Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы_инжен_геодезии_Макаров.doc
Скачиваний:
726
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
10.8 Mб
Скачать

1.8.2. Арифметическое среднее

Арифметическое среднее (арифметическая середина) определяется формулой:

(1.8.5)

l1, l2,….ln - результаты равноточных измерений. Если неизвестно истинное (точное) значение измеряемой величины, что обычно и бывает на практике, то возникает вопрос, какую же величину принимать вероятнейшее значение. Для ответа на этот вопрос запишем результаты ряда равноточных измерений в виде:

Δ1 = l1X

Δ1 = l1X

……………..

Δn = lnX

Cложив левые и правые части этих равенств получим

Δ = ∑l - nX. Разделив обе части этого равенства на n, будем иметь: гдеХср - Х = η - истинная погрешность арифметического среднего.

По третьему свойству случайных ошибок поэтому при n →∞ Хср→Х. Следовательно, при неограниченно большом числе измерений и отсутствии систематической ошибки, арифметическое среднее стремится к истинному значению измеряемой величины. Поэтому его называют вероятнейшим значением измеряемой величины. В практике число измерений естественно ограничено, поэтому арифметическое среднее может заметно отличаться от истинного значения.

1.8.3. Средняя квадратическая ошибка измерений

Для оценки точности измерений, то есть для определения степени близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины, чаще всего определяют среднюю квадратическую ошибку. Эта величина определяется по результатам измерений по формуле, предложенной Гауссом:

Величина m является также случайной величиной, зависит от числа измерений и сама определяется с ошибкой:

Для определения допустимости полученной ошибки вычисляют предельную ошибку Δпр, больше которой ошибки относятся уже к грубым.

Величину предельной ошибки определяют по формуле:

Δпр =km, где k = 2 (вероятность 0.95) или 3 (вероятность 0.997).

Точность геодезических измерений характеризуется абсолютными и относительными ошибками. Абсолютными являются истинные, средние квадратические и предельные. Относительной ошибкой ε называется отношение соответствующей абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины. Ее выражают в виде дроби, где в числителе 1.

Если измеренную величину обозначить Хср, то

где εm и εпр - соответственно относительная средняя квадратическая и предельная ошибки.

Вычисление среднеквадратической ошибки по формуле Гаусса возможно только тогда, когда известны истинные ошибки измерений, однако в большинстве случаев они не известны. Поэтому на практике задача решается через уклонения результатов измерений от их арифметического среднего v (вероятнейшие ошибки), которые вычисляются по результатам многократных измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисляется по формуле Бесселя:

где v - вероятнейшие ошибки: vi = Xi - Xср.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.