Обратная теорема

Действие одной поворотной оси равносильно действию двух зеркальных плоскостей, пересекающихся вдоль упомянутой оси. При этом первая плоскость проводится произвольно, а вторая плоскость должна образовывать (в направлении поворота оси) с первой плоскостью угол, равный половине элементарного угла поворотной оси.

Теорема №2

При наличии двух пересекающихся осей симметрии всегда следует искать третью равнодействующую ось, проходящую через точку пересечения первых двух (теорема Эйлера).

Лекция 3

Теорема №3

1. При наличии центра инверсии и четной оси, перпендикулярно последней проходит плоскость симметрии (рис.1)

С

Р

L_2n

рис.1

2. При наличии центра инверсии и проходящей через него плоскости симметрии, перпендикулярно последней проходит четная ось симметрии (рис.1)

3. При наличии четной оси L_2nи перпендикулярной ей плоскости симметрии всегда присутствует центр инверсии.

Следствие

При наличии центра инверсии сумма четных осей равна сумме плоскостей симметрии, причем каждая четная ось перпендикулярна плоскости симметрии.

Пример

• Куб:3L₄4L₃6L₂9РС

(3+6)L_2n=9P

• Тетрагональная призма:L₄4L₂5РС

(4+1)L_2n=5P

Теорема №3

(Следствие из теоремы Эйлера)

В присутствии осей симметрии n-го порядка и перпендикулярных к ней осей симметрии второго порядка имеем всего n осей второго порядка

L_nL₂nL₂

L_nPnL₂, лежащих в плоскости Р.

Теорема 5

(Следствие из теоремы 1)

В присутствии осей симметрии порядка n и плоскости симметрии, проходящей параллельно этой оси, имеем всего n таких плоскостей.

L_nРnР

Понятие о единственном направлении.

Единственное не повторяющееся в кристалле направление является единичным.

Например, гексагональные пирамида(L₆Р₆) и призма(L₆6L₂7РС)имеют такое направление — ось L_6.

Повторяющиеся в кристалле направления, сввязанные элементами симметрии, называются симметрично равными.

Пример:В кубе нет единичных направлений, все симметрично равные.

Расположение элементов симметрии относительно единичного направления.

1. Е В присутствии единичного направления возможен

С центр симметрии, лежащий в середине кристалла.

Е₁

Рис.2

2. Е В присутствии оси n-го порядка, параллельной

единичному направлению, оно всегда будет

Е₁L_n единичным.

Рис.3

3. Е Если есть ось симметрии, перпендикулярная единичн

ому направлению, то оно останется единичным.

L_n

Е₁

Рис.4

4. Е Единичное направление останется единичным, если

есть плоскость симметрии, перпендикулярная ему.

Р

Е₁

Рис.5

5. Е Единичное направление останется единичным, если

есть плоскость симметрии, параллельная ему

Р

Е₁ Рис.6