Статы Экзамен / Статы / statukr
.pdf
ренормалізаційною групою (РГ). Рівняння (8.106) і (8.107) називаються РГ-рівняннями. Ці рівняння разом із співвідношеннями (8.102)і(8.103) становлять основу теорії Вільсона.
Припустимо, що функції u і , які входять у рівняння (8.106) і (8.107), аналітичні. З'ясуємо, як система рівнянь (8.106) і (8.107) приводить до критичних сингулярностей.
За вихідну виберемо систему з K 1. Нехай вона знахо-
диться трохи вище критичної точки |
|
, h 0 |
|
, |
Bc J |
|
|||
|
|
kTc |
|
|
тобто B Bc , h 0. Збільшимо K . З (8.103) випливає, що
кореляційний радіус при цьому зменшується. Це означає, що система віддаляється від критичної точки. Іншими словами, величина BK з ростом K зменшується (рис. 8.18).
Рис. 8.18. Залежність обмінного інтеграла від масштабного параметра
Нехай тепер система знаходиться трохи нижче критичної точки: B Bc. З (8.103) знову випливає, що з ростом K
кореляційний радіус зменшується, тобто система, як і раніше, віддаляється від критичної точки. Функція BK тепер
зростає з ростом K (рис. 8.18).
Виберемо за вихідний критичний стан Bc , 0 . У цьому стані rc Bc , 0 . Якщо K зростає, то вираз Krc BK , hK
340
стає нескінченним лише при rc BK , hK . Це означає,
що розв’язок РГ-рівнянь (8.106) і (8.107) з початковими значеннями B Bc , h 0 має вигляд
BK Bc , |
hK 0. |
|
Рівняння (8.106) при цьому задовольняється, якщо |
|
|
u Bc , 0 0. |
(8.108) |
|
З цих міркувань випливає, що критична точка Bc , 0 є не-
стійкою нерухомою сингулярною точкою РГ-рівнянь. Знайшовши критичну точку, ми можемо приблизно роз-
в’язати РГ-рівняння. Найпростіший метод розв’язку – лінеаризація цих рівнянь за відхиленнями BK Bc і hK вели-
чин BK і hK від їх значень у критичній точці. У цьому випадку РГ-рівняння спрощуються:
|
dBK |
|
1 |
B |
B |
x, |
dhK |
|
hK |
y, |
(8.109) |
|
|
dK |
|
|
K |
K |
c |
|
dK |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де x u B |
, |
y Bc , 0 . Індекс c означає, що похідна |
||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обчислюється в критичній точці. Рівняння (8.109) з почат-
ковими умовами BK B, |
|
hK h при K 1 мають розв’я- |
||||
зок |
|
|
|
|
|
|
B |
B B B |
K x , |
h |
hK y . |
(8.110) |
|
K |
c |
c |
|
K |
|
|
Тут передбачається, що |
B Bc , |
h 0. |
Розв’язок |
(8.110), |
||
власне кажучи, збігається з розв’язком (8.94), отриманим на основі теорії Каданова.
На жаль, обмежений обсяг посібника не дозволяє викласти теорію Вільсона у всій повноті. Відзначимо лише, що на відміну від теорії Каданова теорія Вільсона дозволяє не
341
тільки вивести співвідношення подібності і знайти зв'язки між критичними індексами, але й обчислити їх значення. За роботи з теорії фазових переходів і критичних явищ у 1982 році К. Вільсон отримав Нобелівську премію.
342
РОЗДІЛ 9. РОЗЧИНИ 9.1. Ентропія змішування
Розчином називають суміш двох або більшого числа різних речовин, перемішаних молекулярно. Повне число частинок у розчині
Ni , |
(9.1) |
i |
|
де Ni – число частинок сорту i. Концентрацією цих частинок називається відношення
ci |
Ni |
|
|
|
. |
|
|
Ni |
|
||
|
i |
|
|
З (9.1) випливає, що |
|
|
|
ci 1. |
(9.2) |
||
i |
|
|
|
Очевидним узагальненням формули (2.84) для розчину є
Ф i Ni ,
i
де i – хімічний потенціал частинок сорту i. Тоді dN у термодинамічних тотожностях (2.86) необхідно замінити сумою idNi . Зокрема,
i
dФ SdT VdP idNi ,
|
|
|
|
|
i |
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
. |
(9.3) |
i |
|
||||
|
|
Ni |
|
||
|
|
|
|
||
При диференціюванні залишаються постійними P,T і всі числа частинок, крім Ni .
Вивчення розчинів ми почнемо з простої задачі про зміну ентропії системи при змішуванні двох різних ідеальних
343
газів, які підкоряються рівнянню стану (4.15). Нехай N1 і N2 – числа частинок газів 1 і 2, які знаходяться в посудинах з об’ємами V1 і V2. Їх температури і тиски однакові.
Відповідно до формули (4.16) ентропія такої системи до змішування дорівнює
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 m1k |
3 |
|
|
|
|||||
S |
|
|
3 |
N k ln eT N k lnV N k ln |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
(9.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
N |
|
|
k ln eT N |
|
k lnV N |
|
k ln |
e 2 m2k |
|
2 |
, |
|
||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|||||||
де m1 |
і m2 |
– маси частинок газів 1 і 2, |
|
T |
|
– їх загальна |
||||||||||||||||||
температура. Після змішування ентропія системи стає рівною
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 m1k |
3 |
|
|||||
S |
3 |
N k ln eT |
N k ln V V |
N k ln |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
3 |
N |
k ln eT |
N |
k ln V V |
|
N |
k ln |
e 2 m2k |
2 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|||||
Різниця ентропій (9.5) і (9.4) дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
S S S |
0 |
N k ln |
V1 V2 |
N |
|
k ln |
V1 V2 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
V1 |
|
2 |
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(9.5)
(9.6)
Ця величина називається ентропією змішування. Оскільки температура і тиск при змішуванні не змінюються, то об’є- ми пропорційні числу частинок. Отже, ентропія змішування (9.6) дорівнює
344
S N k ln |
N |
N |
k ln |
N |
N k ln c N |
k ln c , |
(9.7) |
||
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
||
|
N1 |
|
N2 |
|
|
|
|
||
де N N1 N2 – повне число частинок, c1 |
і c2 – концент- |
||||||||
рації газів 1 і 2 у суміші. Величина (9.7) позитивна, тому що процес змішування необоротний. Якщо гази однакові,
зформули (4.16) випливає, що різниця S дорівнює нулю. Це означає, що зміна ентропії при змішуванні пов'язана
звідміною частинок газів, які змішуються.
9.2. Слабкі розчини
Нехай бінарний розчин має N молекул розчинника і n молекул розчиненої речовини. Якщо n N, розчин нази-
вається слабким. Концентрація частинок розчиненої речовини в ньому
c |
|
n |
(9.8) |
|
|
|
|||
N n |
||||
приблизно дорівнює |
|
|
|
|
c |
n |
. |
(9.9) |
|
|
||||
|
|
N |
|
|
З'ясуємо, як частинки розчиненої речовини впливають на термодинамічний потенціал слабкого розчину.
Якщо розчинник чистий, його термодинамічний потенціал дорівнює
Ф0 P,T , N N 0 P,T , |
(9.10) |
де 0 – хімічний потенціал чистого розчинника. Додавання до системи частинок речовини, яка розчинюється, змінює потенціал (9.10). Нехай P,T , N – зсув потенціалу
при додаванні до розчинника однієї частинки. Тоді при додаванні n таких частинок потенціал (9.10) зміниться на величину n . При цьому передбачається, що частинки роз-
345
чиненої речовини не взаємодіють одна з одною, однак як завгодно сильно взаємодіють з частинками розчинника.
Отриманий у такий спосіб вираз для потенціалу слабкого розчину
Ф0 n |
(9.11) |
неправильний тому, що в ньому не врахована тотожність однакових частинок розчиненої речовини. Завдяки тотожності статистичний інтеграл (3.7) системи n часток має n! у знаменнику. Вільна енергія (3.14) містить додатковий доданок kT ln n! З (2.40) видно, що такий же доданок присутній і у потенціалі Гіббса. Його необхідно додати до (9.11). Оскільки n 1, можна скористатися формулою
Стірлінга (1.67). Тоді потенціал слабкого розчину буде мати вигляд
Ф P,T , N, n N |
P,T n P,T , N nkT ln |
n |
. |
(9.12) |
||||
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула (9.12) може бути переписана так: |
|
|||||||
|
n |
|
|
|
||||
Ф N 0 nkT ln |
|
exp |
|
. |
(9.13) |
|||
|
|
|||||||
|
e |
kT |
|
|||||
Потенціал Гіббса – величина адитивна. Це означає, що при зміні N і n у деяке число разів при незмінних інтенсивних величинах P і T потенціал (9.13) повинен змінитися у стільки ж разів. Це можливо, якщо добуток
|
|
f P,T |
|
N exp |
|
|
|
|
|||
kT |
|
||
не залежить від N . Тоді потенціал (9.13) буде дорівнювати
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
Ф N 0 |
nkT ln |
|
|
f |
P,T |
|
|||
|
|
||||||||
|
|
|
eN |
|
(9.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
N |
|
P,T nkT ln |
|
n P,T , |
|||||
0 |
eN |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
346
де введена функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P,T kT ln f P,T kT ln N exp |
|
|
, |
|
|
||||
|
kT |
|
||
пов'язана з функцією зсуву .
З формули (9.3) випливає, що хімічний потенціал роз-
чинника в слабкому розчині дорівнює |
|
||
|
Ф |
0 P,T ckT , |
|
P,T , c |
|
(9.15) |
|
|
N P,T ,n |
|
|
де c – концентрація (9.9). Хімпотенціал розчиненої речовини в розчині дорівнює
|
Ф |
kT ln c P,T . (9.16) |
P,T , c |
|
|
|
n P,T ,N |
|
Формули (9.15) і (9.16) дозволяють розв’язати низку задач з теорії слабких розчинів.
9.3. Осмотичний тиск
Розглянемо посудину, розділену на дві частини напівпроникною перегородкою. Концентрація бінарного розчину в одній частині посудини дорівнює c1, а концентрація
цього ж розчину в іншій частині – c2. Перегородка вільно
пропускає частинки розчинника, але не пропускає частинки розчиненої речовини. Досвід показує, що в стані рівноваги тиски в двох частинах посудини різні. Різниця цих тисків називається осмотичним тиском.
Щоб обчислити осмотичний тиск, скористаємося умовою рівноваги відносно обміну частинками розчинника між двома половинами посудини. Будемо вважати розчини слабкими, тобто c1 1 і c2 1. Тоді, використовуючи
вираз (9.15) для хімічного потенціалу розчинника в слабкому розчині, запишемо умову рівноваги у вигляді
347
|
|
|
P ,T c kT |
P ,T c kT , |
(9.17) |
|||
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
2 |
|
де P |
і P |
– тиски в двох частинах посудини, |
T – темпера- |
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
тура. У рівновазі вона скрізь однакова. Оскільки розчини
слабкі, різниця тисків P P |
P |
|
невелика. Це дозволяє |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
скористатися |
розкладом |
різниці |
хімпотенціалів у (9.17) |
|||||
в ряд Тейлора за степенями P. Залишаючи в цьому роз- |
||||||||
кладі лінійний член, одержуємо |
|
|
|
|||||
|
P ,T |
|
0 |
P ,T |
|
0 P. |
||
|
0 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
0 |
|
|
питомий об’єм чистого розчинника. |
|||||
Тут |
|
– |
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
У результаті з умови рівноваги (9.17) знаходимо осмотичний тиск
P |
kT |
c |
c |
. |
(9.18) |
|
|||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Якщо в одній половині посудини знаходиться чистий розчинник c1 0 , а в іншій – слабкий розчин з концентрацією (9.9), вираз (9.18) стає таким:
P nkTN .
Ця формула для осмотичного тиску отримана ВантГоффом. Її подібність до рівняння стану ідеального газу (4.15) очевидна.
9.4. Правило фаз
Звернемося до розгляду фазових переходів у розчинах. У підрозділі 8.1 було з'ясовано, що в рівновазі можуть співіснувати дві або три фази чистої речовини. Речовина
348
може знаходитися, природно, і в однофазному стані. Такий стан називається гомогенним. Багатофазні системи називаються гетерогенними. З'ясуємо, скільки фаз у рівновазі можуть співіснувати, стикаючись по границях розділу, у розчині.
Розглянемо n -компонентну систему. Позначимо через r число фаз, які знаходяться у рівновазі одна з одною. У стані рівноваги температура T і тиск P у всіх фазах однакові. Однакові і хімічні потенціали кожної компоненти у всіх фазах. Отже, умови рівноваги мають вигляд
|
1 2 ... r |
, |
|
||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 2 ... r |
, |
(9.19) |
||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 2 ... r . |
|
|||
|
n |
n |
n |
|
|
Тут i |
– хімічний потенціал |
k -ї компоненти в i -й фазі. |
|||
k |
|
|
|
|
|
Він залежить від P , T і концентрацій компонентів у даній фазі. Оскільки концентрації компонентів у i -й фазі задовольняють умову нормування (9.2)
n c i 1,
k
k 1
тільки n 1 концентрацій будуть незалежними. Таким чином, із системи рівнянь (9.19) необхідно визначити P , T і концентрації компонентів у всіх фазах:
c i |
, c i |
,..., c i |
, |
i 1, 2,..., r. |
1 |
2 |
n 1 |
|
|
Тому число невідомих дорівнює 2 r n 1 . Число рівнянь у системі (9.19) дорівнює n r 1 . Відомо, що така система має розв’язок, якщо число рівнянь не перевищує числа
349