Статы Экзамен / Статы / statukr
.pdf
то функція G , задана |
в інтервалі (11.12), |
може бути |
||
представлена у вигляді ряду Фур'є: |
|
|||
|
|
|
|
|
G |
1 |
|
G s e i s , |
(11.15) |
|
||||
|
s |
|
||
G s 1 d G ei s ,
2
де s s , s – номер «часової» компоненти Фур'є. З'ясу-
ємо, як умова (11.13) впливає на компоненту Фур'є G s .
Для цього інтеграл, який входить у (11.15), представимо у вигляді
0
d d d .
0
У першому доданку врахуємо умову (11.13) і перейдемо до інтегрування за змінною . Тоді
G s 12 0 d G ei s 1 e i s .
Якщо
s |
|
2s 1 , |
(11.16) |
|
|
|
|
де s 0, 1, 2,..., то вираз у дужках під знаком інтеграла
дорівнює двійці. У противному випадку він дорівнює нулю. Отже, для ферміонів
|
|
G s d G ei s , |
(11.17) |
0 |
|
400
де s дорівнює (11.16). У |
|
випадку бозонів |
компонента |
||
Фур'є, як і раніше, дорівнює (11.17), однак |
|
||||
s |
|
|
2 s |
. |
(11.18) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Вирази (11.16) і (11.18) називаються непарними і парними мацубарівськими «частотами». Таким чином, функція (11.8) може бути представлена у вигляді
|
|
d |
3 |
p |
1 |
|
|
G r , |
|
|
|
||||
2 |
3 |
|
|
||||
|
|
s |
|||||
pr |
|
|
|
i |
|
s |
|
|
|
||
G p, s e |
, |
(11.19) |
|
де вектор p і s (11.16) або (11.18) позначають компоненти Фур'є. Обернене перетворення має вигляд
G p, s d 3r d G
0
|
pr |
|
|
|
r , e |
i |
|
s |
|
|
|
|||
|
. |
(11.20) |
||
Звідси видно, що для обчислення G s необхідно знати
G лише при 0.
Далі ми побачимо, що для обчислення одночастинкової функції Гріна системи взаємодіючих частинок необхідно знати двочастинкову функцію Гріна K. Вона визначається співвідношенням
K 34, 12 T |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
2 |
, |
(11.21) |
|
|||||||||
|
|
3 |
|
4 1 |
|
|
|
||
де 1 1, r1, 1 , ... Ця функція описує збурення, обумовле-
ні додаванням до системи двох частинок або видаленням двох частинок із системи. Наприклад, якщо 2 і 3 переви-
щують 1 і 4 , то функція K описує збурення при дода-
401
ванні до системи однієї частинки і видаленні з неї однієї частинки і наступне повернення системи до рівноваги в результаті видалення однієї частинки і додавання однієї частинки.
11.2. Функції Гріна вільних частинок
Функція Гріна (11.8) вільних електронів при 0 дорівнює
0 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
, |
(11.22) |
|||
|
||||||
G r , 0 r , |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
де 
...
0 – усереднення за великим канонічним ансамблем
з гамільтоніаном (11.1). Вибираючи k p, , |
запишемо |
|||||||||
цей гамільтоніан у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ˆ |
|
|
|
|
aˆ |
|
aˆ |
|
, |
(11.23) |
H |
p |
p |
p |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
p
де p p – енергія електрона, відрахована від хімпо-
тенціалу, aˆ p |
і aˆ p |
– оператори знищення і породження |
електронів у |
стані |
з імпульсом p і проекцією спіну . |
Польові оператори, які входять у (11.22), виражаються через ці оператори співвідношеннями
ˆ |
r , |
1 |
|
|
|
ˆ |
i |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pr , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ap exp |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
V |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.24) |
ˆ |
|
|
1 |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
i |
|
|
||
r , |
|
|
|
|
|
ap exp |
|
|
|
|
pr |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де V – об’єм системи. Підставляючи вираз (11.24) у формулу (11.22), одержуємо
402
G |
0 |
r , 0 |
1 |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
exp |
i |
pr |
|
. |
(11.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a |
p |
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
V pp |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З'ясуємо, як оператор знищення електронів, який входить сюди, залежить від .
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Довільний оператор F у представленні Мацубари має |
||||||||||
вигляд (11.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
H ˆ |
|
H |
. |
|
(11.26) |
||||
|
F |
e |
|
|
Fe |
|
|
|||
Він задовольняє рівняння руху |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F |
F |
, H |
(11.27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з початковою умовою
ˆ ˆ
F 0 F.
Тут |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
aˆ,b |
abˆ |
baˆ – комутатор операторів aˆ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ap ap , H0 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ
і b. Отже,
(11.28)
Комутатор у правій частині цього рівняння легко обчислюється за допомогою комутаційних співвідношень (6.83)
|
ˆ ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
0, |
ˆ ˆ |
|
11 , |
(11.29) |
|||
|
a1, a1 0, |
|
a1 |
, a1 |
a1, a1 |
|||||||||
де |
|
|
|
|
. |
У |
результаті |
|
рівняння |
(11.28) |
||||
1 p, , 1 |
p , |
|
||||||||||||
набуває вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ap |
p ap |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Його розв’язком є функція |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
p |
. |
|
|
(11.30) |
|
|
|
ap ap e |
|
|
|
||||||||
403
Аналогічно можна показати, що
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
p |
|
|
|
|
|
(11.31) |
|
|
|
|
|
|
|
ap ap e . |
|
|
|
|||||||||
Підставляючи розв’язок (11.30) у (11.25), знаходимо |
||||||||||||||||||
G |
0 |
r , 0 |
1 |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
exp |
i |
pr |
|
. |
(11.32) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
p |
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
V pp |
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
обчислення |
середнього |
aˆ |
aˆ |
, яке |
|
входить |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (11.32), знову скористаємося комутаційними співвідношеннями (11.29)
aˆ aˆ |
|
|
|
aˆ |
aˆ |
(11.33) |
|
1 1 |
0 |
11 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
і циклічною інваріантністю сліду |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
ˆ |
|
|
|
1 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
H |
|
|
H |
|||||
aˆ1aˆ1 |
|
|
|
Sp e |
|
0 aˆ1aˆ1 |
|
|
Sp aˆ1 e |
|
0 aˆ1 , (11.34) |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де – велика статистична сума (3.28) ідеального електронного газу. Вхідний сюди добуток
|
ˆ |
|
H |
||
aˆ1 e |
|
0 |
|
|
|
може бути перетворений за допомогою формули (див. (11.26) і (11.31))
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
aˆ |
e |
1 |
H |
e |
H |
||||||
|
|
|
e |
|
0 aˆ |
|
|
0 . |
|||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
При з цієї формули випливає
|
|
|
H |
|
1 |
|
H |
|
|
|
||
aˆ |
|
e |
ˆ |
0 |
e |
|
e |
ˆ |
0 aˆ |
|
. |
(11.35) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Підставляючи цей вираз у (11.34), одержуємо
aˆ1aˆ1 
0 e 1 
aˆ1 aˆ1 
0 .
404
У результаті співвідношення (11.33) набуває вигляду
aˆ aˆ |
|
n , |
(11.36) |
1 1 |
0 |
1 1 1 |
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
n1 e 1 1 1 |
(11.37) |
||
– фермієвська функція (5.2). Підстановка (11.33) і (11.36)
у (11.32) дає
G 0 G0 ,
де
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
G0 |
r , 0 |
|
np 1 exp |
|
pr p |
. (11.38) |
|
|
|
||||||
|
|
V |
p |
|
|
|
|
Порівнюючи цей вираз з формулою (11.19), одержуємо просторову компоненту Фур'є функції Гріна (11.38):
G0 p, 0 np 1 e p . |
(11.39) |
Якщо 0, знаходимо
G |
p, 0 n |
p |
e p . |
(11.40) |
0 |
|
|
|
Часова компонента Фур'є функції Гріна дорівнює
|
|
1 |
|
|
G0 p, s d G0 p, ei s |
|
. (11.41) |
||
|
||||
i s p |
||||
0 |
|
|
||
|
|
|
Як і точна функція (11.20), вона визначена в точках
zs i s i |
|
2s 1 , |
(11.42) |
|
|
|
|
розташованих на уявній осі площини комплексної енергії. Корисно використати вираз (11.41) для одержання фор-
мул (11.39) і (11.40). Для цього підставимо (11.41) у суму
405
(11.15):
G0 p, |
1 |
|
e |
i s |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
i |
|
|
|
|||
|
s |
s |
p |
||||
|
|
|
|
||||
Щоб обчислити вхідну сюди суму за непарними мацубарівськими частотами, розглянемо контурний інтеграл
J C |
dz |
|
e z |
|
|
|
|
, |
|
2 i |
e z 1 z p |
|||
де контур C складається з двох вертикальних прямих на рис. 11.1, які охоплюють полюси функції e z 1 1 в точках zs i s , а 0.
Рис. 11.1. Контур інтегрування в інтегралі J
Оскільки усередині контуру C знаходяться лише полюси zs , а лишок функції e z 1 1 в полюсі дорівнює 1, то
згідно з теоремою Коші інтеграл J збігається з G0. З іншо-
го боку, підінтегральна функція при 0 дозволяє деформувати контур C , перетворивши його в коло навколо полюса p (рис. 11.1). Обчислюючи лишок у цьому полюсі,
одержуємо формулу (11.39). Якщо 0, необхідно розгля-
406
нути інтеграл |
|
|
|
|
|
C |
dz |
|
e z |
(11.43) |
|
|
|
|
, |
||
2 i |
e z 1 z p |
||||
який збігається з G0. Знову деформуючи контур, як
показано на рис. 11.1, одержуємо (11.40).
Двочастинкова функція Гріна вільних електронів, зібрана на операторах вторинного квантування, визначається виразом
K0 34,12 |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
, |
(11.44) |
|
T a3a4a1a2 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де 1 1, p1, 1 , ... Якщо |
3 4 1 |
2 , з |
урахуваням |
|||||
(11.31) і (11.32) одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 34,12 e |
3 3 4 4 1 1 2 2 |
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
0 , (11.45) |
||
|
|
|
a3a4a1a2 |
|||||
де тепер індекси при операторах дорівнюють 1 1, p1 , ...
Використовуючи комутаційні співвідношення (11.29), пе-
ремістимо оператор aˆ3 |
у середньому праворуч: |
||||||||||||
ˆ ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ ˆ |
aˆ3aˆ4a1a2 0 13 |
aˆ4a2 0 23 aˆ4a1 0 |
aˆ4a1a2aˆ3 0 . |
|||||||||||
У виразі для середнього |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
ˆ |
ˆ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
aˆ4a1a2aˆ3 |
|
|
Sp e |
|
|
|
aˆ4a1a2aˆ3 |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
переставимо оператор aˆ3 |
|
ліворуч і |
скористаємося фор- |
||||||||||
мулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
aˆ e |
H |
e |
3 e |
H |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 aˆ , |
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
аналогічною (11.35). Тоді середнє значення добутку чотирьох операторів буде дорівнювати
407
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
aˆ3aˆ4a1a2 0 13 1 e |
|
|
aˆ4a2 0 |
|
|
|||||||
23 1 e |
3 |
|
1 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
aˆ4a1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e 3 1 |
1 n3, |
|
|
|
|
|||||||
це середнє можна переписати у вигляді |
|
|
|
|
|||||||||
ˆ ˆ ˆ ˆ |
13 1 n3 |
|
ˆ |
ˆ |
23 |
1 n3 |
ˆ |
ˆ |
. (11.46) |
||||
a3a4a1a2 0 |
|
a4a2 0 |
a4a1 0 |
||||||||||
Підставляючи (11.46) у (11.45), одержуємо для двочастинкової функції Гріна (11.44) при 3 4 1 2 вираз
K0 34,12 e 3 3 4 4 1 1 2 2
|
|
1 n |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
1 n |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
. |
|
a a |
|
|
a a |
0 |
||||||||||||
|
13 |
3 |
|
|
4 |
|
2 |
0 |
|
23 |
3 |
|
|
4 |
1 |
|
|
Якщо врахувати (11.39) і (11.40), цій формулі можна надати вигляду
K0 34,12 G0 3,1 G0 4, 2 G0 3, 2 G0 4,1 , |
(11.47) |
|||
де |
|
|
|
|
G0 1, 2 |
ˆ ˆ |
|
(11.48) |
|
T a1a2 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
– одночастинкова функція Гріна вільних електронів, зібрана на операторах вторинного квантування. Формула (11.47) справедлива при будь-якому співвідношенні часів .
Рівність (11.47) безпосередньо узагальнюється на випадок середнього значення будь-якого числа операторів під знаком хронологічного добутку. З (11.47) видно процедуру обчислення таких середніх. Необхідно всіма можливими способами об’єднувати (спарювати) оператори знищення з операторами породження. Спарюються всі оператори,
408
а способи спарювання підсумовуються. Спарені оператори необхідно поставити поруч і винести за знак середнього (така операція називається «виплутуванням»). При цьому необхідно стежити за числом перестановок фермієвських операторів, необхідних для цього. При непарному числі перестановок доданок необхідно помножити на –1. Якщо число перестановок парне, знак доданка залишається
колишнім. Потім два спарені оператори aˆi , |
ˆ |
необхідно |
|||
ai |
|||||
замінити множником |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
. |
(11.49) |
T aiai |
T ai ai |
G0 i,i |
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
У результаті середнє значення хронологічного добутку будь-якого числа операторів (число операторів породження повинне дорівнювати числу операторів знищення) дорівнює сумі добутків попарних середніх. Це твердження називається теоремою Віка. Вона справедлива і для середнього 
...
0 від хронологічного добутку польових операторів. Ми
довели цю теорему на прикладі чотирьох операторів. Використовуючи описану вище процедуру, читач переконається в її справедливості при будь-якому числі операторів.
11.3.Зв'язок термодинамічного потенціалу
зфункцією Гріна
Повернемося до системи взаємодіючих електронів. Оператор густини електронів у точці r дорівнює
nˆ r ˆ r ˆ r .
Його середнє за великим канонічним ансамблем Гіббса дає густину електронів, яка спостерігається:
409