 1 i l,l 1. |
(12.96) |
У подвійній сумі необхідно виділити доданок |
з l 1 |
іl 0, тому що інтегрування за z0 немає. Тоді вираз
(12.95) збігається з інтегралом (12.52), у якому
|
|
|
|
|
1 i z , |
|
u z . |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
n |
|
f |
|
З огляду на граничні умови (12.88), одержуємо |
|
z f |
|
ˆ |
|
zi |
|
|
exp |
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
U t |
|
lim det A |
z f 1 i |
An1 zi . (12.97) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
Детермінант матриці (12.96) дорівнює 1, а елемент
An11 1 i t n n 1 . Використовуючи відоме представлення
показникової функції, при n з формули (12.97) одержуємо
z f |
|
ˆ |
|
zi |
|
e |
i t |
zi . |
|
|
|
U t |
|
exp z f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Слід оператора еволюції дорівнює
ˆ |
|
|
z |
|
ˆ |
t |
|
z |
|
|
|
|
SpU t |
d z |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz dz 2 i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 exp z z z ze i t . |
Тут врахований вираз (12.57) для міри інтегрування і гранична умова (12.91). У випадку ферміонів 1 цей інтеграл обчислюється з використанням правил (12.39):
dz |
|
|
|
|
z 1 |
|
i t |
|
dz |
|
|
|
|
|
z 1 |
|
i t |
|
|
|
dz exp |
z |
|
e |
|
|
|
dz |
1 |
z |
|
e |
|
|
|
1 exp i t .
Увипадку бозонів 1 зручно перейти до
інтегрування в полярних координатах , . Необхідно врахувати, що
x, y i , dz dz 2idxdy 2i d d .
z , z 2
Тоді
dz dz 2 i 1 exp |
|
z |
|
2 1 e i t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
i t |
|
1 e |
i t |
|
1 |
d |
2 |
|
2 |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, слід оператора еволюції ідеальної системи дорівнює
ˆ |
|
i t |
|
(12.98) |
SpU t 1 e |
|
. |
Виконуючи тут заміну it |
і використовуючи форму- |
лу (3.14), знаходимо вільну енергію осцилятора 1
в термостаті:
F 1 ln 1 e .
Якщо врахувати опущений у формулі (12.98) множник |
exp |
2 |
, вона збігається з формулою (4.38), отрима- |
|
|
ною іншим методом. У гамільтоніані (12.94) будемо підрозуміти енергію ферміона, відраховану від хімпо-
тенціала. Тоді з (12.98) і (3.35) одержуємо великий потенціал осцилятора Фермі 1 :
1 ln 1 e .
Цей вираз збігається з (5.1), якщо в залишити лише
i
один доданок.
12.7.Твірний функціонал для функцій Гріна
Уцьому підрозділі ми покажемо, як функції Гріна системи взаємодіючих частинок можуть бути отримані
функціональним диференціюванням деякого функціонала, який називається твірним функціоналом. Для цього додамо
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
до гамільтоніана системи H доданки |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ak |
|
, |
(12.99) |
|
|
ak k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
лінійні за операторами вторинного квантування. Тут ak |
і |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak – мацубарівські оператори знищення і породження |
частинок у стані k, |
k |
і |
– комплексні числа або змінні |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
Грассмана залежно від того, є оператори aˆk і ˆk бозонни- a
ми або ферміонними. Доданки (12.99) вводяться формально для генерації функцій Гріна і кореляційних функцій.
Величини і називаються джерелами бозевських та
фермієвських частинок. У випадку ферміонів не розгля-
k
дається як комплексно спряжена до k величина, а є неза-
лежною змінною Грассмана. Величини і антикомуту-
ють між собою і з операторами вторинного квантування.
З урахуванням (12.99) гамільтоніан системи стає рівним
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
(12.100) |
H H ak k k |
ak . |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
k
Відповідний цьому гамільтоніану температурний оператор еволюції системи в полі джерел дорівнює (див. підрозділ
11.4)
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
. |
(12.101) |
U , 0 |
T exp d H |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Цей оператор функціонально залежить від k |
|
. |
і k |
Він дозволяє ввести твірний |
функціонал Z , |
для |
|
|
|
|
|
|
функцій Гріна:
Представимо цей функціонал у вигляді континуального інтеграла.
Процедура виводу континуального представлення для функціонала (12.102) аналогічна розглянутій у попередньому підрозділі. Тільки тепер гамільтоніан (12.100) містить
джерела і . Підставляючи його у формули (12.92)
|
і (12.93), одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z , |
|
|
|
D |
|
|
z , z |
|
exp S |
|
z , z |
, |
|
|
|
z z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S z , z d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
|
|
|
zk zk k |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
, z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
H z |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D z , z 2 i |
|
|
|
|
2 dzk dzk . |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.103)
(12.104)
(12.105)
Нагадаємо, що інтеграл (12.103) обчислюється з урахуванням граничної умови (12.91). Функцію H z , z отримаємо
ˆ |
заміною |
ˆ |
|
, |
aˆ z, де z |
|
і |
z – |
із оператора H a, aˆ |
a z |
|
|
комплексні змінні у випадку бозонів і генератори алгебри Грассмана у випадку ферміонів. Вони антикомутують з
ˆ
і. Якщо гамільтоніан H квадратичний за операторами
ˆ |
aˆ, то інтеграл (12.103) гауссівський. Він обчислюється |
a , |
за допомогою формули (12.52).
Як приклад розглянемо гамільтоніан вільних частинок
(11.1)
де k – енергія частинки, відрахована від хімпотенціалу. У цьому випадку твірний функціонал (12.103) дорівнює
D z , z
|
|
|
|
|
(12.106) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
k zk zk k k zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей інтеграл можна представити у вигляді (12.51), якщо ввести комбінований матричний індекс k, і записати
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
, k |
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
вільна |
одночастинкова |
функція Гріна |
Тут G0 k , k |
|
|
в k, -представленні. Вона відрізняється знаком від функ-
ції, введеної в розділі 11 (див. рівняння (11.129)). Підставляючи (12.107) у формулу (12.106), переконуємося в тому, що континуальний інтеграл (12.106) точно збігається
з (12.52), якщо ототожнити матрицю G0 1 з A, з , а
з u . У результаті одержуємо
Z0 |
, Z0 0, 0 exp G0 . |
|
(12.108) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 0, 0 det G0 1 , |
|
|
(12.109) |
|
|
|
|
|
|
k2 |
2 . |
|
|
|
d 2 |
|
1 G0 k1 1, k2 2 |
|
G0 d 1 |
k1 |
(12.110) |
0 |
|
0 |
k1k2 |
|
|
|
|
|
Використовуючи фур'є-розклад грінівської функції (11.15), а також розклади
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
k |
|
k s e |
|
s |
, |
k |
|
|
|
k |
s e |
s |
, |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
G0 |
|
k |
s k i s |
|
|
k s , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ks |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де s – непарні або парні мацубарівські частоти (11.16), (11.18) залежно від типу статистики.
При 0, 0 вираз (12.108) повинен збігатися з великою статсумою ідеального газу, а
1 ln Z0
–з великим потенціалом (5.1) або (5.89). Щоб переконатися в цьому, обчислимо
|
1 |
ln Z |
|
|
ln det G 1 |
|
Sp ln G 1. |
(12.111) |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут використана формула
ln det A Spln A,
де A – матриця. Щоб переконатися в її справедливості, до-
сить врахувати, що детермінант і слід матриці є її інваріантами. Це дозволяє перейти до представлення, в якому матриця A діагональна. У цьому представленні ця формула стає очевидною. Якщо врахувати визначення (11.9) хронологічного добутку при часах, що збігаються, вираз (12.111) можна записати так:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln G 1 |
|
k . |
|
ln Z |
|
|
lim |
d |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представимо функцію G 1 у вигляді ряду Фур'є (11.15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln Z0 |
|
|
lim |
|
ln k i s ei s . |
(12.112) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ks |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут s |
– непарні або парні мацубарівські частоти. |
|
Для |
|
обчислення |
суми |
|
за |
частотами, яка |
входить |
у (12.112), розглянемо контурний інтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
ez |
|
|
|
ln k z . |
(12.113) |
|
|
|
|
|
|
2 i e z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контур C складається з двох вертикальних прямих на рис. 12.1, які охоплюють полюси функції e z 1 в точках
zs i s .
Рис. 12.1. Контур інтегрування в інтегралі (12.113)
Гілка логарифма фіксована так, щоб на інтервалі 0, k вона набувала значення ln k , де Re z. Розріз з'єд-
нує точки k і . Лишок функції e z 1 в полюсі zs
дорівнює . Отже, згідно з теоремою Коші, інтеграл
(12.113) такий:
ezs ln k zs .
s
Це дозволяє записати вираз (12.112) у вигляді
|
1 |
ln Z |
|
lim |
|
dz ez |
ln |
|
z . |
|
0 |
|
|
|
k |
|
2 i e z |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
k C |
|
|
|
|
|
|
Підінтегральна функція дає можливість деформувати контур так, як показано на рис. 12.1. Обрана гілка логарифма на верхньому і нижньому берегах розрізу набуває значення ln k i . Оскільки при переході з верхнього берега
на нижній логарифм здобуває доданок 2 i, сума інтегралів за берегами розрізу дорівнює
499
