1.8.4. Средняя квадратическая ошибка функций

измеренных величин

В тех случаях, когда используются косвенные методы измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и от действий (функций), с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m_f имеет большое практическое значение. Пусть имеем в общем виде функцию от многих независимых величин:

Z = f(l₁, l₂, ….l_n).

С учетом ошибок измерений величин l можно записать:

Z+ ΔZ= f(l₁+Δl₁, l₂+Δl₂,…. l_n+Δl_n).

Поскольку Δl₁,Δl₂,…Δl_n, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. При разложении в ряд возникают частные производные, поскольку в уравнении имеются несколько переменных аргументов. Не вдаваясь в детализацию вывода, запишем итоговую формулу для определения квадрата средней квадратической ошибки функции нескольких переменных:

Таким образом, квадрат среднеквадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднеквадратическую ошибку соответствующего аргумента.

В частности для функции в виде суммы (разности) аргументов вида:

Z = X ± Y ± T ± U ± ... ±V,

будем иметь:

Для функции вида Z = kX, соответственно _{или .}

1.8.5. Понятие об обработке многократных неравноточных

измерений

На практике часто измерения оказываются неравноточными. В этом случае уже нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, а следует учесть степень надежности каждого результата измерений.

Надежность результата, выраженная числом, называется весом измерения. Чем надежнее результат измерения, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью результата, которая как показано выше характеризуется среднеквадратической ошибкой. Поэтому вес результата принимается обратно пропорциональным среднеквадратической ошибке. Согласно этому общее математическое определение веса можно записать в виде:

P_i = C/(m_i)²,

где с - некоторая постоянная величина - коэффициент пропорциональности, m - среднеквадратическая ошибка измерения.

Для облегчения задачи отыскания весов, обычно вес какого-либо измерения принимают за 1 и относительно него вычисляют веса всех остальных измерений.

Для обработки результатов измерений многих величин в геодезии применяют принципы метода наименьших квадратов. Геодезические измерения характерны избыточностью, то есть измерений всегда больше, чем требуется для определения искомых величин. Так, например, в треугольниках всегда измеряют все три угла, хотя для его определения достаточно двух. Дополнительные измерения приводят к так называемым невязкам.

Так сумма измеренных углов в треугольнике обычно отличается от 180⁰ на некоторую величину, которая и называется

невязкой. Невязки определяются по формуле: f_пр = R_пр - R_теор, где R_пр – практически полученный результат, R_теор - теоретическое значение результата.

Для устранения невязок в геодезии выполняют специальную математическую обработку результатов, которая называется уравниванием. Результаты после уравнивания называются уравненными.

Получение единственного и в определенном смысле оптимального результата достигается применением метода наименьших квадратов. Суть его заключается в определении таких поправок в измеренные значения, что, во-первых, уравненные значения полностью соответствуют теоретическим, а во-вторых, полученные поправки удовлетворяют условию: сумма квадратов поправок минимальна.