Статы Экзамен / Статы / statukr

можуть бути обчислені за допомогою теореми Віка, розглянутої в підрозділі 11.2. Кожний доданок у розкладі K можна зіставити з діаграмою Фейнмана. Зокрема, у нульовому наближенні ми одержуємо вираз (11.47), у якому 1 1, r1, 1 , ... Йому відповідають діаграми на рис. 11.18.

Рис. 11.18. Двочастинкова функція Гріна вільних ферміонів

Другий доданок на цьому малюнку отриманий з першого шляхом перестановки індексів 3 і 4. Тому відповідний аналітичний вираз входить у K0 зі знаком мінус. Це пра-

вило залишається справедливим і у вищих порядках теорії збурень.

Запишемо рівняння (11.129) у p -представленні. Одно-

частинкова функція Гріна в цьому представленні була розглянута в підрозділі 11.6. Пряме і обернене перетворення

Тут 1 r1, 1 , ...,

450

а спінові індекси опущені. Як і в попередніх підрозділах, ми обмежуємося розглядом однорідної рівноважної фермірідини. У такій системі чотириточкова функція K залежить від трьох різниць: x3 x2 , x4 x2 , x1 x2. З урахуванням тотожності

p3x3 p4 x4 p1x1 p2 x2 p3 x3 x2 p4 x4 x2p1 x1 x2 p3 p4 p1 p2 x2 ,

переходячи в (11.130) до інтегрування за x3 x2 , x4 x2 , x1 x2 , x2 і використовуючи формулу (11.89), представимо компоненту Фур'є K у вигляді

рис. 11.18, кожна лінія яких зіставлена з чотириімпульсом p. Наприклад, на лінії 31 p1 p3. Тоді на лінії 42 p2 p4.

Формули (11.15), (11.86) і (11.130) дозволяють перейти в рівнянні (11.129) до p -представлення

451

Вхідну сюди двочастинкову функцію Гріна K виразимо через вершинну функцію.

11.14. Вершинна функція

Правила відповідності між діаграмами та аналітичними виразами, отримані в підрозділі 11.6, придатні і для функції K . Тільки тепер необхідно розглядати діаграми з чотирма зовнішніми лініями, а не з двома, як у підрозділі 11.6. Не слід розглядати діаграми, які містять блоки, не пов'язані з лініями на рис. 11.18. Такі діаграми виникають

урезультаті спарювання польових операторів, які входять

утемпературний оператор розсіювання. Вони компенсу-

ються доданками, отриманими при розкладі 0 в зна-

меннику функції K .

У першому порядку теорії збурень за міжчастинковою взаємодією з'являються діаграми, зображені на рис. 11.19.

Рис. 11.19. Діаграми для двочастинкової функції Гріна

Ясно, що подальші поправки до ліній на цьому рисунку приведуть до діаграм більш високих порядків. Підсумовування таких діаграм разом з діаграмами на рис. 11.18 зво-

452

диться до подвоєння ліній на цьому рисунку. У результаті замість функцій G0 у формулі (11.47) з'являються точні

одночастинкові функції Гріна G. Отримані в такий спосіб діаграми описують розповсюдження двох пробних частинок, взаємодіючих із середовищем таких же частинок, але не між собою.

Взаємодія двох пробних частинок між собою в першому порядку теорії збурень описується діаграмами на рис.

11.20.

Рис. 11.20. Дві діаграми для двочастинкової функції Гріна в першому порядку теорії збурень

Використовуючи правила відповідності (див. підрозділ 11.6), знаходимо внесок цих діаграм у функцію K34,12 у p -

представленні:

453

збурень для вершинної функції. Їй відповідають штрихові лінії на рис. 11.20. У вищих порядках з'являються поправки, що утворюють фігуру, яка замінює штрихові лінії на рис. 11.20. У другому наближенні вони зображуються діаграмами на рис. 11.21.

Рис. 11.21. Діаграми для вершинної функції у другому порядку теорії збурень

Тут (3 4) – сума діаграм, які отримуються з попередніх заміною індексів 3 4. Сума діаграм на рис. 11.21 дає вер-

шинну функцію 2 у другому порядку теорії збурень. Підсумовуючи нескінченну послідовність діаграм, які замінюють штрихові лінії на рис. 11.20, одержуємо точну вершинну функцію 34,12 . Зіставимо її з квадратом на діа-

грамах.

Крім діаграм на рис. 11.19 і 11.20, у розкладі K присутні діаграми з власно-енергетичними вставками в кінцеві лінії на рис. 11.20. Урахування таких вставок приводить до заміни тонких зовнішніх ліній подвійними. Таким чином, нескінченний ряд теорії збурень для функції K зводиться всього до трьох діаграм на рис. 11.22.

454

РОЗДІЛ 12. КОГЕРЕНТНІ СТАНИ І КОНТИНУАЛЬНІ ІНТЕГРАЛИ

12.1. Когерентні стани осцилятора

У квантовій механіці когерентні стани одновимірного гармонічного осцилятора визначаються як стани, які мінімізують співвідношення невизначеностей

x px 2 .

– невизначеності координати x і компоненти імпульсу px

осцилятора, рискою відзначене квантовомеханічне середнє. У когерентному стані

x px 2 .

Існує й інше визначення когерентних станів. Вони є власними станами оператора знищення aˆ, який природно ви-

власному значенню z оператора aˆ . Величина z є довільним комплексним числом z x iy. Не зупиняючись на до-

веденні еквівалентності цих визначень, розглянемо деякі властивості когерентних станів.

Отримаємо амплітуду імовірності n z знайти стаціонарний стан n осцилятора в когерентному стані z . Для

456

цього помножимо рівняння (12.1) на бра-вектор n :

Врахуємо правило дії оператора породження aˆ на стаціонарний стан осцилятора:

aˆ nn 1 n 1 ,

де n 0,1,... Спряжене співвідношення має вигляд

n aˆ n 1 n 1 .

Підставляючи n aˆ у рівняння (12.2), одержуємо рекурентні співвідношення для амплітуд n z :

Система стаціонарних станів осцилятора є повною,

Ця умова дозволяє розкласти когерентний стан за стаціонарними станами. Домножаючи вираз (12.3) зліва на n і виконуючи підсумовування за n , одержуємо розклад:

Відповідний бра-вектор дорівнює

457

Розклади (12.5) і (12.6) дозволяють одержати норму когерентного стану:

Тут врахована умова ортонормування стаціонарних станів осцилятора:

Вимагаючи z z 1, знаходимо

У результаті розклади (12.5) і (12.6) набувають вигляду

Якщо врахувати відоме з квантової теорії осцилятора співвідношення

де 0 – його вакуумний стан ( aˆ 0 0 ), то розклади (12.8) можна записати так:

458

Звідси видно, що основний стан осцилятора є когерентним станом із власним значенням z 0 : n 0 z 0 .

Амплітуда імовірності (12.3) дається формулою

Отже, імовірність знайти стаціонарний стан n у когерентному стані z дорівнює квадрату модуля амплітуди (12.10)

Тут ми скористалися рівнянням (12.1) і спряженим рівнянням

z aˆ z z .

Враховуючи (12.12), перепишемо імовірність (12.11) у вигляді

Ми одержали відомий розподіл Пуассона (7.25).

459