Статы Экзамен / Статы / statukr
.pdfі проти поля H. Набір величин 1,..., N для N
вузлів ґратки задає конфігурацію системи. Гамільтоніан (8.84) залежить від її конфігурації.
Завдання полягає в тому, щоб знайти внесок спінових ступенів свободи частинок у термодинамічні функції системи. Розв’язок цієї задачі залежить від числа вимірів простору. Ми будемо розглядати тут одновимірний ланцюжок спінів. Будемо вважати взаємодію між частинками короткодіючою. Це дозволяє в подвійній сумі у (8.84) обмежитися врахуванням взаємодії лише найближчих сусідів. Енергія взаємодії дорівнює J. Крім того, накладемо
на змінні n граничну умову |
|
N 1 1. |
(8.85) |
Ця умова стає очевидною, якщо уявити собі, що ланцюжок спінів зігнутий у кільце. Тоді гамільтонова функція (8.84) може бути записана у вигляді
N |
1 |
|
|
|
E J n n 1 |
H n n 1 . |
(8.86) |
||
2 |
||||
n 1 |
n |
|
||
|
|
Внесок спінових ступенів свободи ланцюжка у статистичну суму (3.9) дорівнює
|
|
|
N |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Z ... exp |
|
|
J n n 1 |
|
|
H n n 1 |
. (8.87) |
||
|
2 |
||||||||
1 |
N |
kT |
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Для обчислення цієї суми введемо дворядну симетричну матрицю P з матричними елементами
|
1 |
|
1 |
|
P exp |
|
J |
|
H . |
|
2 |
|||
kT |
|
|||
Вона має вигляд
330
P |
P |
|
|
|
|
P |
P |
|
exp
|
1 |
|
|
|
J H |
|
||
kT |
|
|
|
|
J |
|
exp |
|
|
|
|
|||
|
|
kT |
|
exp |
|
|
J |
|
(8.88) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
kT |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
J H |
|
||||
|
|
|
||||||
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
де індексами відмічені |
значення 1. |
Тоді статсума |
||||
(8.87) стає рівною |
|
|
|
|
|
|
Z ... P |
...P |
|
|
PN |
SpPN . |
|
|
1 |
2 |
N |
1 |
1 1 |
|
1 |
N |
|
|
|
1 |
|
Оскільки слід матриці не залежить від представлення, виберемо представлення, у якому матриця P діагональна:
|
0 |
|
||
P |
0 |
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
де – власні числа матриці (8.88). Вони є коренями характеристичного рівняння
|
P |
|
P |
|
|
2 |
|
|
|
|
J |
|
|
H |
|
|
|
2J |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
P |
P |
|
|
2 exp |
|
|
|
ch |
|
|
|
2sh |
|
|
|
|
0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
kT |
|
|
kT |
|
|
||||||||||||
Корені цього рівняння дорівнюють |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
2J |
1 |
|
||||||
|
|
J |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
exp |
|
|
ch |
|
|
ch |
|
|
|
|
2exp |
|
2 |
|
sh |
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
kT |
|
kT |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
kT |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З огляду на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
PN |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
331
одержуємо для Z вираз
ZN N .
Відповідна частина вільної енергії системи дорівнює
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F kT ln Z NkT ln kT ln 1 |
|
|
|
|
. (8.89) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Оскільки , а |
N 1, останній доданок у формулі |
|||||||
(8.89) можна опустити. Тоді вільна енергія в розрахунку на одну частинку буде мати вигляд
|
|
H |
|
2 H |
|
|
2J |
2J |
1 |
|
|||
F |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
J kT ln ch |
|
ch |
|
|
2 exp |
|
|
sh |
|
|
|
. (8.90) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N |
|
kT |
|
|
kT |
|
|
kT |
kT |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Намагніченість ланцюжка в розрахунку на частинку дорівнює
M |
F |
sh H |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
H N |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
2J |
1 |
|
(8.91) |
|
|
|
|
|
|
2J |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
ch2 |
|
2 exp |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sh |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
kT |
|
|
|
|
|
kT |
kT |
|
|
|
||
З цієї формули видно, що за відсутності магнітного поля намагніченість дорівнює нулю при будь-якій температурі. Іншими словами, спонтанна намагніченість у розглянутій моделі відсутня. Відсутній і фазовий перехід ланцюжка спінів в упорядкований стан. Це пов'язано з тим, що в одновимірному ланцюжку занадто мало сусідів, щоб їх кореляція привела до появи спонтанної намагніченості.
При J 0 з (8.91) випливає отриманий раніше вираз (4.61) для намагніченості ідеальної системи. Якщо H 0 , з формули (8.91) одержуємо
332
F |
|
|
|
2J |
|
|
J kT ln 1+exp |
|
|
|
. |
|
|
||||
N |
|
|
|
kT |
|
У цьому випадку внутрішня енергія в розрахунку на одну частинку дорівнює
E |
kT |
2 |
1 |
|
F |
Jth |
J |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
|
|
|
|
kT |
|||||
|
|
N T T |
|
|
|||||||
Питома теплоємність ланцюжка за відсутності магнітного поля виявляється рівною
|
E |
|
J |
2 |
2 |
J |
|
|||
c |
|
|
|
k |
|
|
ch |
|
|
. |
T N |
|
|
kT |
|||||||
|
kT |
|
|
|
||||||
Цей вираз збігається з відомою формулою Шотткі (4.66) для теплоємності.
У 1944 році Л. Онсагер показав, що фазовий перехід другого роду відбувається в двовимірних ґратках Ізінга. Температура переходу в цьому випадку дорівнює
Tc |
2J |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
k ln 1 |
|
2 |
||||
|
|
|||||
Вона визначається параметром J , який називається обмін-
ним інтегралом. Теплоємність у точці переходу має логарифмічну розбіжність:
c ln T Tc .
Критичні показники, введені у підрозділі 8.10, у двовимірній моделі Ізінга дорівнюють:
0, |
|
1 |
, |
|
7 |
, |
15. |
|
8 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Поведінка термодинамічних величин поблизу точки Кюрі в цій моделі відрізняється від отриманої в рамках моделі молекулярного поля і теорії Ландау.
333
8.15. Гіпотеза подібності
Гіпотеза подібності в теорії фазових переходів і критичних явищ, запропонована А. З. Паташинським і В. Л. Покровським у 1964 році, дозволяє знайти співвідношення між критичними показниками. Розглянемо її на прикладі ґратки ізінгівських спінів з розмірністю d.
Гамільтоніан ґратки Ізінга в магнітному полі має вигляд
(8.84)
E J n n H n , |
(8.92) |
|
nn |
n |
|
де підсумовування у першому доданку виконується тільки за найближчими сусідами. У підрозділі 8.13 було показано, що при наближенні до критичної точки кореляційний радіус rc зростає і стає великим у порівнянні з постійною ґрат-
ки. У критичній точці він стає нескінченним. Це означає, що існує кореляція між великими групами магнітних моментів, які знаходяться усередині сфери радіуса rc . Це дозво-
ляє виконати наступну побудову, запропоновану Л. Кадановим (1966). Виділимо в ґратці ділянки з лінійними розмірами Ka, де a – постійна ґратки, K – ціле число. Воно
велике у порівнянні з одиницею, однак Ka rc. У кожній такій ділянці знаходиться K d спінів, а число ділянок («ко-
мірок») у ґратці дорівнює N |
K |
d |
, |
де |
N – повне число |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
вузлів ґратки. Природно припустити, що усередині комірки всі магнітні моменти орієнтовані однаково, а моменти комірок поводяться так само, як моменти окремих частинок. Вони можуть бути орієнтовані або уздовж вектора напруженості магнітного поля, або проти нього. Отже, кожну комірку можна зіставити зі змінною si , яка набуває, як
334
і |
n |
, двох значень |
1. |
Індекс i 1, 2, ..., N |
K |
d |
відмічає |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
комірки. Природно припустити, що гамільтоніан ґратки зображується формулою, аналогічною (8.92), але з іншими параметрами J і H :
E s J si si H si .
|
|
|
|
|
ii |
|
|
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оскільки обмінний інтеграл J |
(і J ) визначає температуру |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Кюрі, |
перехід від J до J супроводжується зміною вели- |
||||||||||
|
t |
T Tc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чини |
. Будемо позначати її тепер t . |
||||||||||
T |
|||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гіпотеза подібності заснована на наступних припущеннях. Передбачається, що термодинамічні функції ґратки у вихідній моделі (модель вузлів) і в моделі комірок подібні. Зокрема, вільна енергія задовольняє співвідношення
|
|
|
|
|
|
|
|
F t, H |
1 |
F |
|
|
|
, |
(8.93) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, H |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K d |
|
||||||
де F t, H |
|
– вільна енергія в розрахунку на один вузол, |
|||||||||||||||
а F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
, H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
– |
на одну комірку. Передбачається також, що |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
і t, а також H і H пропорційні одна одній. |
|||||||||
величини t |
|||||||||||||||||
Коефіцієнти пропорційності в цих співвідношеннях залежать від K :
t K xt, H K y H , (8.94)
де x і y – деякі числа. Поєднуючи співвідношення (8.93) і (8.94), знаходимо
F K xt, K y H K d F t, H . |
(8.95) |
Диференціюючи цю рівність за H і користуючись тим, що
335
намагніченість M T , H |
ґратки в розрахунку |
на вузол |
дорівнює M F H |
, одержуємо |
|
t |
|
|
K y M K xt, K y H K d M t, H . |
(8.96) |
|
У випадку H 0 звідси випливає |
|
|
M t, 0 K y d M K xt, 0 . |
(8.97) |
|
При t 0 підберемо параметр K рівним K t 1x . Тоді співвідношення (8.97) набуває вигляду
M t, 0 t |
d y |
M 1, 0 . |
x |
Порівнюючи цю формулу з (8.44), одержуємо зв'язок критичного показника з числами x і y :
|
|
|
d y |
. |
|
(8.98) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Продиференціюємо тепер рівність (8.96) за H і покладе- |
||||||||||
мо потім H 0 . |
Тоді сприйнятливість (8.39) |
буде задо- |
||||||||
вольняти співвідношення |
|
|
|
|
|
|
|
|||
K 2 y K xt, 0 K d t, 0 . |
|
|||||||||
Вибираючи K t |
1 |
x , одержуємо |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
t, 0 t |
|
|
1, 0 |
. |
|
||||
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Порівняння цієї рівності з (8.46) дає |
|
|
||||||||
|
|
|
2 y d |
. |
|
(8.99) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
336
При t 0 з (8.96) випливає
M 0, H K y d M 0, K y H .
Вважаючи тут K H |
1 |
y , знаходимо зв'язок показника |
|||
|
|||||
(див. (8.45)) з x і y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
. |
(8.100) |
|
|
|
|||
|
|
d y |
|||
Оскільки показники , і |
виражаються через x і y , |
||||
між ними існує зв'язок. З (8.98), (8.99) і (8.100) випливає, що при будь-якому значенні d справедлива рівність Уідома:
1 .
Якщо скористатися формулами (2.38) і (8.47), одержимо
|
|
|
2 F |
||
C |
H |
T |
|
2 |
. |
|
|
T |
|
||
|
|
|
|
H |
|
Після диференціювання (8.95) при H 0 знаходимо
K 2xCH K xt, 0 K d CH t, 0 .
Якщо дібрати K t |
1 |
x , то показник |
, |
визначений спів- |
||
|
||||||
відношенням (8.48), виявиться рівним |
|
|
||||
|
|
|
2x d |
. |
|
(8.101) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
Таким чином, гіпотеза подібності дозволяє виразити критичні показники , , , через x і y . Крім того, нерівно-
сті Рашбрука – Куперсміта (8.54) і Гріффітса (8.57) у цій теорії перетворюються в рівності, справедливі при будьякому числі вимірів ґратки.
8.16. Метод ренормалізаційної групи
337
У 1971 році К. Вільсон узагальнив теорію Каданова, розглянуту в попередньому підрозділі. Познайомимося з теорією Вільсона на прикладі d -вимірних ґраток Ізінга.
Статистична сума (8.87) ґратки Ізінга в магнітному полі має два параметри: B J kT і h H kT . В інших випад-
ках число таких параметрів може бути більше двох. Розглянемо сукупність моделей Ізінга, які залежать від масштабного параметра K. Усі вони мають статистичну суму, яка може бути отримана з (8.87) заміною B BK і h hK . На
відміну від побудови Каданова параметр K тепер не передбачається цілочисельним, який задовольняє нерів-
ність 1 K rc a . Параметр K змінюється неперервно
від нуля до нескінченності.
Разом з Кадановим припустимо, що вільна енергія ґратки у розрахунку на один спін однакова для всіх систем розглянутої сукупності, тобто
F B |
, h |
K d F B, h . |
(8.102) |
K |
K |
|
|
Кореляційний радіус також зазнає масштабного перетворення
r |
B |
, h |
K 1r |
B, h . |
(8.103) |
c |
K |
K |
c |
|
|
Необхідно одержати залежність параметрів BK і hK від K . В теорії Каданова ці функції були вгадані ( див. (8.94)):
T K xT , |
h K yh. |
(8.104) |
K |
K |
|
Вільсон сформулював диференціальні рівняння для цих функцій. Простежимо за його міркуваннями.
Щоб перейти від моделі Ізінга з параметрами взаємодії BK і hK до моделі з B2K і h2K , необхідно скласти новий
338
блок спінів, поєднуючи разом 2d |
блоків, розглянутих |
у попередньому підрозділі. Потрібно, |
щоб зміни BK і hK |
при цьому не залежали від величини вихідного блоку K . |
|
Величина B2K може залежати від BK і hK , але не повинна
явно залежати від K . Розв’язок Каданова (8.104) цю вимогу задовольняє. Якщо розглянути нескінченно малу зміну
масштабного |
параметра |
K 1 K |
1 , |
то зміна |
|||
величини BK |
буде дорівнювати |
|
|
||||
B |
|
B |
K |
dBK |
... u, |
(8.105) |
|
|
|
||||||
K K |
K |
|
dK |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
де u K dBK dK . Постулюється, що функція u |
залежить |
||||||
від BK і hK , але не залежить від K явно. Будемо вважати,
що u залежить від hK2 , тому що теорія інваріантна віднос-
но зміни знаку напруженості поля. З (8.105) випливає диференціальне рівняння для BK :
dBK |
|
1 |
u BK , hK2 . |
(8.106) |
|
dK |
K |
||||
|
|
|
У результаті аналогічних міркувань одержуємо рівняння
dhK |
|
hK |
BK , hK2 |
, |
(8.107) |
|
|
||||
dK |
|
K |
|
|
|
де функція також не залежить від K явно.
Рівняння (8.106) і (8.107) визначають групу масштабних перетворень параметрів гамільтоніана B і h. Елементами групи є переходи від одних моделей розглянутої сукупності до інших. У результаті таких переходів ми одержуємо елементи тієї ж сукупності. Ці перетворення мають властивість асоціативності. Вибір одиничного і оберненого елементів групи очевидний. Розглянута група називається
339