Статы Экзамен / Статы / statukr

Тут підсумовування виконується за дискретними значеннями величин повного набору. Якщо серед них є величини, які неперервно змінюються, за ними необхідно інтегрувати.

Необхідно мати на увазі, що не обов'язково використовувати імовірності для опису макросистеми. На будь-якому етапі від них можна відмовитись і описувати динаміку системи мікроскопічно. Теорія імовірностей використовується тому, що практично неможливо (і недоцільно) одержати q, p або величини n. Між тим від імовірностей у ква-

нтовій механіці відмовитися неможливо.

Використання імовірностей у статистиці передбачає введення статистичного ансамблю. Це набір копій нашої системи, які перебувають в однаковому макростані, але в різних допустимих мікростанах. Мікростан кожної такої системи в даний момент зображується точкою у фазовому просторі системи або набором величин n у випадку квантового статистичного ансамблю. У випадку нескінченної кількості копій одержуємо неперервну хмару фазових

дорівнює кількості точок, які потрапили в об’єм . Ясно, що D q, p також є функцією розподілу системи у фазовому просторі. Вона відрізняється від f і способом нормування. Величину fd можна трактувати як відносне число копій, фазові точки яких перебувають в об’ємі d фазового простору. Оскільки частинки рухаються, кожна фазова точка хмари описує свою фазову траєкторію. Різні

31

фазові траєкторії не стикаються і не перетинаються з причин, зазначених вище.

Щоб виділити статистичний ансамбль, необхідно задати тип вимірювання копій системи. Оскільки копії перебувають у різних мікростанах n (або q, p ), результати вимі-

рювання будуть різними. Саме сукупність результатів вимірювання і є статистичним ансамблем. Ансамбль вимірювання повного набору n або величин q, p називається пов-

ним. Реально вимірюється невелика кількість величин, яка набагато менша числа ступенів свободи системи. Ансамбль, який є при цьому, називається неповним, а опис системи за допомогою неповного ансамблю називають скороченим.

1.4. Середні значення фізичних величин

Фізичні величини в класичній механіці є функціями стану системи: F F q, p . Оскільки координати й імпульси

частинок змінюються з часом, величина F є складною функцією часу, явний вигляд якої для системи з величезним числом ступенів свободи не відомий. Щоб знайти залежність величини F від часу, необхідно проінтегрувати рівняння руху макросистеми, що практично неможливо. Будь-який реальний прилад, призначений для вимірювання величини F , не в змозі стежити за деталями її часової поведінки. У процесі вимірювання можна одержати лише середнє значення фізичної величини.

Середнє за часом вводиться і в інших курсах теоретичної фізики – у механіці, електродинаміці. Воно визначається співвідношенням:

32

де T – час спостереження над системою. Як уже відзначалось, обчислити величину F для макросистеми практично неможливо.

Гіббс запропонував замінити середнє за часом (1.25) середнім за ансамблем. Формула для цього середнього запозичена з теорії імовірностей:

Для обчислення цієї величини немає необхідності інтегрувати рівняння руху системи. Досить знати її функцію розподілу f q, p . Вона вважається нормованою умовою

(1.21). При інших способах нормування статистичне середнє (1.26) записується у вигляді

Постулюється, що середні (1.26) і (1.27) збігаються із термодинамічними величинами, які характеризують макросистему.

Виникає природне запитанння про співвідношення середніх за часом (1.25) і за ансамблем (1.26). Вважається, що ці середні збігаються. Це твердження називається ергодичною гіпотезою. Доказ рівності цих середніх для реальних систем є однією з проблем статистичної фізики.

Якщо система підкоряється законам квантової механіки, статистичне середнє дорівнює:

величини F у стані n. У формулі (1.28) необхідно підсу-

33

мовувати за дискретними величинами повного набору та інтегрувати за величинами, які мають суцільний спектр.

Вирази (1.26) і (1.28) стосуються системи, яка перебуває в стані статистичної (термодинамічної) рівноваги. Під цим ми розуміємо стан, у якому функція розподілу і середні значення не залежать від часу. Необхідно мати на увазі, що рівновага макросистеми є динамічною. Завдяки хаотичному тепловому руху частинок величини, які належать системі, флуктують, якщо тільки вони не залишаються сталими за означенням.

Стан рівноваги має властивість транзитивності. Це означає, що коли рівноважна система 1, приведена в тепловий контакт із рівноважними системами 2 і 3, не змінює свого стану, то і системи 2 і 3, між якими встановлений тепловий контакт, також не змінять своїх станів.

Нерівноважні системи і процеси в них вивчаються в інших розділах теоретичної фізики – у нерівноважній термодинаміці і фізичній кінетиці. З досвіду відомо, що коли замкнута система, яка перебуває в нерівноважному стані, полишена на саму себе, то згодом вона досягає стану рівноваги. Це твердження називається нульовим принципом термодинаміки. Час досягнення рівноважного стану називається часом релаксації. Обчислення часу релаксації – одна із задач фізичної кінетики.

1.5. Матриця густини

Формула (1.28) дає середнє значення фізичної величини F у змішаному стані. Останній характеризується набором чистих станів n та імовірностями n , з якими чисті

стани входять у суміш. Підсумовування в (1.28) виконується за повним набором фізичних величин, що стосуються системи. Функції n є загальними власними функціями

операторів повного набору. Індекс n в Fn означає, що ця

34

величина має в стані n певне значення. Іншими словами, величина F належить повному набору або є функцією величин, які входять у повний набір.

Запишемо середнє (1.28) у вигляді, який не залежить від представлення чистого стану. Для цього скористаємося тим, що квантовомеханічне середнє значення величини F у чистому стані n дорівнює:

Тоді середнє в змішаному стані буде таким:

n

Воно дорівнює сумі добутків квантовомеханічних середніх у чистих станах на імовірності, з якими ці чисті стани входять у суміш. Ця формула справедлива й у тому випадку, коли суміш утворена довільними чистими станами i ,

що входять у змішаний стан з імовірностями wi :

i

Введемо інший повний набір фізичних величин k , які стосуються системи. Оператори цього набору не комуту-

ють з оператором ˆ . Отже, матриця, яка відповідає опера-

F

де k – загальні власні функції операторів повного набору

k . Величина F у стані k не має певного значення. Щоб одержати імовірність знаходження значення k у стані n,

35

необхідно розкласти хвильову функцію n за повним ортонормованим набором k :

у стані n . Підставляючи (1.32) у (1.29), одержуємо:

в 1927 році. Середнє (1.33) дорівнює сліду добутку двох матриць – матриці густини (1.34) і матриці (1.31) оператора величини, яка усереднюється, у k -представленні. З матрицею густини також може бути зіставлений оператор ˆ ,

який називається статистичним оператором. Отже, середнє (1.33) дорівнює:

Оскільки слід оператора не залежить від представлення, для обчислення середнього (1.35) можна використовувати будь-яке зручне представлення. У формулі (1.28) викорис-

тано представлення, у якому оператори ˆ і F діагональні. З формули (1.34) видно, що матриця густини ермітова:

36

.

k k kk

Отже, статистичний оператор ермітів:

ˆ ˆ.

Діагональний матричний елемент матриці густини (1.34) позитивний:

Ця величина має сенс імовірності того, що чистий стан k входить у змішаний стан.

1.6. Статистична незалежність

Виділимо в макроскопічній системі її макроскопічні підсистеми. Вони взаємодіють між собою. Оскільки міжатомні сили короткодіючі, у взаємодії підсистем беруть участь лише ті частинки, які розташовані в тонкому шарі поблизу межі розподілу цих підсистем. Якщо лінійні розміри підсистеми порядку R , то кількість частинок у припо-

верхневому шарі порядку R2 , а в об’ємі підсистеми –

порядку R3 . Із збільшенням R відношення енергії взаємодії підсистем до енергії кожної з них швидко зменшується. Тому макроскопічні частини системи можна вважати майже незалежними (квазінезалежними). У результаті вони будуть статистично незалежними. Це означає, що значення величин, які належать до однієї підсистеми, не впливають на імовірності значень величин для інших підсистем.

37

Квазінезалежність підсистем можна сформулювати в такий спосіб. Нехай fa – функція розподілу підсистеми а, що

входить до складу макросистеми. Імовірність знайти фазову точку підсистеми а в елементі об’єму d a її фазо-

вого простору дорівнює fad a . Імовірність знайти фазову точку всієї системи в об’ємі d 12... її фазового простору позначимо через f12...d 12... , де f12... – функція розподілу

для всієї системи. Статистична незалежність підсистем означає, що

f12...d 12... fad a .

a

Оскільки d 12... d a , одержуємо

a

Таким чином, функція розподілу макросистеми мультиплікативна. Вона має вигляд добутку функцій розподілу її незалежних частин. Справедливе і обернене твердження. Якщо функція розподілу системи має вигляд (1.38), її частини незалежні. Розглянемо величину F1F2... , що стосу-

ється системи, де Fa стосується її підсистеми а. Середнє значення цієї величини дорівнює:

F1F2... d 12... f12...F1F2...

Використовуючи властивість (1.38), знаходимо

де

Fa d a fa Fa

– середнє для підсистеми а.

38

Як уже відзначалося, макроскопічні величини, що характеризують рівноважну систему, не залишаються сталими – вони флуктують. Мірою флуктуації величини F є середня квадратична флуктуація (дисперсія):

Щоб оцінити цю величину, виділимо в системі N майже однакових макрочастин. Розглянемо адитивну величину

F Fa ,

a

де Fa стосується частини а. Її середнє значення дорівнює

F NFa .

Відхилення величини F від середнього значення таке:

F F F Fa .

a

Отже,

F 2 Fa Fb Fa Fb.

Оскільки підсистеми а і b незалежні, то з (1.39) знаходимо:

Fa Fb Fa 2 ab.

Урезультаті маємо

F 2 Fa 2 N Fa 2 ,

a

39

Видно, що зі збільшенням кількості підсистем, тобто кількості частинок у системі, відносна флуктуація величини F зменшується. Ця обставина дозволяє знехтувати флуктуаціями величин у термодинаміці, якщо тільки не розглядаються явища, обумовлені флуктуаціями.

Уведемо функцію розподілу w для випадкової флуктуючої величини F . Визначимо її так, щоб імовірність знайти величину F в інтервалі F, F dF дорівнювала

w F dF . Тоді співвідношення (1.41) означає, що при вимірюванні величини F ми будемо одержувати для неї значення, близькі до середнього F . Функція розподілу w F

буде мати гострий максимум, коли F F , і швидко зменшуватись при віддаленні від цього значення. Дисперсія (1.40) дає порядок величини ширини кривої w F .

1.7. Теорема Ліувілля

Повернемося до статистичного ансамблю, розглянутого в підрозділі 1.3. Число фазових точок у деякому об’ємі у момент t дорівнює:

d D q, p,t .

Тут вважається, що функція розподілу D може явно залежати від часу. Зміна числа фазових точок у цьому об’ємі за одиницю часу дорівнює:

40