Статы Экзамен / Статы / statukr
.pdf
Така апроксимація називається наближенням хаотичних фаз. Воно добре «працює» при високій густині n електро-
нів, коли na03 1. Тут a0 – борівський радіус. У цьому на-
ближенні середня кінетична енергія електрона 2n23 m велика у порівнянні із середньою енергією кулонівської взаємодії двох електронів e2n 13 , які знаходяться на від-
стані n 13 один від одного. У цьому наближенні ефективна взаємодія зображується нескінченною сукупністю кільцевих діаграм б, е, ж, ... на рис. 11.12.
Використовуючи правила відповідності, одержуємо для діаграми на рис. 11.16 формулу
|
|
q, |
|
2 |
|
d 3 p |
|
1 |
|
ПХФ |
n |
2 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(11.112) |
||
|
|
G0 |
p, s G0 p q, s n , |
s |
|
де G0 – функція Гріна вільних електронів (11.41). Для
обчислення вхідної сюди суми за непарними мацубарівськими частотами розглянемо інтеграл
1 |
C |
dz |
|
|
|
2 i |
e z 1 z p z i n p q |
за колом C великого радіуса, який проходить між полюсами функції Фермі в точках i s . При нескінченному радіусі
кола цей інтеграл дорівнює нулю. З іншого боку, він дорівнює сумі лишків підінтегральної функції в простих полюсах i s , p , i n p q . Отже,
440
1 |
G0 p, s G0 p q, s n |
f p f p q |
, |
|
|
|
|
||
|
|
p p q i n |
||
|
s |
|
||
де |
f – функція Фермі. Тут враховано exp i n 1. |
|||
Поляризаційний оператор у наближенні хаотичних фаз дорівнює
|
|
q, |
2 |
|
d 3 p |
|
f p f p q |
. (11.113) |
ПХФ |
2 3 |
|
||||||
|
n |
|
|
p p q i n |
||||
|
|
|
|
|
||||
Процедура аналітичного продовження цієї функції на верхню напівплощину комплексної частоти з наступним переходом на дійсну вісь зводиться до тривіальної заміни i n i0. У результаті ми одержуємо запізнюючі
функції і (11.111) у наближенні хаотичних фаз.
11.11.Плазмони
Зформули (11.109) видно, що ефективний потенціал Vеф за відсутності «голого» потенціалу відмінний від
нуля лише в тому випадку, коли діелектрична функція стає рівною нулю. Це означає, що рівняння
q, 1 q q, 0 |
(11.114) |
визначає частоту власних коливань густини та інших величин електронного газу як функцію хвильового вектора q. Ці коливання розповсюджуються і після видалення
джерела, яке їх збудило. Відповідні хвилі називаються плазмовими, а кванти цих хвиль – плазмонами. Рівняння (11.114) для спектра плазмонів називається дисперсійним рівнянням.
Із символічної тотожності
441
1 |
P |
1 |
i x |
|
x i0 |
x |
|||
|
|
( P – символ головного значення), справедливої під знаком
інтеграла, видно, що функції і комплексні. Тому розв’язок дисперсійного рівняння (11.114) також комплексний:
|
q i q . |
|
(11.115) |
||||
Підставляючи цей вираз в exp i t , одержуємо |
|
||||||
exp i qt exp qt . |
|
|
|||||
Отже, q є законом дисперсії плазмової хвилі, |
а q – її |
||||||
згасання. Плазмові хвилі згасають слабо, якщо q |
q . |
||||||
Підставимо (11.115) |
|
у дисперсійне рівняння |
(11.114) |
||||
і виконаємо розклад |
|
у ряд за степенями |
. Тоді, при- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рівнюючи нулю дійсну і уявну частини, знаходимо |
|||||||
1 q Re q, q 0 |
|
(11.116) |
|||||
– рівняння для спектра плазмових хвиль, |
|
|
|||||
q |
|
Im q, q |
|
|
(11.117) |
||
|
|
Re q, q |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
q |
|
|
||||
– їх згасання. Формули (11.116) і (11.117) справедливі і за межами наближення хаотичних фаз.
Одержимо спектр плазмонів у виродженому електронному газі в наближенні хаотичних фаз. Зсуваючи змінну інтегрування в (11.113) і з огляду на p p , представимо
дійсну частину функції у вигляді
442
|
|
|
|
|
d 3 p |
f p |
|
|||
Re ПХФ q, |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
p p q |
|
|
|
(11.118) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
|
|
. |
|
|||||
|
p p q 2 |
2 |
|
|||||||
Відзначимо, |
що граничне |
значення цієї |
функції |
|||||||
Re 0,0 |
залежить від порядку граничного |
переходу |
||||||||
q 0, 0. Якщо qp m ( p m – швидкість елект-
рона), то підінтегральну функцію в (11.118) можна розкласти в ряд за степенями q. Залишаючи головний член,
одержуємо
|
nq2 |
|
|
|
Re ПХФ q, |
|
, |
(11.119) |
|
m 2 |
||||
|
|
|
де
n 2 d 3 p 3 f p
2
– густина електронів. Підставляючи вираз (11.119) у рівняння (11.116), одержуємо плазмову частоту
0 |
4 e2n |
. |
(11.120) |
|
m |
||||
|
|
|
Можна показати, що з урахуванням наступного члена розкладу (11.118) за степенями q спектр плазмонів у виро-
дженому електронному газі в довгохвильовому наближенні q F 0 ( F – фермієвська швидкість електрона) визна-
чається формулою
2q 02 53 q2 F2 .
443
Графік цієї залежності показаний на рис. 11.17.
Рис. 11.17. Закон дисперсії плазмонів
Згасання плазмонів при T 0 відмінне від нуля лише в заштрихованій на рис. 5.6 області значень хвильових чисел
і частот Eзб хвиль.
Розглянемо плазмони в больцманівському електронному газі. Підставимо у формулу (11.113) функцію розподілу (4.26). Інтеграл за імпульсним простором, який виникає при цьому, зручно обчислювати в циліндричних координатах з віссю pz уздовж вектора q. Вектор p предста-
вимо так:
p p p|| qq ,
де вектор p лежить у площині, перпендикулярній q , а p||
– проекція вектора p на напрямок q . Тоді
|
|
p2 p2 p||2 , |
|
|
p q 2 p2 p|| q 2 . |
||||||||||||||||||||||
Після нескладних обчислень одержуємо |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
q |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Re ПХФ q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
2 |
|
2 |
|
q |
|
2m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.121) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
q |
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
444
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|||||||||
Im ПХФ q, |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
m 2 |
|
2q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
exp |
2q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e y |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
P |
|
dy |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функція (11.123) має асимптотики |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
x 1, |
|
||||||||||
|
|
2x 1 |
|
|
|
x |
|
|
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
x 1. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(11.122)
(11.123)
(11.124)
Підстановка виразів (11.121) і (11.122) у рівняння (11.116) і (11.117) з урахуванням (11.124) приводить до спектра
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
q |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
q 0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
qD |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
і згасання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
q |
|
2 |
||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
1 |
D |
||||||||||
q |
|
|
0 |
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
8 |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плазмонів у больцманівському електронному газі. У цих формулах вважається, що q qD , де
qD 4 e2n kT
445
– дебаївське хвильове число, введене в підрозділі 6.4. Дебаївський радіус rД qD1 , отриманий тут, збігається
з формулою (6.71), якщо в останній обмежитися тільки системою електронів. Згасання q плазмових хвиль у класич-
ній плазмі отримано вперше Л. Д. Ландау в 1946 році. Воно відбувається в плазмі без урахування зіткнень. Це явище одержало назву згасання Ландау.
11.12. Екранування у виродженому електронному газі
У підрозділі 6.4 ми розглянули екранування статичного поля пробного заряду в класичній плазмі. Розв’яжемо цю задачу для виродженого електронного газу на фоні позитивного заряду, який компенсує.
Оскільки йдеться про статичне екранування, змінну у формулі (11.118) необхідно покласти рівною нулю. Тоді
ми одержимо граничне значення |
при qp |
, яке |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відрізняється від (11.119). Оскільки Im ПХФ q,0 0 при |
|||||||||||
скінченному q (див. рис. 5.6), маємо |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d 3 p f p f p q |
|
|
|
|||||
ПХФ q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 3 |
p p q |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Якщо q kF , |
різницю функцій |
Фермі |
в цій формулі |
||||||||
можна розкласти в ряд за степенями q : |
|
|
|
|
|
||||||
f p f p q p |
p q |
f |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
Вхідна сюди похідна функції Фермі при нульовій температурі дорівнює -функції (5.60). Отже,
|
|
d 3 p |
p F , |
||
ПХФ q 2 |
|
|
|
||
2 |
3 |
||||
|
|
||||
446
де F – енергія Фермі. З огляду на правило (5.6) і формулу для густини станів (1.17), перепишемо цей вираз у вигляді
|
2 |
|
|
|
ПХФ q |
|
F , |
(11.125) |
|
V |
||||
|
|
|
де F – густина одноелектронних станів (1.20) на гра-
ниці Фермі.
Підстановка виразу (11.125) в аналітичне продовження екранованого потенціалу (11.109) на дійсну вісь частоти дає
Vеф q |
4 e2 |
. |
(11.126) |
||
q2 |
q2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
FT |
|
|
|
Тут ми врахували компоненту Фур'є (6.90) кулонівського потенціалу і ввели позначення
q2 |
|
6 e2n |
. |
|
|||
FT |
|
F |
|
|
|
|
Компоненті Фур'є (11.126) відповідає енергія екранованої взаємодії електронів на відстані r один від одного:
V |
r |
|
d 3q |
|
4 e2 |
eiqr . |
|
2 3 q2 qFT2 |
|||||||
еф |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
Цей інтеграл був обчислений у підрозділі 8.6. Він дорівнює
V |
r |
e2 |
exp |
|
|
r |
|
, |
(11.127) |
|
|
|
|
||||||
еф |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
rFT |
|
|
||
де
rFT |
1 |
|
|
F |
|
qFT |
4 e2n |
|
|||
|
|
|
|
– радіус екранування Фермі – Томаса. З формули (11.127)
447
видно, що при qFT 0 екранований потенціал зводиться до кулонівського. Якщо ж r rFT , взаємодія двох електронів у середовищі експоненційно мала.
11.13. Рівняння для функцій Гріна
Польові оператори, які входять у вираз (11.8) для одночастинкової функції Гріна, задовольняють рівняння (11.27). Комутатор польового оператора з гамільтоніаном (11.7) обчислюється за допомогою комутаційних співвідношень (11.2). Це дає рівняння руху для польового оператора:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r , |
|
|
r , |
|
|
2m |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(11.128) |
d 3r1 r r1 1 r1, 1 r1, r , .
1
Щоб одержати рівняння для функції (11.8), необхідно продиференціювати її за . Для цього представимо хронологічний добуток операторів (11.9) у вигляді
T |
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
де – функція Хевісайда (1.7). Її похідна дорівнює |
||||||
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
У результаті диференціювання функції (11.8) одержуємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
r , ; r , |
|
|
|
|
r r |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
r , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У першому доданку в правій частині цього рівняння врахо-
448
вані комутаційні співвідношення (11.2). Підставляючи сюди похідну (11.128), знаходимо
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x, x |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx V x x |
|
T x |
x x x |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут використані скорочені позначення, введені в підрозділі 11.6. Останній доданок у правій частині цього рівняння обумовлений парною взаємодією частинок. Він містить двочастинкову функцію Гріна (11.21). Отже, в рівняння для одночастинкової функції Гріна (11.8) входить двочастинкова функція Гріна:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x, x |
x x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.129) |
|||
dx1V |
|
|
|
K 1 , 1 x1x, x1 x . |
|
|
|
|||||||||||
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Індекс + |
у третього |
|
аргумента |
функції |
K означає, |
що |
||||||||||||
|
|
|
x1 |
по- |
||||||||||||||
в хронологічному добутку польовий оператор |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
винен стояти перед оператором x1 . |
Таким же чином |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
можна одержати рівняння для функції K . У нього буде входити ще більш складна функція Гріна. Продовжуючи цей процес, одержимо нескінченний ланцюжок рівнянь, які зачіпляються, для багаточастинкових функцій Гріна. Для обриву цього ланцюжка необхідна певна апроксимація.
Двочастинкова функція Гріна (11.21) може бути записана в представленні взаємодії так, як це було зроблено для одночастинкової функції Гріна (11.78). Тоді і функція K може бути представлена у вигляді ряду за степенями енергії міжчастинкової взаємодії. Окремі доданки цього ряду
449