Статы Экзамен / Статы / statukr
.pdfпохідної
aRk a1...an
число ak необхідно поставити після an і опустити. Наприклад,
L p , |
|
p p , |
L |
p , |
|
p p , |
|||
|
1 |
12 |
|
|
|
2 |
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R p , |
|
p p , |
R |
p , |
|
p p . |
|||
|
1 |
12 |
|
|
|
2 |
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко показати, що ліві і праві похідні комутують між собою, а однойменні похідні антикомутують.
Визначимо тепер інтеграл на алгебрі Грассмана
dap a , |
(12.37) |
де p a p0 p1a – елемент алгебри G1. Оскільки генера- |
|
тор a не можна розглядати як неперервну змінну, інтеграл (12.37) не є площею під «кривою» p a , і нема рації
вказувати границі інтегрування. Вимагаємо, щоб інтеграл (12.37) задовольняв вимоги лінійності і трансляційної інваріантності:
|
|
|
|
|
dap a |
|
daq a , |
|
|
da |
p a q a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.38) |
|
|
|
dap a dap a b , |
|
|
|
||
де a,b, p, q – елементи алгебри G1 , і |
|
– комплексні |
||||||
числа. Число b не залежить від a . Умови (12.38) будуть виконані, якщо
da 0, daa 1. (12.39)
Звідси і з (12.35) випливають рівності
470
|
d p , |
|
p p L p, |
|||||
|
|
1 |
12 |
|
||||
|
d p , |
|
p p L p. |
|||||
|
|
|
2 |
12 |
|
|||
Розглянемо алгебру G2 , утворену генераторами a1 і a2. Визначимо подвійний інтеграл як повторний
da1 da2 p a1, a2 ,
де p – елемент алгебри G2 . Зажадаємо, щоб «нескінченно
малі» |
грассманові числа da1, |
da2 |
антикомутували один |
з одним і з усіма «скінченними» числами Грассмана: |
|||
|
dai , dak 0, |
dai , ak 0. |
|
Тоді |
для чотирьох незалежних |
функцій 1, a1, a2 , a1a2 |
|
зурахуванням правил (12.39) одержимо
da1 da2 0,
da1 da2 a1 da1a1 da2 da2 0,
da1 da2 a2 da1 0 ,
da1 da2 a1a2 da1 da2a2a1 da1a1 1.
Ясно, що в інтеграл
da1 da2... dan p a1,..., an
відмінний від нуля внесок дає лише член a1a2...an у розкладі (12.34). Зокрема,
da1... danai1 ...ain 1 P , |
(12.40) |
де P – парність перестановки
471
i |
... |
i |
|
|
|
1 |
|
n |
. |
|
n |
... |
1 |
|
Вибір генераторів алгебри Грассмана неоднозначний. Перейдемо в інтегралі (12.40) до інших змінних інтегрування. Нехай старі генератори ai пов'язані з новими bi
лінійними співвідношеннями
n |
|
bi Bik ak , |
(12.41) |
k 1
де B – несингулярна c -числова матриця. Обернене перетворення має вигляд
ai Bik1bk .
k |
|
Єдиним незалежним n -кратним інтегралом у Gn |
є |
da1... dan an...a1 1. |
(12.42) |
Аналогічно для нових генераторів bi також повинна виконуватися рівність
db1... dbn bn...b1 1. |
(12.43) |
З огляду на (12.41), одержуємо |
|
bn...b1 det B an...a1. |
(12.44) |
Таким чином, інтеграли (12.42) і (12.43) збігаються, якщо виконується рівність
db1...dbn |
1 |
da1...dan. |
(12.45) |
|
|
||||
det B |
||||
|
|
|
Часто доводиться мати справу з інтегралом від експоненти:
472
da1 da2e a1a2 da1 da2 |
1 a1a2 |
|
da1 da2 a1a2 . |
|
(12.46) |
|
|
Тут – комплексне число. Розглянемо 2n-кратний гауссівський інтеграл
|
I |
|
da da ...da da |
|
|
n |
a A a |
|
|
|
|
||
|
|
exp |
|
, |
(12.47) |
||||||||
|
|
1 1 |
n n |
|
|
i ik k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
де |
a , a ,..., a , a |
– незалежні генератори алгебри G |
|
, A |
– |
||||||||
|
1 1 |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
c -числова матриця n n. Припустимо, що вона діагоналізується за допомогою перетворення
|
|
Bik Akl Blm1 i im , |
|
|
|
(12.48) |
|||||
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де i |
– її власні числа. Введемо нові грассманові генерато- |
||||||||||
ри bi , bi , пов'язані зі старими співвідношеннями |
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
bi Bik ak , |
|
bi B 1 |
ak . |
|
(12.49) |
||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут |
знаком |
позначена |
транспонована |
|
матриця. Тоді |
||||||
з (12.45) випливає |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
db db ...db db |
|
|
1 |
|
da da ...da da |
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
1 1 |
n n |
|
det B det B 1 |
1 1 |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
da1 da1...dandan .
Зогляду на (12.48) і (12.49), одержуємо
ai Aik ak ibi bi .
ik |
i |
Отже, інтеграл (12.47) дорівнює
473
I dbi dbi exp ibi bi i det A, |
(12.50) |
|
i |
i |
|
де враховане значення інтеграла (12.46). Відзначимо, що інтеграл (12.47) за дійсними змінними був обчислений у підрозділі 7.2. Однак там детермінант матриці A виявився не в чисельнику, а в знаменнику.
Обчислимо 2n-кратний інтеграл
|
dz dz |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
exp z |
|
Az u |
|
z z . |
(12.51) |
1 |
|
|
|
|||||
l 1 |
2 i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут z |
|
|
All zl , |
u |
|
|
zl , |
|
|
A – не- |
|
Az zl |
|
z ul |
z zl l , |
||||||
|
|
ll |
|
|
|
l |
|
|
l |
|
сингулярна c -числова матриця, 1 для бозонів і 1
для ферміонів. У випадку бозонів z, z ,u , – комплексні
числа. Якщо ж розглядається система ферміонів, ці величини є елементами алгебри Грассмана. Форма
Bz , z z Az u z z
упоказнику експоненти (12.51) має мінімум при
zm A 1 , |
zm u A 1. |
У мінімумі |
|
B |
u A 1 . |
m |
|
Отже,
B z , z Bm z zm A z zm .
Підставимо цей вираз у (12.51) і зсунемо змінні інтегрування. При цьому міра інтегрування не змінюється. З огляду на (12.50) і значення аналогічного інтеграла в підрозділі 7.2, одержуємо
474
|
dz dz |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l l |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
exp z |
|
Az u |
|
z z |
l 1 |
2 i |
2 |
|
|
|
(12.52) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp u A 1 . |
|
|
|
|
||
det A |
|
|
|
|
||||
Повернемося до когерентних станів фермі-системи з одним ступенем свободи. За аналогією з (12.9) вони визначаються співвідношеннями
z
exp aˆ z 0
0
aˆ z 0
,
(12.53)
z 
0 exp z aˆ 
0 
0 z aˆ.
Вважається, що оператори вторинного квантування aˆ, aˆ
антикомутують з числами Грассмана. Вектори (12.53) задовольняють рівняння (12.31).
Перекриття двох когерентних станів фермі-системи легко одержати з (12.53):
z |
|
z 1 z z exp z z . |
(12.54) |
|||||
|
||||||||
Умова повноти когерентних станів має вигляд |
|
|||||||
|
|
d z |
|
z |
z |
|
1, |
(12.55) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
де |
|
|
|
|
||||
d z dz dz exp z z . |
(12.56) |
|||||||
Це співвідношення легко перевірити, якщо врахувати (12.53), правила інтегрування (12.39) і умову повноти
у просторі Фока |
|
0 0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 . Поєднуючи формули |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.18) і (12.56), одержуємо для міри інтегрування вираз
475
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
d z 2 i 2 |
|
z |
z |
|
dz dz, |
(12.57) |
|
справедливий як для бозонів 1 , так і для ферміонів
1 .
Амплітуда імовірності знайти в будь-якому стані 
когерентний стан z
дорівнює
z 
0 
0 z aˆ 
0 
z 
0 aˆ 
.
Вважається, що числа Грассмана антикомутують із бра- і кет-векторами.
Переконаємося в тому, що слід деякого оператора ˆ
A,
який містить парне число фермієвських операторів, дорівнює
ˆ |
z |
|
ˆ |
|
z . |
(12.58) |
|
|
|||||
SpA d z |
|
A |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Для цього підставимо (12.53) і (12.56) у цей інтеграл. Матричний елемент під знаком інтеграла буде дорівнювати
z |
|
ˆ |
|
z |
|
0 |
|
ˆ |
|
0 |
|
0 |
|
ˆ |
|
1 z z |
|
1 |
|
ˆ |
|
0 |
|
z 1 |
|
ˆ |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
A |
|
z |
|
A |
|
З огляду на (12.54) і правила інтегрування (12.39), одер-
жуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d z |
z |
|
ˆ |
|
z |
|
0 |
|
ˆ |
|
0 |
1 |
|
ˆ |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто формула (12.58) дійсно справедлива.
Ми пропонуємо читачеві переконатися в тому, що будьяка функція A u , комплексних або грассманових змін-
них u і може бути представлена у вигляді |
|
|||||||||
A u , |
u |
|
N A aˆ , aˆ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
(12.59) |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
476
де A aˆ , aˆ – будь-який оператор, записаний через опера-
тори породження і знищення. Символ N означає, що мно-
жники |
aˆ |
й aˆ |
|
ˆ |
|
|
у A нормально упорядковані. Іншими сло- |
||||
вами, у |
|
|
ˆ |
|
всі оператори породження розташовані ліво- |
N A |
|||||
|
|
|
|
|
|
руч операторів знищення. При цьому необхідно врахувати множник 1 P , де P – парність перестановки фермієвсь-
ких операторів при переході від початкового добутку операторів до нормального.
12.4.Континуальні інтеграли
У1948 році Р. Фейнман запропонував нове формулювання квантової механіки, засноване на представленні амплітуди переходу системи з початкового стану в кінцевий у вигляді континуального інтеграла. Цей інтеграл називається також функціональним або інтегралом за траєкто-
ріями. Метод |
континуального інтегрування |
викладений |
у підручниках |
з квантової механіки (див., |
наприклад, |
відомі курси квантової механіки Р. Фейнмана й А. Хібса, І. О. Вакарчука, І. Р. Юхновського, курс теоретичної фізики А. В. Свідзинського). Він широко використовується в квантовій теорії поля й у статистичній фізиці. Тут ми коротко на прикладі частинки, яка виконує одновимірний рух у потенціальному полі V x , нагадаємо, як амплітуда
переходу виражається через континуальний інтеграл.
З квантової механіки відомо, що вектор стану t 
частинки в момент t 0 може бути отриманий зі стану
|
0 в результаті дії |
унітарного |
|
ˆ |
||||
|
|
|||||||
|
оператора U t , який |
|||||||
називається оператором еволюції: |
|
|
|
|||||
|
|
t |
ˆ |
|
|
0 |
. |
(12.60) |
|
|
|
||||||
|
|
U t |
|
|||||
477
ˆ |
|
|
|
|
|
Якщо гамільтоніан H частинки не залежить від часу, |
|||||
оператор еволюції дорівнює |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
i |
ˆ |
|
U t exp |
|
|
Ht . |
(12.61) |
|
|
|
|
|
|
|
Якщо домножити рівність (12.60) зліва на бра-вектор 
x
стану частинки з певною координатою x і врахувати умову повноти цих станів
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
x |
|
1, |
(12.62) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
0 . |
||||
|
|
x |
dx0 x |
ˆ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
U |
|
x0 |
|
x0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут x |
|
t |
|
x,t – хвильова функція частинки в коор- |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
динатному |
представленні, |
а |
|
x |
|
ˆ |
|
x0 – її амплітуда |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
U t |
|
||||||||||||||
переходу з точки x0 в точку x за час t.
Для представлення амплітуди переходу у вигляді континуального інтеграла розділяємо проміжок t на n малих
частин t t |
n |
. |
Тоді оператор еволюції дорівнює |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
lim |
|
ˆ |
|
|
|
|
n |
|
|
(12.63) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U t |
U t . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тут n , |
t 0 так, |
що |
t |
залишається скінченним. |
||||||||||||||||||||||
Обмежуючись членами порядку t, маємо приблизно |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
ˆ |
2 |
|
|
i |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
U t exp |
|
|
|
H t |
exp |
|
|
|
|
|
t |
|
V x |
t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
exp |
|
p |
|
|
t exp |
V t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
478
оскільки помилка, пов'язана з некомутативністю операторів кінетичної і потенціальної енергій частинки, порядку
t 2 . Тут m – маса частинки, pˆ – оператор імпульсу.
Вставимо між n множниками в (12.63) n 1 разів одиничний оператор (12.62). Тоді амплітуда переходу частинки із
точки x0 |
у точку x буде дорівнювати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U x, x0 ,t |
|
x |
|
ˆ |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
U t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V t |
|
|
|||||||||||
lim |
|
dx ... |
|
dx |
|
|
|
x |
|
exp |
i |
|
p |
|
|
|
t exp |
|
|
i |
|
x |
... |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
exp |
i |
|
|
p |
|
|
t exp |
|
i |
V t |
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
x |
V x |
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
цей вираз можна переписати у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U x, x0 ,t lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
dx1... dxn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i pˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.64) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
pˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x1 |
exp |
|
|
|
|
|
|
t |
x0 |
exp |
|
|
|
V xl 1 t . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Амплітуда переходу вільної частинки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x, x ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
pˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U |
|
|
x |
exp |
|
|
t |
|
|
x , |
|
(12.65) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
яка входить у співвідношення (12.64), легко обчислюється.
479