7.1.187. Доказать частный случай (при п = 2) формулы Лейбница для второй производной произведения: если и(х) и v(x) имеют вторые производные, то
(uv)" =u"v + 2u'v' + uv".
7.1.188. Верно ли, что если функция f(x) имеет производную в точке Хо, а функция д(х) — не имеет, то функция f(x)g(x) также не имеет производной в точке Xq ?
§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ Понятие дифференциала
^Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки хоТогда если существует такое число А, что приращение Ау этой функции в точке хо, соответствующее приращению Дх аргумента, представимо в виде:
Ay = А • Дх + а(Дх) • Дх, |
(2.1) |
где lim а(Дх) = 0, то функция /(х) называется дифференци- Дж—>0
руемой в точке хоПри этом главная, линейная относительно Дх, часть этого приращения, т.е. А-Ах, называется дифференциалом функции в точке хо и обозначается dy или df(xо).
Нетрудно показать (положив у — х в формуле (2.1)), что dx = Ах. Функция /(х) дифференцируема в точке хо тогда и только тогда,
когда в этой точке существует конечная производная /'(хо); при этом А = f'(xо). Поэтому df(xo) = f'(xo)dx, или, если /'(х) существует на данном интервале (а; 6), то
dy = f'(x) dx, х е (а; Ь).
Отсюда /; (х) = т.е. производная функции у = /(х) в точке х равна
отношению дифференциала этой функции в данной точке к дифференциалу независимой переменной.
Если приращение Дх аргумента х близко к нулю (т. е. достаточно мало), то приращение Ау функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е. Ay « dy, откуда
/(хо + Дх) » /(хо) + |
f'(xо)Ах. |
> |
v |
' |
df(x о)
Последняя формула удобна для приближенного вычисления значения функции /(х) в точке хо + Дх по известному значению этой функции и ее производной в точке хо-