n 
ˆ r ˆ r 
.
В однорідній системі ця величина не залежить від r . Отже, повне число частинок в об’ємі V системи дорівнює
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей вираз можна записати у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
r e |
H H ˆ |
H H |
N V Sp e |
|
|
|
|
e |
|
r e |
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Циклічно переставляючи оператори під знаком сліду, одержуємо
N V 
ˆ r , ˆ r , 
.
Як і слід було чекати, густина електронів у рівноважній системі не залежить від часу. Вхідне сюди середнє пов'язане з функцією Гріна (11.8) співвідношенням
ˆ r , ˆ r , 
G r , ; r , 0 ,
де 0 означає, що величина прямує до нуля з боку позитивних значень. У результаті число електронів у системі пов'язане з температурною функцією Гріна співвідношенням
Nlim V G r , ; r , .
0
Підставляючи сюди фур'є-розклад (11.19), знаходимо
|
|
|
|
d |
3 |
p |
1 |
|
N |
lim V |
|
|
G p, s ei s . (11.50) |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
s |
З іншого боку, густина електронів може бути виражена
через їх |
функцію |
розподілу |
|
f p за |
імпульсами (див. |
(4.7)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
|
d 3 p |
|
f p . |
|
(11.51) |
|
|
V |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множник |
2 перед |
інтегралом |
враховує |
дві орі- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
єнтації спіну електрона. |
Порівнюючи |
формули |
(11.50) |
і (11.51), одержуємо зв'язок функції розподілу з грінівською функцією:
f p |
lim |
1 |
G p, s ei s . |
(11.52) |
|
|
0 |
s |
|
|
|
|
|
Рівняння (11.50) дає число електронів у відкритій системі як функцію змінних V ,T , , які задають її макростан. Це
число пов'язане з похідною від великого потенціалу спів-
відношенням (2.93): |
|
|
|
N |
. |
|
V ,T |
Інтегруючи це співвідношення за , одержуємо зв'язок термодинамічного потенціалу S з температурною функцією Гріна взаємодіючих електронів:
|
V ,T , 2V lim |
|
d 3 p 1 |
G p, s ei s . (11.53) |
|
d |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
0 |
|
s |
Інші термодинамічні величини можуть бути обчислені за схемою, описаною в розділі 2.
Як приклад використання формули (11.52) розглянемо ідеальний електронний газ. Підставляючи в (11.52) функцію Гріна (11.41), одержуємо для функції розподілу віль-
них електронів вираз
|
|
1 |
|
e |
i |
|
|
|
|
f0 |
p lim |
|
|
s |
|
|
, |
(11.54) |
|
i |
|
|
|
|
|
0 |
s |
s |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
де s – непарні мацубарівські |
частоти |
(11.16). Ця сума |
збігається з інтегралом (11.43) при 0 . Отже, функція розподілу (11.54) може бути отримана з (11.40) при 0. Як і очікувалось, вона дорівнює функції Фермі (11.37):
З формули (11.53) видно, що для обчислення термодинамічних величин системи взаємодіючих частинок необхідно знати одночастинкову температурну функцію Гріна (11.8). Її обчислення – одна з актуальних задач статистичної фізики. Далі на прикладі нормальної електронної рідини ми побачимо, як розв’язується ця задача.
11.4. Температурний оператор розсіювання
Оператори ˆ які входять у формули (11.4) exp
H
,
і (11.8), не можна представити у вигляді добутку операто-
ˆ |
|
ˆ |
, оскільки оператори |
ˆ |
ˆ |
рів exp H0 |
і exp V |
H0 |
і V не |
комутують. Тому введемо новий оператор ˆ , визначивши його співвідношенням
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
e |
0 H |
e |
0 H0 |
, 0 , |
(11.56) |
|
|
|
|
|
|
де |
і 0 належать інтервалу (11.5). Далі ми часто будемо |
вибирати 0 0 |
|
|
ˆ |
,0 |
ˆ |
|
і позначати |
. З цієї формули |
видно, що |
|
|
0 , 0 1. |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
(11.57) |
|
|
|
|
|
|
Одержимо диференціальне рівняння для ˆ .
го продиференціюємо співвідношення (11.56) за ємо (11.6). У результаті одержимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
VD |
. |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
H |
ˆ |
H |
|
e |
|
0 |
|
0 |
|
VD |
|
|
Ve |
|
|
Для цьо- і враху-
(11.58)
(11.59)
– оператор міжчастинкової взаємодії (див. останній доданок у гамільтоніані (11.7)) у представленні Дірака.
Рівняння (11.58) з початковою умовою (11.57) еквівалентне інтегральному рівнянню
|
|
|
1 . |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(11.60) |
|
1 d 1VD 1 |
|
0 |
|
|
|
Формальний розв’язок цього рівняння представимо у ви-
ˆ |
: |
гляді ітераційного ряду за степенями V |
|
|
ˆ ˆn , |
(11.61) |
n 0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
Зокрема, |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 |
|
1 |
|
. |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
d 1VD 1 |
d 2VD 2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Тут інтегрування виконується за площиною нижнього трикутника на рис. 11.2. Зручно перейти до інтегрування за квадратом зі стороною .
Рис. 11.2. Область інтегрування в ˆ2
Для цього запишемо
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 1VD 1 |
|
d 2VD 2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
2 |
|
d 2VD 2 |
d 1VD 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Другий доданок отриманий з першого заміною змінних інтегрування 1 2. У другому доданку інтегрування
виконується за верхнім трикутником на рис. 11.2. Отже,ˆ2 дорівнює інтегралу за квадратом
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
, |
|
d 1 d 2T VD 1 VD |
|
ˆ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
V |
V |
|
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
D |
|
1 D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T VD 1 |
VD 2 |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
, |
|
|
|
(11.62) |
|
|
|
|
VD |
2 VD 1 |
1 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На відміну від визначення (11.9), знаки у верхньому і ни-
жньому рядках (11.62) однакові, оскільки оператор ˆ має
V
парне число фермієвських операторів. Аналогічно можна
414
показати, що
n |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
d 1... d nT VD |
1 ...VD n . |
ˆ |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, оператор ˆ |
(11.61) представлений рядом |
|
1 |
n |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
d 1... d nT |
VD 1 ...VD n . (11.63) |
n 0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Його записують у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
. |
|
(11.64) |
|
|
T exp d VD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 0 0 цей вираз стає таким: |
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 T exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
. |
(11.65) |
|
|
d VD |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей оператор має очевидну властивість |
|
|
|
|
|
ˆ |
, 1 |
ˆ |
|
|
ˆ |
, 0 |
, |
|
|
|
(11.66) |
|
1, 0 |
|
|
|
|
де 1 0.
Якщо вибрати 0 0, |
, |
вираз (11.65) буде таким: |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
(11.67) |
T exp d VD . |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей оператор називається температурним оператором розсіювання. Представлення цього оператора у вигляді ітераційного ряду виходить з (11.63) при :
1 n |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
. (11.68) |
n! |
d 1... d nT VD 1 |
...VD n |
0 |
0 |
|
|
|
Виразимо великий потенціал системи електронів через температурний оператор розсіювання. Для цього оператор
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
H |
e |
H |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
(11.69) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
підставимо у формули (3.27), (3.28) і (3.35). Тоді |
|
|
1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
e |
H |
|
, |
|
|
|
Sp e |
H |
, |
ˆ |
|
|
|
|
|
0 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
1 |
|
|
|
ˆ |
0 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln Spe |
|
|
|
ln Sp e |
H |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Помноживши і розділивши аргумент логарифма на e 0 , де 0 – великий потенціал ідеального електронного газу, одержимо
Тут 
...
0 – введене раніше гіббсівське усереднення за ста-
нами системи невзаємодіючих електронів. Це співвідношення може бути записане в еквівалентній формі
Воно дозволяє представити великий потенціал у вигляді ряду теорії збурень за міжчастинковою взаємодією.
11.5. Функції Гріна в представленні взаємодії
Співвідношення (11.56) дозволяє пов'язати мацубарівські польові оператори (11.4) з операторами в представленні Дірака. Останнє представлення зручне в тому випадку, коли в гамільтоніані системи (11.6) виділений гамільтоніан взаємодії. Тому це представлення називають також пред-
ставленням взаємодії. Використовуючи оператор (11.56)
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
e |
H |
e |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ˆ |
|
|
|
і йому обернений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
H |
|
|
|
H |
, |
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
запишемо мацубарівські оператори (11.4) у вигляді
ˆ r , ˆ 1 ˆ D r , ˆ ,
(11.72)
ˆ r , ˆ 1 ˆ D r , ˆ ,
де ˆ D r , і ˆ D r , – польові оператори в представлен-
ні Дірака. Кожен оператор у цьому представленні пов'язаний з оператором у представленні Шредингера співвідношенням
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
H |
ˆ |
H |
. |
|
|
0 |
|
0 |
FD e |
|
|
Fe |
|
|
У рівняння руху для цього оператора
гамільтоніан взаємодії ˆ не входить.
V
Підставляючи оператори (11.69) і (11.72) у Гріна (11.8), одержуємо при :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 e |
|
Sp e |
H |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
G r , r ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
D |
r , |
1 |
|
D |
r , . |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки 0, |
формула (11.66) має вигляд |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, 0 |
|
|
(11.73)
(11.74)
функцію
(11.75)
або
ˆ , ˆ ˆ .
Домножаючи цю рівність праворуч на ˆ 1 , знаходимо
|
|
|
|
|
ˆ ˆ 1 ˆ , . |
|
|
|
|
|
(11.76) |
Аналогічно одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ 1 ˆ , , |
|
|
|
|
|
(11.77) |
оскільки 0. |
|
|
Формули (11.76) |
і (11.77) |
дозволяють |
переписати вираз (11.75) так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e |
|
|
|
|
|
H |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
G r , r ; |
|
|
|
|
|
Sp e |
|
|
|
|
, |
|
|
ˆ |
D |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
r , |
|
|
r , |
|
|
|
, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множники при |
e |
H |
|
під знаком сліду розташовані в хро- |
|
|
|
|
0 |
|
нологічному порядку, отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G r , r ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sp e |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r , |
r , |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
замість e |
|
Ця рівність справедлива і при . |
|
підставити сюди (11.71), одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
ˆ |
D |
|
|
|
ˆ |
D |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r , r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(11.78) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G r , ; r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одночастинкова функція Гріна записана в представленні взаємодії. Польові оператори, які входять у (11.78), підкоряються рівнянням руху (11.74) для вільних частинок.
Гамільтоніан міжчастинкової |
взаємодії входить |
тільки |
в температурний |
оператор |
розсіювання. |
Вираз, |
аналогічний (11.78), можна одержати і для двочастинкової функції Гріна (11.21).
11.6. Діаграми Фейнмана
Якщо підставити розклад (11.68) у формулу (11.78) і розділити ряд у чисельнику на ряд у знаменнику, ми одержимо представлення функції Гріна взаємодіючих електронів у вигляді ряду теорії збурень за степенями міжчастинкової взаємодії:
G G n .
n 0
У нульовому наближенні ця функція збігається з функцією Гріна (11.22) вільних частинок. Поправка першого порядку може бути отримана з виразу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
r , |
|
|
|
d V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(11.79) |
|
|
1 0 d 1V 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якщо в розкладі цієї величини обмежитися лінійними за V членами. Тут і надалі ми опускаємо індекс D у операторів і капелюшки над ними, а також індекс 0 у символа середнього. З огляду на (11.7), поправка першого порядку до чисельника в (11.79) буде такою:
G 1 |
|
1 |
|
|
d1 d 2V |
|
T |
|
|
|
|
|
, |
|
(11.80) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
00 |
|
|
|
12 |
|
|
0 |
0 1 2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де 0 , x , |
|
|
|
|
|
, |
|
x r , , |
|
|
, |
|
0 |
, x |
|
x |
r , |
1 1, x1 , ...,
d1 d 3r1 0 d 1, ...,
1
V12 |
|
r1 r2 |
|
1 2 V21. |
(11.81) |
|
|
