Рис. 7.2. Випадковий процес
Ця залежність отримана в процесі вимірювання, виконаного над якою-небудь копією статистичного ансамблю. Виконуючи вимірювання над іншою копією, одержимо іншу функцію x t .
Залежність випадкової величини x від детермінованого аргументу t називається випадковим процесом. Якщо детермінованих аргументів більше, говорять про випадкове поле. Зокрема, величина x , наприклад, густина частинок у системі, може залежати не тільки від часу, але і від координат точки спостереження: x x r ,t . Характеристиками
випадкового процесу x t є середнє за ансамблем значення
флуктуючої величини x |
і її багаточасові моменти |
|
|
, |
|
|
, ... |
|
x t1 x t2 |
x t1 x t2 x t3 |
У підрозділі 7.2 відзначалося, що флуктуації випадкових величин xk , xl , узагалі кажучи, корельовані. Це означає,
що значення однієї величини впливають на імовірності значень іншої. Будемо відраховувати значення цих величин від їх середніх, тобто покладемо xk 0. Тоді мірою коре-
ляції величин xk і xl у різні моменти часу t1, t2 буде кореляційна функція (корелятор)
250
Сkl t1, t2 |
|
. |
|
xk t1 xl t2 |
(7.27) |
Якщо кореляція відсутня, середнє (7.27) розпадається на добуток середніх і кореляційна функція дорівнює нулю. Мірою кореляції флуктуючих величин у різні моменти часу та в різних точках r1, r2 простору є кореляційна
функція
Сkl r1,t1; r2 ,t2 |
|
. |
|
xk r1,t1 xl r2 ,t2 |
(7.28) |
Якщо середнє значення x і багаточасові моменти не змінюються при зсуві всіх часових аргументів на деякий інтервал, випадковий процес називається стаціонарним. У цьому випадку середнє x не залежить від часу, а кореляційна функція (7.27) залежить від різниці часів t t1 t 2 :
Сkl t xk t xl 0 xk 0 xl t .
Оскільки
xk 0 xl t xl t xk 0 ,
кореляційна функція має властивість |
|
Ckl t Clk t . |
(7.29) |
Ще одна властивість кореляційної функції є наслідком
оборотності рівнянь механіки |
відносно інверсії часу: |
r r , t t, p p , де p – |
імпульс частинки. При та- |
кому перетворенні не змінюється вид рівнянь руху частинок системи. У силу цієї симетрії не має значення, яку з величин xk , xl брати в більш ранній момент часу, а яку
пізніше:
xk t1 xl t2 xk t2 xl t1 .
Це означає, що (7.27) – парна функція часу: |
|
Ckl t Ckl t . |
(7.30) |
Поєднуючи (7.29) і (7.30), одержуємо
Ckl t Clk t .
Матриця Сkl симетрична. Далі ми обмежимося розглядом
флуктуацій в однорідній та ізотропній рівноважній системі. У такій системі
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ckl Ckl |
|
r1 r2 |
|
, |
|
|
t1 t2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
t1 t2 |
|
Ясно, при збільшенні |
r1 r2 |
і |
кореляції флукту- |
ючих величин у різних точках простору в різні моменти часу зменшуються. Тому можна говорити про кореляційний
радіус rcorr і про час кореляції tcorr . Якщо r1 r2 rcorr , t1 t2 tcorr , то кореляцією флуктуючих величин можна
знехтувати.
Випадкові функції xk r , t , а також кореляційну функцію Сkl r , t розкладемо в інтеграл Фур'є:
xk |
r , t |
|
d 3q |
|
|
d xk |
q, |
i qr t |
|
|
C |
r , t |
|
|
|
|
|
С |
q, e |
|
, |
(7.31) |
2 |
3 |
2 |
|
kl |
|
|
|
|
|
kl |
|
|
|
|
де q і нумерують просторову і часову компоненти Фур'є. Останні пов'язані з функціями xk і Сkl співвідношеннями:
x |
q, |
|
x |
r , t |
|
k |
|
d 3r |
dt k |
e-i qr t . |
(7.32) |
Ckl q, |
|
Сkl r , t |
|
Оскільки функція (7.28) дійсна, її компонента Фур'є має властивість
Ckl q, Ckl q, .
Інваріантність функції (7.27) відносно трансляції вздовж часової осі дозволяє пов'язати її компоненту Фур'є Ckl
із середнім значенням добутку фур'є-компонент випадкових величин xk , xl . Щоб переконатися в цьому, розглянемо
середнє xk xl . Використовуючи (7.32), перепишемо це середнє так:
|
|
|
|
|
|
ei t1 t2 . |
|
xk xl |
dt1 dt2 |
xk t1 |
xl t2 |
|
(7.33) |
|
|
|
|
|
|
|
Тут врахована дійсність функції xl t . Різниця в показнику ступеня може бути записана у вигляді:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2. |
|
|
t1 t2 t1 t2 |
|
|
З огляду на залежність (7.27) від t t1 t2 і |
переходячи |
в (7.33) до інтегрування за t t1 t2 |
і t2 , одержуємо |
|
|
|
|
|
xk xl 2 Ckl . |
(7.34) |
Тут враховане представлення -функції Дірака у вигляді інтеграла Фур'є:
Легко переконатися в тому, що
xk xl 2 Ckl .
Співвідношення (7.34) є наслідком стаціонарності випадкового процесу. Воно буде використане при вивченні броунівського руху частинки в середовищі.
7.7. Броунівський рух
Розглянемо кульку радіусом R з масою m у в’язкому середовищі. Відомо, що коли її швидкість задовольняє умову
R 1
( – густина середовища, – коефіцієнт в'язкості), то сила тертя, яка діє на кульку, дається формулою Стокса:
F m ,
де
6 R . m
Рівняння Ньютона для кульки
має розв’язок
t 0 e t ,
де 0 – початкова швидкість. Із цієї формули випливає, що швидкість кульки монотонно зменшується. Через час
вона зменшується в e 2,7 разів. Таким чином, експери-
ментально виявлений броунівський рух кульки ця формула не пояснює.
Ланжевен припустив, що, крім сили Стокса, у правій частині рівняння (7.35) повинна бути присутня випадкова
сила f t , обумовлена випадковими поштовхами молекул, яких зазнає кулька. Тоді її рівняння руху набуває вигляду:
d f t , (7.37) dt
де f t – сила Ланжевена, яка припадає на одиницю маси кульки.
Випадковий процес f t будемо характеризувати сере-
днім значенням f , а також кореляційною функцією
Ckl t1, t2 |
|
, |
|
fk t1 fl t2 |
(7.38) |
|
|
|
|
де k, l x, y, z. Середнє f |
дорівнює нулю, а функція (7.38) |
у випадку стаціонарного |
|
процесу залежить від |
різниці |
t t1 t2. Будемо вважати, що час кореляції tcorr |
набагато |
менший часу (7.36). Тоді корелятор (7.38) можна записати так:
Це означає, що різні компоненти сили Ланжевена не корелюють. Не корелюють вони й у різні моменти часу. Компонента Фур'є функції (7.39) дорівнює:
Вона не залежить від частоти . У цьому випадку спектр (7.40) називають білим шумом.
Переходячи в рівнянні (7.37) до фур'є-компонент, одержуємо зв'язок компоненти Фур'є швидкості броу-
нівської частинки з компонентою Фур'є f сили Ланже-
2B kl
вена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if |
. |
|
|
|
(7.41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Вважаючи процеси |
f t і t стаціонарними, |
із (7.34) |
одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fk fl 2 Ckl , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
k l 2 |
|
|
де k l |
– компонента Фур'є корелятора |
|
|
|
|
|
|
|
|
k l t , |
|
|
|
|
|
|
k t l 0 |
|
|
(7.43) |
зібраного на компонентах швидкості кульки. Після підстановки (7.41) у (7.42) одержуємо зв'язок компонентів Фур'є
кореляторів (7.38) і (7.43):
З урахуванням (7.40) знаходимо
k l 
2 2 .
Для обчислення кореляційної функції (7.43) необхідно знати інтеграл (7.31):
|
|
|
d |
e i t |
|
|
|
k l |
|
2B kl |
|
|
|
|
|
|
. |
(7.44) |
t |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Цей інтеграл обчислюється за допомогою теореми Коші про лишки. Підінтегральна функція має полюси в точках
i . При t 0 контур інтегрування в (7.44) можна доповнити півколом у нижній напівплощині змінної , а при t 0 – у верхній. У результаті отримуємо
При t 0 звідси знаходимо
2 3B .
Зіншого боку, відповідно до теореми про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи броунівської частинки
m 2 3 kT. 2 2
Отже,
B kTm .
Це співвідношення отримане Ейнштейном. Воно дозволяє записати фур'є-компоненту (7.40) у вигляді:
fk fl 
2 kTm kl .
У лівій частині цього співвідношення фігурує характеристика випадкового процесу f t , а в правій – характеристика дисипативних властивостей середовища . Воно являє
собою наслідок флуктуаційно-дисипативної теореми, яка буде розглянута в підрозділі 7.11.
Обчислимо середній квадратичний зсув броунівської
|
|
|
|
|
|
частинки x t |
2 |
уздовж осі x за час t. Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
x t dt1 t1 |
, |
|
|
|
|
0 |
|
він дорівнює
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
dt |
|
dt |
2 |
|
t |
t |
2 |
|
(7.46) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Інтегрування тут виконується за площею квадрата зі стороною t на площині t1, t2 . Кореляційна функція в (7.46) за-
лежить від t1 t2 . Тому інтеграл (7.46) за квадратом дорі-
внює двом інтегралам за трикутником, розташованим нижче діагоналі t1 t2 квадрата. З огляду на (7.45), знаходимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x t |
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
1 |
e |
|
|
. |
|
m |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо t 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
2 |
2Dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де
D kT m
– коефіцієнт дифузії броунівських частинок. Середній квадратичний зсув броунівської частинки
пропорційний квадратному кореню з часу її руху. Цей результат уперше отриманий Ейнштейном у 1905 році.
7.8.Просторова кореляція флуктуацій густини
Упопередньому підрозділі розглядалися часові кореляції флуктуючих величин – компонентів сили Ланжевена
ішвидкості броунівської частинки. Розглянемо тепер про-
сторові кореляції флуктуючих величин. Важливий приклад такої величини – густина n r частинок у рівноважній
просторово однорідній і ізотропній системі.
У підрозділі 6.1 відзначалося, що при заданому положенні однієї частинки різні положення іншої будуть нерівноймовірними. Завдяки взаємодії частинок між їх положеннями існує кореляція. Мірою кореляції є кореляційна функція
C r1, r2 n r1 n r2 , |
(7.47) |
де |
|
n r n r n |
(7.48) |
– відхилення густини від середнього значення 
n
. Кутови-
ми дужками позначене середнє за ансамблем. В однорідній та ізотропній системі функція (7.47) залежить від відстані
r1 r2 між точками r1 і r2.
З визначення (7.47) випливає, що
C r1, r2 
n r1 n r2 
n
2 . (7.49)
Вхідна сюди флуктуюча густина частинок дорівнює
n r r ra ,
a
де ra – радіус-вектор a -ї частинки. Використовуючи цей вираз, одержимо
n r1 n r2 
r1 ra r2 ra 
a
2 
r1 ra r2 rb 
.
a b
