Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4603 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Статы Экзамен / Статы / statukr

.pdf
Скачиваний:
80
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
8.64 Mб
Скачать
☆

0L 13 0P .

При T 0 знову використовуємо вираз (5.60) для похідної від функції Фермі. Тоді, відповідно до формули (2.114), спіновий магнітний момент виродженого електронного газу буде дорівнювати:

P

M P V H0 V PH ,

де

P

 

e2kF

 

(5.63)

4 2mc2

 

 

 

– сприйнятливість Паулі. Тут kF pF

– хвильове число

Фермі. Сприйнятливість (5.63) можна переписати у вигляді:

P 2 B2

1

F ,

(5.64)

V

 

 

 

де F – густина станів (1.20) на межі Фермі. Діамагніт-

на сприйнятливість Ландау в розглянутому випадку дорівнює:

L

1

 

P .

(5.65)

3

 

 

 

Якщо kT F , температурні поправки до виразів (5.63)

і (5.65) можуть бути знайдені за допомогою зоммерфельдівського розкладу, розглянутого в підрозділі 5.4.

5.6.4. Ефект де Гааза – ван Альфена

Суму інтегралів (5.56) за колами Cl l 1, 2, ... на рис. 5.9 позначимо . Вона дорівнює:

170

 

1

l

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e

 

,

(5.66)

 

 

2

 

 

2 i l C

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

де штрих у знаку суми означає, що доданок із l 0 пропущено. Інтеграл (5.66) обчислюється за допомогою теореми

Коші про лишки. Функція sh 1 c поблизу полюса (5.52)

2

поводиться як

2 1 l

c l .

Тому

 

 

 

 

 

l

l

 

 

 

 

 

 

~

2V 2 m

3

2

 

1 e

 

 

 

BH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

.

(5.67)

 

2 3

 

 

l

5

2

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

У розглянутому випадку закону дисперсії електронів (1.2)

cos2 l BH 1 l .

c

Суму за l (5.67) записуємо у вигляді:

 

 

 

 

 

 

l

l 1

l 1

і в другому доданку змінюємо знак індексу підсумовування. Тоді, з огляду на

 

i 12 e i

 

 

4 ,

одержуємо:

 

171

~

2 m 32

 

 

5

2 1

 

 

 

 

 

 

4V

 

 

c

 

 

 

cos

2 l

 

 

 

. (5.68)

2 3

5

 

c

 

 

 

2

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

l 1 l

 

 

 

 

 

 

 

Після підстановки цього виразу в (5.55) приходимо до

інтеграла:

 

 

 

d f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp i

 

 

 

 

.

 

Al

Re d

 

 

 

 

2 l

 

 

 

(5.69)

 

d

c

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки

функція

 

 

df

 

 

має

різкий

максимум

у точці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

шириною kT ,

 

внесок в інтеграл (5.69) дають лише

електрони поблизу межі Фермі. При c для обчи-

слення інтеграла (5.69) не можна використовувати метод Зоммерфельда, тому що експонента швидко осцилює поблизу межі Фермі. Похідна від функції Фермі дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

df

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

(5.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

4kTch

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В інтегралі (5.69) зробимо заміну змінної

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kT

 

 

 

 

 

 

і нижню межу

 

 

 

при kT

покладемо рівною .

 

 

 

kT

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

c

 

 

4

 

 

 

dx

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Al

 

Re e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp i4 l

 

x .

(5.71)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підінтегральна

функція

в інтегралі

(5.71)

має

полюси

172

другого порядку в точках

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

xs i s

 

 

,

s 0,

1, ...

2

 

 

 

 

 

Поблизу полюса

ch2 x x xs 2 .

Замикаючи контур в інтегралі (5.71) півколом у верхній напівплощині змінної x і обчислюючи лишки в полюсах другого порядку xs , одержуємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

i4 l c x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

kT

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

l

 

 

 

 

 

exp 4

 

 

 

l

 

 

 

 

s

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вхідна сюди сума за s

уже обчислювалася в підрозділі 4.3.

У результаті маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

,

 

2 2kT

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

shx

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Це дає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lkT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

2 l

 

 

 

 

 

4

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2 2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

Vm

 

c

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(5.72)

 

4 4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 1

 

 

 

 

 

 

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

173

Із цієї формули видно, що зі зміною магнітного поля великий потенціал та інші термодинамічні величини виродженого електронного газу осцилюють. Такі осциляції вперше експериментально спостерігали де Гааз і ван Альфен (1930) на вісмуті. Тому розглянуте явище називається ефектом де Гааза – ван Альфена. Теорія цього ефекту у випадку закону дисперсії (1.2) розвинута Л. Д. Ландау, а для довільного закону дисперсії електронів провідності в металах – І. М. Ліфшицем і А. М. Косевичем (1953).

Із (5.72) видно, що великий потенціал являє собою суму гармонік. Записуючи аргумент косинуса у вигляді

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

H

 

 

4 ,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

бачимо, що осциляції великого потенціалу періодичні за оберненим полем. Період осциляцій дорівнює:

 

1

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(5.73)

 

mc

H

 

 

 

Амплітуда осциляцій (5.72) залежить від номера гармоніки,

температури

і напруженості

магнітного поля.

Якщо

kT c ,

функція

у (5.72)

пропорційна

малому

множнику

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

exp

2 2l

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

Це означає, що осциляції на фоні плавної зміни потенціалу, розглянуті в підрозділі 5.6.3, помітні лише у випадку низьких температур і сильних магнітних полів: kT c.

Магнітні поля, які задовольняють цю умову, називаються

174

квантуючими. Із формули (5.73) видно, що вимірювання періоду осциляцій потенціалу в квантуючому магнітному полі дозволяє одержати хімічний потенціал електронів, близький до енергії Фермі.

5.7.Двовимірний електронний газ у магнітному полі

5.7.1.Квантові точки у магнітному полі

З огляду на підвищений інтерес фізиків до систем із двовимірним електронним газом і роль таких систем у техніці, розглянемо в цьому підрозділі властивості двовимірного електронного газу в квантуючому магнітному полі, обмеженого полем гармонічного осцилятора. Тут ми слідуємо недавно опублікованій статті J. P. Gazeau, P. Y. Hsiao, and

A.Jellal, Phys. Rev. B 65, № 9, 094427 (2002).

Припустимо, що електрони з масою m і зарядом e

виконують рух у площині z 0 . Магнітне поле H перпендикулярне цій площині. Його векторний потенціал вибере-

мо у вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

Hr .

 

 

 

2

 

 

 

Припустимо також, що система

електронів перебуває

в потенціальному полі двовимірного осцилятора:

U r

m 2

 

 

0

r2

,

 

2

 

 

 

 

 

де 0 – частота осцилятора. Тоді гамільтоніан електрона має вигляд:

 

1

 

 

 

e

 

 

2

 

m 02

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

ˆ B H,

(5.74)

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

p

 

 

 

 

A

 

 

 

2m

 

 

 

c

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

де r і

ˆ

двовимірні вектори, ˆ – третя матриця

p i –

175

Паулі. Тут ми враховуємо спінове розщеплення рівнів Ландау, не розглянуте в цитованій вище статті. Цей гамільтоніан часто використовують для опису властивостей квантових точок у магнітному полі.

Гамільтоніан (5.74) може бути діагоналізований перехо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дом від операторів r , p до операторів aˆ1 , aˆ2 і ермітово

спряжених операторів

aˆ

, aˆ

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

l

 

 

 

 

aˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

pˆ

 

i

 

 

 

 

 

0

pˆ

 

 

,

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l0

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

l0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

y

 

 

 

l

 

 

 

 

 

aˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

pˆ

 

i

 

 

 

 

 

0

 

pˆ

 

 

,

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

l

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

2

4

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

0

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c – циклотронна частота (5.37). У нових змінних гамільтоніан (5.74) набуває вигляду

ˆ

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

a

 

a

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

H,

(5.75)

 

 

 

ˆ

 

ˆ

 

 

 

 

 

ˆ

 

ˆ

 

 

 

 

ˆ

B

 

 

 

1 1

 

2

 

 

 

2

 

2

2

 

 

де

12 c .

Гамільтоніан (5.75) має вигляд суми гамільтоніанів двох лінійних гармонічних осциляторів з частотами . Його

власні значення дорівнюють:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n , n ,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

B

H,

(5.76)

 

 

1 2

1

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

176

де n1,2 0, 1, ..., 1.

Великий потенціал електронів (5.44) може бути записаний так:

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

H

 

 

 

 

Spln 1

 

 

 

,

(5.77)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де Sp означає підсумовування

за

квантовими

числами

n1, n2 , . Для обчислення

 

потенціалу скористаємося

фур'є-представленням гіперболічного секанса:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e i

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

.

(5.78)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

 

2 x

 

 

 

 

 

 

ch

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щоб перевірити цю формулу, необхідно контур інтегрування доповнити півколом у верхній чи нижній напівплощині комплексної змінної y залежно від знаку x . Тоді, обчис-

люючи лишки підінтегральної функції в нулях гіперболічного косинуса yn i2 n 12 n 0, 1, ... , перекону-

ємося в справедливості представлення (5.78). Використовуючи цю формулу, представимо функцію розподілу Фермі – Дірака (5.2) у вигляді інтеграла Фур'є:

 

 

-i k i

 

 

 

 

2

 

 

 

f

dk

e

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(5.79)

 

4ch

 

k

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді фур'є-перетворення логарифма, який входить у (5.77), має вигляд:

 

 

 

 

 

 

-i k i

 

 

ln 1 e- -

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dk

 

 

.

(5.80)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

2i k i ch

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

177

Підставляючи цей вираз у (5.77), одержуємо:

 

 

 

 

 

 

 

i k i

 

 

 

 

 

1

 

 

dk k

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2i k i ch

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-i k i

 

ˆ

 

1

-i k

i

 

n1,n2

,

 

 

H

e

 

k Spe

 

2

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1 0 n2 0 1

 

 

 

 

 

 

Після підстановки в цю формулу енергії електрона (5.76) і обчислення елементарних сум знаходимо

 

-i k i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

4

 

 

ch i k i

 

BH

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-i k i

 

 

 

 

 

-i k i

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

 

2

 

1

e

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У результаті великий потенціал електронів дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-i k i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

e

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i k i ch

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch i k i

2

BH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dk k .

(5.81)

 

-i k i

 

 

 

 

 

 

-i k i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

2

 

1 e

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для обчислення інтеграла (5.81) скористаємося теоремою Коші про лишки. Функція ch-1 k 2 має прості полюси

178

в точках kn i 2n+1 n 0, 1, ... . Точка k i є полюсом другого порядку функції k . Крім того, ця функція має прості полюси в точках

k i +

4 n

n 1, 2,... ,

 

n

 

 

 

 

 

якщо тільки частоти несумірні. У протилежному випад-

ку точки kn є полюсами другого порядку функції k .

Якщо 2 BH , контур інтегрування в (5.81), від-

повідно до леми Жордана, можна доповнити півколом у нижній напівплощині змінної k . Усередині контуру знаходяться прості полюси гіперболічного секанса в точках kn i 2n+1 n 1, 2, ... . Застосовуючи теорему Коші,

одержуємо в цьому випадку:

Якщо ж

1

2

 

1 n

 

 

 

e nch BHn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

n

1

 

1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

n sh

n

 

 

 

2

 

2

 

2 BH , контур інтегрування в (5.81)

необхідно замкнути у верхній напівплощині. Усередині контуру знаходиться полюс четвертого порядку в точці k i , прості полюси в точках kn i 2n+1 n 1, 2, ... і по-

люси в точках

k i +

4 n

n 1, 2,... .

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Ми обмежимося тут випадком несумірних частот . Тоді полюси kn будуть простими.

179

Соседние файлы в папке Статы
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности