Статы Экзамен / Статы / statukr

Цей інтеграл обчислюється підстановкою exp x.

Урезультаті маємо

1 ln Z0 ln 1 e k .

k

Цей вираз дійсно збігається з великим потенціалом ідеального газу.

Термодинамічні величини системи є середніми значеннями звичайного або хронологічного добутку операторів. Покажемо, як вони можуть бути отримані шляхом функці-

онального диференціювання за і твірного функціона-

лу (12.102).

З функціональними похідними за звичайними функціями ми мали справу в підрозділі 2.13. Введемо функціональ-

ні похідні за змінними Грассмана k і k . Як і в підрозділі

12.3, визначимо ліву L і праву R похідні від дея-

кого функціоналу Ф , який є елементом алгебри Грас-

смана. При диференціюванні необхідно використовувати правило

Якщо серед величин k зустрічаються такі, які змінюються неперервно, то відповідні символи Кронекера в (12.114) необхідно замінити дельта-функціями. Всі операції диференціювання ставляться ліворуч від функціоналу і діють у порядку черговості – спочатку найближча до нього, потім

500

наступна і т. д. Дія лівої похідної L k на довільний мо-

ном 1 2... n визначається у такий спосіб. Якщо моном не містить множника k , то результат диференціювання дорівнює нулю. Якщо ж він містить k (один раз!), то цей мно-

жник необхідно перемістити в ліве крайнє положення і видалити (див. (12.114)). Результат необхідно домножити на

1 P , де P – парність перестановки. Права похідна ви-

значається аналогічно, тільки тепер необхідно переміщатиk праворуч. Легко переконатися в тому, що ліві і праві

похідні комутують між собою, а однойменні похідні антикомутують. Ліва похідна монома, який містить непарне число генераторів , збігається з правою і відрізняється

від неї знаком, якщо це число парне.

Нижче нам будуть потрібні правила диференціювання добутку функціоналів:

якщо Ф1 – парний елемент алгебри Грассмана (містить

501

де Ф1 – непарний елемент, а Ф2 – будь-який. Обґрунтуван-

ня цих правил є в цитованій нижче книзі Ф. О. Березіна.

За наявності взаємодії гамільтоніан системи має добавку

Щоб переконатися у справедливості формули (12.117), обмежимося взаємодією системи ферміонів із зовнішнім полем. Гамільтоніан взаємодії дорівнює

де uk1k2 – матричний елемент енергії взаємодії частинки

з зовнішнім полем. У цьому випадку оператор, який входить у (12.117), дорівнює

502

За допомогою сформульованих вище правил диференціювання знаходимо для неї вираз

Використовуючи наступні члени розкладу першої експоненти в правій частині формули (12.117), переконуємося у справедливості цієї формули.

Вираз (12.117) дозволяє переписати твірний функціонал

(12.103) у вигляді

де Z0 – твірний функціонал (12.108) системи в полі дже-

рел. Ця формула є основою для побудови ряду теорії збурень за взаємодією V . Вона дозволяє представити твірний функціонал і пов'язані з ним величини, зокрема функції Гріна, у вигляді рядів за степенями взаємодії.

503

Функція Гріна вільних частинок у k, -представленні

може бути отримана шляхом дворазового диференціювання твірного функціоналу (12.108):

Індексом D відзначені оператори в представленні взаємодії, ...0 означає гіббсівське усереднення з гамільтоніаном

вільних частинок. Формулу (12.120) легко перевірити шляхом диференціювання експоненти (12.108) з використанням правил (12.114)–(12.116).

Застосуємо формулу (12.120) до грінівської функції системи взаємодіючих частинок

но замінити твірним функціоналом (12.119). Розклад експоненти, яка входить до нього, в ряд за взаємодією V дозво-

гамільтоніана взаємодії (12.118). Виконуючи дворазове диференціювання експоненти (12.108), знаходимо

504

(12.120), одержуємо поправку першого порядку до функції Гріна (12.121):

Відповідні цим доданкам діаграми зображені на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Діаграми для функції Гріна частинки в полі

Діаграма на рис. 12.2(а) незв'язна, а на рис. 12.2(б) – зв'язна. У розділі 11 було показано, що незв'язні діаграми в розкладі функції Гріна відсутні. Це випливає з формули (11.78) для функції Гріна в представленні взаємодії. Дійсно, переходячи у формулі (12.121) до цього представлення, одержуємо

505

– температурний оператор розсіювання. Використовуючи у формулі (12.123) теорему Віка, переконуємося в тому, що в першому порядку теорії збурень внесок чисельника збігається з (12.122), а внесок знаменника дорівнює

G120 U34G430 . 34

Він компенсує внесок незв'язної діаграми на рис. 12.2(а). Поправка першого порядку до функції Гріна (12.121) виявляється рівною

Щоб автоматично виключити незв'язні діаграми, введемо твірний функціонал W для зв'язних функцій Гріна:

Узагальнення цієї формули на випадок n -частинкової функції Гріна очевидне. Знову скористаємося гамільтоніаном (12.118) і представимо функціонал (12.125) у вигляді ряду за взаємодією W W0 W1 ... Легко показати, що

Підставляючи цей вираз у формулу (12.126), знаходимо поправку першого порядку (12.124) до функції Гріна. Таким чином, ми маємо альтернативний метод обчислення

506

функцій Гріна і пов'язаних з ними термодинамічних величин. Отримані цим методом величини збігаються з обчисленим в розділі 11 методом, який використовує операторний формалізм і теорему Віка.

Закінчуючи посібник, ми нагадуємо читачеві, що ця книга є лише коротким вступом до статистичної фізики. Її методи безупинно удосконалюються і поповнюються, а галузь застосування сягає від ядерної матерії до Всесвіту в цілому. Розглянути всі застосування в розумному обсязі неможливо. У посібник не ввійшли такі важливі розділи, як двовимірна модель Ізінга, надплинність і надпровідність, релятивістська термодинаміка. У майбутньому ми сподіваємося ліквідувати цей недолік. Даний посібник – результат коливань авторів між необхідністю розглянути якнайбільше застосувань і бажанням познайомити студентів із сучасними методами статистичної фізики. Нехай читач судить про те, чи вдалося авторам розв’язати цю задачу.

507

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы кванто-

вой теории поля в статистической физике. – М.: Физматгиз, 1962.

2.Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики. –

М.: Наука, 1973.

3.Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики.

– М.: Наука, 1977.

4.Базаров И. П. Термодинамика. – М.: Высшая школа, 1991.

5.Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и ста-

тистическая физика. – М.: МГУ, 1986.

6.Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. –

М.: Мир, 1978. – Т. 1, 2.

7.Барьяхтар В. Г., Криворучко В. Н., Яблонский Д. А. Функции Грина в теории магнетизма. – К.: Наукова думка, 1984.

8.Беккер Р. Теория теплоты. – М.: Энергия, 1974.

9.Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. – М.: Наука, 1965.

10.Блейзо Ж–П., Рипка Ж. Квантовая теория конечных систем. – К.: Феникс, 1998.

11.Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. – М.: Мир,

1983.

12.Боголюбов М. М. Лекції з квантової статистики. – К.: Радянська школа, 1949.

13.Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. – М.: Наука, 1984.

14.Вакарчук І. О., Кнігініцький О. В., Попель О. М., Кулій Т. В. Збірник задач з термодинаміки і статистичної фізики. – Л.: ЛДУ, 1998.

15. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля

и статистике. – Л.: ЛГУ, 1976.

16.Гречко Л. Г., Сугаков В. И., Томасевич О. Ф., Федорченко А. М.

Сборник задач по теоретической физике. – М.: Высшая школа,

1972.

17.Єрмолаєв О. М. Функції Гріна в теорії твердого тіла. – Х.: ХНУ,

2001.

18.Зубарев Д .Н. Неравновесная статистическая термодинамика. – М.:

Наука, 1971.

19.Исихара А. Статистическая физика. – М.: Мир, 1973.

20.Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. – М.:

Мир, 1964.

21.Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. – М.:

МГУ, 1991. – Т. 1; 1987. – Т. 2.

507

22.Киттель Ч. Элементарная статистическая физика. – М.: ИИЛ,

1960.

23.Киттель Ч. Статистическая термодинамика. – М.: Наука, 1977.

24.Климонтович Ю. Л. Статистическая физика. – М.: Наука, 1982.

25.Кобилянський В. Б. Статистична фізика. – К.: Вища школа, 1972.

26.Кондратьев А. С., Романов В. П. Задачи по статистической физике.

– М.: Наука, 1992.

27.Косевич А. М., Хохлов В. И. Методические указания по курсу «Термодинамика и статистическая физика». – Х.: ХГУ, 1978–1988.

28.Кубо Р. Статистическая механика. – М.: Мир, 1967.

29.Кубо Р. Термодинамика. – М.: Мир, 1970.

30.Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика. – М.: Наука,

1981.

31.Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. –

М.: Наука, 1965.

32.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. – М.: Наука,

1995.

33.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1988.

34.Ландсберг П. Задачи по термодинамике и статистической физике. –

М.: Мир, 1974.

35.Левич В. Г. Введение в статистическую физику. – М.: ГИТТЛ, 1954.

36.Леонтович М. А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. – М.: Наука, 1983.

37.Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. – М.:

ФМЛ, 2000.

38.Майер Дж., Гепперт–Майер М. Статистическая механика. – М.:

Мир, 1980.

39.Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. – М.: Наука, 1979.

40.Маттук Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел. –

М.: Мир, 1969.

41. Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. – М.: Наука, 1982.

42.Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. – М.: Наука, 1987.

43. Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля

истатистической физике. – М.: Атомиздат, 1976.

44.Райдер Л. Квантовая теория поля. – М.: Мир, 1987.

45.Реймс С. Теория многоэлектронных систем. – М.: Мир, 1976.

46.Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика

икинетика. – М.: Наука, 1977.

508