Статы Экзамен / Статы / statukr
.pdfде P d – інтеграл у сенсі головного значення. Розділя-
ючи в (7.81) дійсну і уявну частини, одержуємо
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
, |
||||
|
P |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.82) |
|
|
|
1 |
|
d |
|
|
. |
|||||
|
P |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- |
|
||||||||
Ці рівності називаються дисперсійними співвідношеннями. Вони є наслідком принципу причинності. Зокрема, із співвідношень (7.82) можна одержати дійсну частину узагальненої сприйнятливості, якщо відома її уявна частина, і навпаки. Дисперсійні співвідношення (7.82) були отримані вперше Крамерсом і Кронігом у 1927 році. Відзначимо, що
вимога lim 0 при виводі співвідношень (7.82) не
обов'язкова. Якщо 0, розрахунки необхідно виконувати для різниці .
Розглянемо реакцію системи на монохроматичне зовнішнє поле, коли
f t Re f 0 e i t |
|
1 |
f 0 e i t f 0*ei t . |
|
|||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Підставляючи цей вираз у (7.73), одержуємо |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i t |
|
|
|
* |
|
* i t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
f |
0 |
e |
|
|
|
f |
0 |
e |
|
. |
(7.83) |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Середнє за ансамблем значення енергії, яка поглинається в системі за одиницю часу, дорівнює
270
|
|
|
df |
. |
|
|
x |
(7.84) |
|||||
|
|
|||||
|
t |
|
dt |
|
||
Ця енергія перетворюється в тепло. Вираз (7.84) необхідно усереднити також за періодом коливань 2 зовнішнього поля. Вхідна сюди похідна дорівнює
df |
|
1 |
i f0e i t i f 0*ei t . |
(7.85) |
|
dt |
2 |
||||
|
|
|
Підставляючи (7.83) і (7.85) у співвідношення (7.84) і виконуючи усереднення за періодом поля, одержуємо
|
|
i |
|
|
* |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
. |
(7.86) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисипація енергії зовнішнього поля в системі визначається уявною частиною узагальненої сприйнятливості. Оскільки Q 0, величина позитивна при 0.
7.10. Формула Кубо
Формула (7.72) для відгуку системи на зовнішнє поле може бути отримана з рівняння Ліувілля (1.47). Для цього розглянемо квантову систему, яка знаходиться в момент t0 у стані рівноваги. Її статистичний оператор дорів-
нює (3.10). У цей момент на систему починає діяти змінне зовнішнє поле. Гамільтоніан системи стає рівним
|
ˆ ˆ |
ˆ |
(7.87) |
|
H H0 |
V , |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
де H0 |
– гамільтоніан за відсутності поля, V |
– гамільтоніан |
|
взаємодії системи із зовнішнім полем. Запишемо його у вигляді
ˆ |
ˆ |
(7.88) |
V |
t xf t , |
де xˆ – оператор фізичної величини, яка належить до систе-
271
ми, f t – задана функція часу. Зовнішнє поле викликає відхилення системи від стану рівноваги. Реакція системи
на поле полягає в тому, що з'являється відгук xt , індукова-
ний полем. Згідно з (1.35) середнє значення величини x у момент часу t дорівнює
|
ˆ |
ˆ |
(7.89) |
xt Sp t x , |
|||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
де t – нерівноважний статистичний оператор. Він задо- |
|||||||
вольняє рівняння (1.47): |
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
i |
t |
t |
|
H t , |
t . |
(7.90) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У початковий момент t0 статоператор дорівнює |
|||||||
|
|
0 , |
|
|
|||
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
де ˆ 0 – рівноважний статоператор (3.10).
Будемо вважати зовнішнє поле слабким і одержимо реакцію системи xt у лінійному наближенні за цим полем.
Для цього покладемо |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
t , |
(7.91) |
t 0 |
1 |
|||
де ˆ1 t – додаток до рівноважного статоператора, індуко-
ваний полем. Підставимо (7.87) і (7.91) у рівняння (7.90) і обмежимося в ньому лінійними членами за полем:
i |
|
1 |
ˆ |
, 1 |
|
ˆ |
t , 0 |
|
|
||||||||
|
||||||||
|
t H0 |
t |
V |
. |
||||
|
t |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У початковий момент
ˆ1 0.
(7.92)
(7.93)
272
Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді
|
ˆ |
|
|
i |
ˆ |
|
ˆ |
|
i |
|
|
ˆ |
|
|
|||||
|
t exp |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
H0 t , |
(7.94) |
||||||||
|
1 |
|
|
|
H0 t g t |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
випливає, |
що вона |
||||||
g t – невідома функція. З (7.93) |
|||||||||||||||||||
задовольняє початкову умову |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.95) |
|||
|
|
|
|
|
g 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Підставляючи (7.94) у рівняння (7.92), одержуємо |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
g t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
t |
|
|
|
VH t |
, 0 |
, |
|
|
|
|
(7.96) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
i |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
i |
ˆ |
|
|
||||
|
VH t exp |
|
|
H0 t |
V |
t exp |
|
|
|
|
H0 t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– оператор (7.88) у представленні Гейзенберга. У (7.96) ураховано
|
ˆ |
|
|
i |
ˆ |
|
0. |
H0 |
, exp |
|
H0 t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язок рівняння (7.96) з урахуванням початкової умови
(7.95) такий:
|
i |
t |
|
i |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|||
g t |
|
dt |
exp |
H0 t |
|
V |
t |
, 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ˆ |
|
exp |
|
||||
|
|
H0 t . |
|||
|
|
|
|
|
|
Підставляючи цей вираз у (7.94), одержуємо додаток до статоператора ˆ 0 у лінійному наближенні за зовнішнім
полем:
|
|
i |
t |
|
|
|
i |
ˆ |
ˆ |
t |
|
|
|
exp |
|
|
H0 t |
1 |
|
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|||||
t |
V |
t |
, 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
i |
ˆ |
|
t t |
|
|
|
exp |
|
|
H |
0 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
273
Ми припускаємо, що за відсутності поля відгук системи (7.89) дорівнює нулю:
Sp ˆ 0 xˆ 0.
Тоді в лінійному наближенні за полем з формули (7.89) одержуємо
|
|
|
i |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
ˆ |
0 |
|
ˆ |
H |
|
|
|
ˆ |
H |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
dt Sp |
|
|
|
x |
|
|
t t |
, x |
|
|
0 |
|
f t |
, |
(7.97) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
i |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
i |
|
ˆ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
xH t exp |
|
|
H0 t x exp |
|
H0 t |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– оператор величини x у представленні Гейзенберга. При виводі формули (7.97) ми врахували вираз (7.88) і циклічну інваріантність сліду. Відомо, що під знаком Sp оператори
можна циклічно переставляти.
Порівнюючи формулу (7.97) з (7.72), знаходимо |
|
|||||||||||||||||||
t |
i |
Sp |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
0 . |
|
(7.98) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
H |
t , x |
H |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Фур'є-компонента (7.75) цієї функції дорівнює |
|
|||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
i t |
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
H |
|
|
H |
|
|
|||||
|
|
|
dte |
Sp |
|
|
|
x |
|
t , x |
|
0 |
. |
(7.99) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей вираз для узагальненої сприйнятливості називається формулою Кубо (1956). Вона пов'язує сприйнятливість із рівноважною характеристикою системи – компонентою Фур'є функції
|
i |
t Sp |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
0 , |
(7.100) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
x |
H |
t , x |
H |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
яка називається двохчасовою запізнювальною функцією Гріна. Такі функції будуть розглядатися в розділі 11.
274
7.11.Флуктуаційно-дисипативна теорема
Упідрозділі 7.7 згадувався зв'язок між флуктуаційними характеристиками системи і величиною дисипації енергії
вній. Цей зв'язок може бути отриманий у загальному вигляді. Щоб переконатися в цьому, розглянемо квантову
систему і позначимо через xˆ t ермітовий оператор, який відповідає флуктуючій величині x t . Він залежить від часу за законом
ˆ |
i |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
i |
ˆ |
|
, |
(7.101) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x t exp |
Ht x exp |
|
Ht |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де ˆ – оператор Гамільтона системи. Ця формула пов'язує
H
незалежний від часу оператор xˆ у представленні Шредингера з гейзенбергівським оператором xˆ t . Характеристи-
кою випадкового процесу x t є кореляційна функція, яка у квантовому випадку визначається співвідношенням
C t1, t 2 |
1 |
xˆ t1 xˆ t2 xˆ t2 xˆ t1 . |
(7.102) |
|
2 |
||||
|
|
|
Кутовими дужками позначене усереднення за ансамблем, а антикомутатор використано для того, щоб оператор, який усереднюється, був ермітовим. Ермітовість забезпечує дійсність функції (7.102).
Випадковий процес x t будемо вважати стаціонарним. Тоді функція (7.102) залежить від різниці t1 t2. Умова стаціонарності (7.34) тепер виглядає так:
1 |
xˆ xˆ |
xˆ xˆ |
2 C . (7.103) |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
Тут xˆ і C – часові компоненти Фур'є функцій (7.101)
і (7.102).
275
Одержимо матрицю, яка відповідає оператору xˆ . Для цього в просторі станів системи введемо базис n
– ста-
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ціонарні стани гамільтоніана H : |
|
|
|
|||
ˆ |
|
n |
En |
|
n |
, |
|
|
|||||
H |
|
|
||||
де En – енергія системи у стані n. Матричні елементи оператора (7.101) у цьому базисі дорівнюють
|
|
ˆ |
|
n |
e |
i n n t |
xn n , |
(7.104) |
|
|
|
||||||||
n |
|
x t |
|
||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
E |
E |
|
|
|
n n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
– частоти переходів між рівнями n і |
|
|
|||||||
n . Квантово-механіч- |
|||||||||
не середнє значення оператора в лівій частині рівності (7.103) у n -му стаціонарному стані дорівнює діагональному матричному елементу:
1 |
n |
|
xˆ xˆ xˆ xˆ |
|
n |
|
1 |
xnn xn n |
xnn xn n . (7.105) |
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
Тут ми скористалися правилом перемноження матриць. Із формули (7.104) видно, що вхідні сюди матриці дорівнюють
|
|
|
|
|
|
|
|
i t |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn n 2 n n . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xn n |
dte |
n |
|
x t |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тоді середнє (7.105) стає рівним |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
n |
|
xˆ xˆ xˆ xˆ |
|
n 2 2 |
|
xnn |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(7.106) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n n |
|
nn |
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
||||||
276
де врахована ермітовість матриці xnn :
xx . nn n n
Використовуючи властивості -функції, перепишемо рівність (7.106) у вигляді
1 |
n |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
2 |
|
|
|
xnn |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
x x x x |
|
n 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(7.107) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ми припускаємо, що рівноважна система знаходиться в термостаті й обмінюється з ним лише енергією. Тоді її статистичний оператор (3.10) дорівнює
F H |
|||
ˆ exp |
|
ˆ |
|
|
|
, |
|
kT |
|
||
|
|
|
|
де F – вільна енергія. З формули (1.35) випливає, що статистичне середнє в лівій частині рівності (7.103) дорівнює
1 |
n |
n |
|
ˆ ˆ ˆ ˆ |
|
n |
|
2 |
|
n |
|
xnn |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
x x x x |
|
2 |
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|||
|
nn n n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де n – функція розподілу (3.13). Підставляючи цей вираз у формулу (7.103), одержуємо
С n |
|
xnn |
|
2 nn n n . |
|
|
|
|
|
||||
nn |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
у дру- |
Якщо переозначити індекси підсумовування n n |
||||||
гому доданку, цю формулу можна представити у вигляді
С |
1 exp |
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
. (7.108) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
nn |
|
|
nn |
|||
|
|
|
|
kT nn |
|
|
|
|
|
||
277
Повернемося до реакції системи на слабке монохроматичне зовнішнє поле частоти , розглянутій у підрозділі
7.9. Під впливом цього поля в системі відбуваються квантові переходи між стаціонарними станами. З квантової ме-
ханіки відомо, |
що імовірність переходу системи із стану n |
||||||||||||
до стану n |
за одиницю часу дорівнює |
|
|
||||||||||
wn n |
|
|
|
|
f0 |
|
2 |
|
xnn |
|
2 n n nn |
. (7.109) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При кожному переході система випромінює або поглинає квант енергії . Перший доданок у правій частині (7.109) обумовлений випромінюванням, а другий – поглинанням кванта. Енергія, яка поглинається системою за одиницю часу при переходах із стану n , дорівнює
n nwn n. n
Усереднюючи цю величину з гіббсівською функцією розподілу (3.13), одержуємо для потужності, яка поглинається, вираз
Q |
|
f |
0 |
|
2 |
|
|
n |
|
x |
|
2 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
nn |
|
|
n n |
|||
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З огляду на (7.86), представляємо уявну частину узагальненої сприйнятливості у вигляді
|
n |
|
xnn |
|
2 nn n n . |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у другому |
Переозначаючи індекси підсумовування n n |
|||||||||||||||
доданку цієї формули, знаходимо |
|
|
|
|
|||||||||||
1 exp |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
. (7.110) |
|||||
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
nn |
|
||||
|
|
|
kT |
nn |
|
|
|
|
|
|
|||||
278
Порівняння формул (7.108) і (7.110) дає
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.111) |
||
C |
|
cth 2kT |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ця формула становить зміст флуктуаційно-дисипативної теореми, доведеної Калленом і Вельтоном у 1951 році. Вона пов'язує компоненту Фур'є C кореляційної функ-
ції (7.102), зібраної на операторах флуктуючої величини x t , з дисипативними властивостями системи. Дисипована в системі енергія (7.86) визначається уявною частиною
узагальненої сприйнятливості. |
|
|||
У класичному граничному випадку |
kT формула |
|||
(7.111) виглядає так: |
|
|
|
|
C |
|
2kT |
. |
(7.112) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Якщо нерівність kT |
справедлива при всіх істотних |
|||
частотах, то з формул (7.102) і (7.112) при t1 t2 одержуємо
ˆ |
2 |
|
2kT |
d |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(7.113) |
||||
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Тут ми скористалися непарністю функції . З іншого боку, з дисперсійних співвідношень (7.82) і (7.78) випливає
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
P d |
|
|
|
|
|
, |
0 0. |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідси видно, що
279