statukr

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

де H – гамільтоніан частинки,

. Порівнюючи фор-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

8.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 5249 50 51 52 > Следующая >>>

Дійсно, використовуючи умову повноти станів частинки p з певним імпульсом,

запишемо амплітуду (12.65) у вигляді

U0 x, x0 ,t

dp dp x

(12.66)

pˆ

exp

x .

Тут

p 2

2 exp

– плоска хвиля де Бройля. Вона нормована умовою

						p

					p
Тому
p		i	pˆ	2
	exp	i	pˆ		t	p
	exp				t	p
			2m

p p .
	i	p	2		p p .
exp	i	p		t
exp				t
		2m
		2m

У результаті амплітуда переходу (12.66) дорівнює

x, x

12 exp

x x

. (12.67)

2 i

2 t

Вона лише множником i відрізняється від функції Гріна (12.29). У тривимірному випадку

r , r

32 exp

r r

. (12.68)

2 i

2 t

480

Підставляючи вираз (12.67) в амплітуду (12.64), знаходимо

U x, x0 ,t lim

n 2

dx1...

2 i t

(12.69)

dxn 1 exp

xl xl 1

V xl 1

l 1

2 t

де ми поклали xn x. Оскільки

2 i t

imx2

dx exp

вираз (12.69) можна записати так:

U x, x0

, t lim

dx1... dxn 1

m x

exp

l 1

V xl 1

l 1

m x x

dx1... dxn exp

l 1

t .

l 1

У показниках експонент містяться інтегральні при n перетворюються в інтеграли від функцій Лагранжа:

S x t	t	m		x t	2	V x t
		m			2
		dt
		dt	2
			2
	0

(12.70)

суми, які класичних

(12.71)

у чисельнику,

	x t	t		m	x t	2
S0			dt	m		2	(12.72)
S0			dt				(12.72)
			2
		0

481

у знаменнику. Крапкою відзначені похідні за часом. Інтеграл (12.71) є дією, яка обчислена для руху частинки у полі

Vза класичною траєкторією x t , що поєднує точки x0

іx, а (12.72) – дія вільної частинки. Коли n , ампліту-

да (12.70) містить нескінченнократні інтеграли за всіми траєкторіями, які поєднують точки x0 і x. Ці інтеграли

називаються континуальними. Амплітуду (12.70) прийнято записувати у вигляді


	i			i		1
U x, x0	,t Dx exp	S	D x exp		S0	.	(12.73)
U x, x0	,t Dx exp	S	D x exp		S0	.	(12.73)

Варто пам'ятати про те, що в знаменнику (12.73) виконується інтегрування і за xn . Це відзначено штрихом у сим-

вола D.

Якщо врахувати рівність

imx2

exp

dp exp

вираз (12.73) можна переписати так:

U x, x0 ,t Dx Dp

exp

dt p

t x t

x t

D x

Dp exp

t x t

482

n
Тут Dp lim			dpl . Амплітуда переходу виражена
n l 1

через континуальні інтеграли у фазовому просторі, а показники експонент містять гамільтонову функцію частинки.

Як вправу ми пропонуємо читачеві обчислити амплітуду переходу (12.70) для одновимірного гармонічного осцилятора з частотою . Вона дорівнює

				m		12
U x, x0	, t
U x, x0	, t
		2 i		sin t			(12.74)
	im						(12.74)
	im
exp			x02 x2		cos t 2x0 x .
exp			x02 x2		cos t 2x0 x .
2	sin t

У підрозділі 12.2 (див. (12.28)) ця амплітуда обчислена іншим методом. У випадку 0 звідси одержуємо амплітуду переходу вільної частинки (12.67).

12.5. Представлення матриці густини у вигляді континуального інтеграла

Як і в попередньому підрозділі, обмежимося розглядом частинки з масою m, яка виконує одновимірний рух у по-

тенціальному полі V x . Будемо вважати, що вона знахо-

диться в термостаті. Тоді рівноважний статистичний оператор такої системи дорівнює (3.10). Одночастинкова матриця густини в координатному представленні пропорційна

мули (12.61) і (3.10), бачимо, що для представлення матриці густини (12.75) у вигляді континуального інтеграла досить зробити заміну

483

	it	(12.76)

у формулах попереднього підрозділу. Величина		зміню-

ється від 0 до . У результаті такої заміни одержуємо


	ˆ				m			2
	ˆ				m			2
x	exp H	x	Dx exp d		2	2	x
x	exp H	x	Dx exp d			2	x
				0
				0

		m				1
		m		x	2
			2			.
D x exp d		2	2			.
	0	2
	0

V x

Тепер траєкторії,	за	якими виконується інтегрування,
є кривими x x	на	площині , x . Вони поєднують

точки 0, x і , x . Крапкою відзначена похідна за . Виконуючи заміну (12.76) у формулі (12.67), одержуємо

матрицю густини вільної частинки в термостаті:

exp H

exp

2 2

x x

У тривимірному випадку вона дорівнює

exp H

exp

2 2

r r

Слід цієї матриці

r r

exp H

збігається з одночастинковим статистичним інтегралом

(4.12).

Таким же способом одержуємо матрицю густини осцилятора в термостаті:

484

exp H

(12.77)

exp

2x x

2 sh

Звідси знаходимо статистичну суму осцилятора:

z dx x

exp H

exp

n 0

(12.78)

2sh

Вона збігається з формулою (4.38), отриманою іншим методом. Слід матриці (12.77) в енергетичному представленні дорівнює

exp n ,

де n – власне значення гамільтоніана. Порівнюючи цей

вираз з (12.78), знаходимо рівні енергії осцилятора (4.36). Густина імовірності координати x осцилятора дається

діагональним матричним елементом матриці густини

(12.77):

w x

exp

(12.79)

x2th

exp

Коли , одержуємо звідси відому з квантової механі-

ки формулу для квадрата модуля хвильової функції осцилятора в основному стані:

485

m 12

m x2

exp

Якщо ж 1, то з формули (12.79) випливає

m 2		12		m 2 x2
w x			exp		.
	2			2

Це відомий розподіл Больцмана (4.6), нормований на одиницю.

12.6. Континуальні інтеграли для когерентних станів

У цьому підрозділі ми представимо матричний елемент оператора еволюції (12.61) між двома когерентними стана-

ми zi й z f у вигляді континуального інтеграла. Для

цього, як і в підрозділі 12.4, розділяємо оператор U t на

n множників:
ˆ	ˆ	ˆ				ˆ		(12.80)
U t U U ...U ,								(12.80)
де
ˆ		i		ˆ			t
U exp			H		,		n	.
							n

Поставимо перед кожним множником у (12.80) одиничний оператор (12.55). Тоді матричний елемент оператора еволюції можна записати у вигляді

z f

d z1

...d zn z f

U t

zn 1 ... z1

zi .

(12.81)

Нехай (див. (12.59))


H z1 , z2		ˆ
		ˆ
	z1	H		z2
	z1	H		z2
	z1		z2

486

– матричний елемент гамільтоніана на двох когерентних станах. Оскільки проміжок малий, можна приблизно записати

	ˆ					i
	ˆ					i
zl	U	zl 1	zl	zl 1	exp		H zl	, zl 1	,	(12.82)
де члени 2
де члени 2		опущені. Відзначимо, що це співвідношення

ˆ
є точним, якщо оператор H записаний у нормальній фор-
мі. Функція H zl , zl 1 отримана з нормально упорядкова-
ˆ	заміною aˆ і aˆ	на z і z
ної форми гамільтоніана H	заміною aˆ і aˆ	на z і z

відповідно. У випадку бозонів z і z – комплексні числа, а у випадку ферміонів – змінні Грассмана. Міра інтегрування в (12.81) визначається співвідношенням (12.57).

Після підстановки (12.82) у (12.81) амплітуда переходу набуває вигляду

d z

l 1

(12.83)

z f

exp

H zl , zl 1

l 1

де ми поклали

zi .

Введемо малу величину

яка порядку . Тоді

zl 1 ,

zl 1

exp zl zl 1

exp zl zl .

exp zl zl

Тут враховане

перекриття

когерентних

станів (12.54),

487

а zl zl zl 1. Підставляючи цей вираз у (12.83), одержу-

ємо точний інтеграл за траєкторіями для амплітуди переходу:

z f

lim

2 i

dzl z f

dzl

l 1

(12.84)

exp

H zl

, zl 1

zl zl

l 1

Тут

n ,

так,

що

інтервал

t n

залишається

скінченним. У формулі (12.84) використані позначення

dzl dzl dzl k dzl k ,

zl zl zl k zl k ,

де k – одночастинковий базис.

При малому можемо використати наближення

H z , z H z , z ,

l l 1 l l

а відношення zl замінити похідною zl . Тоді інтеграль-

на сума в показнику експоненти (12.84) при n переходить в інтеграл

H z t , z t i

z t

z t .

В результаті амплітуда (12.84) набуває форми

z f

U t

D z

, z exp

S z

, z

(12.85)

де

488

	t

S z , z dt z		t i		z t H z t , z t
S z , z dt z		t i	t	z t H z t , z t
	0		t				(12.86)
	0
i	z t z t
– ефективна дія, а
	D z , z				1
	D z , z	2 i			2	dz t dz t	(12.87)
		t

–

міра інтегрування. У

формулі

(12.86) ми

поклали

z f

z t . Таким чином,

траєкторії

у формулі

(12.85)

підкоряються граничним умовам

z 0

z t

z f

(12.88)

Розглянутий вище метод використаємо для обчислення

сліду оператора еволюції:

z .

SpU t d z

U t

Знову розділимо оператор

на n

множників (12.80).

U t

Потім введемо одиничний оператор (12.55) між кожним

ˆ
множником U . Одержимо
ˆ	...d zn		ˆ			ˆ
ˆ			ˆ			ˆ
SpU t d z1		zn	U	zn 1 ...	z1	U	zn .
SpU t d z1		zn		zn 1 ...	z1	U	zn .

Діючи, як описано вище, знаходимо дискретний інтеграл за траєкторіями:

			n
	ˆ			l l
	ˆ		d z z
SpU t			d z z
			l 1
де	zn	z0	. Коли n ,
де	zn	z0	. Коли n ,

		i	n		z , z
z	exp			H			,

l 1					l	l 1
			l 1

звідси одержуємо

489

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 5249 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Статы

#
20.05.2015868 Кб3IMG_20140520_205259_193.jpg
#
20.05.20151.68 Mб3IMG_20140520_205307_970.jpg
#
20.05.20151.64 Mб3IMG_20140520_205317_302.jpg
#
20.05.20151.11 Mб3IMG_20140520_205328_574.jpg
#
20.05.20151.03 Mб3IMG_20140520_205339_012.jpg
#
20.05.20158.64 Mб80statukr.pdf