МЭИ(ТУ) Физика

2.7. Поле создано диполем с электрическим моментом p = Ql.

1. Найти потенциалы точек, лежащих: а) вдоль оси диполя (ось x) и б) на перпенди- куляре к оси, проходящем через середину диполя.

2. Построить графики зависимостей φ(x) и φ(y) для указанных точек.

2.8. Тонкий диск радиуса r = 20 см равномерно заряжен с поверхностной плотно- стью σ = 50 нКл/м2.

1.Найти потенциалы в точках, лежащих на оси диска на расстояниях: a) z1 = 0,l r; б) z2 = 3r от его центра.

2.Показать, что при z >> r потенциал меняется с расстоянием, как в поле точечного заряда.

3.Построить график зависимости потенциала φ от расстояния z до точек, располо- женных на оси диска.

2.9.По полусфере радиуса r = 10 см равномерно распределен заряд Q = 6 · 10-7 Кл.

1.Найти потенциал в центре полусферы.

2.Как изменится ответ, если заряд Q распределить по поверхности полусферы не- равномерно?

2.10.По сфере радиуса r0 = 30 мм равномерно распределен заряд Q = 1,0 · 10-7 Кл.

1. Найти потенциал в точках, расположенных на расстояниях r1 = 20 мм и r2 = 10 мм от центра сферы. Начало отсчета потенциала выбрать в центре сферы.

2.Построить график φ(r).

3.Те же вопросы при начале отсчета потенциала в бесконечности.

2.11. Тонкая* длинная* нить равномерно заряжена с линейной плотностью

τ = 4,0 · 10-7 Кл/м.

а) Найти потенциал в точках, расположенных на расстоянии r1 = 20 мм и r2 = 10 мм от нити. Начало отсчета потенциала в точке на расстоянии от нити r0 = 60 мм.

б) Вычислить потенциал в каждой точке, приняв r0 = 60 см.

2.12.Длинный* цилиндр радиусом r0 = 30 мм равномерно заряжен по поверхности

сплотностью σ = 6 · 10-9 Кл/м2.

1.Найти потенциалы в точках на r1 = 20 мм, r2 = 10 см от его оси. Начало отсчета потенциала принять на оси.

2.Построить график φ (r).

3.Можно ли выбрать начало отсчета потенциала в конечно удаленной точке? Ответ объяснить.

2.13. Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ = 6 · 10-9 Кл/м2. Найти потенциалы в точках, расположенных на расстоянии x1 = 20 см, x2 = 10 см от нее. Начало отсчета потенциала принять на плоскости.

2.14.Объемный заряд постоянной плотности ρ имеет форму длинного* цилиндра радиусом r0.

1. Найти потенциал как функцию расстояния от оси цилиндра. За точку с нулевым потенциалом принять ось цилиндра, φ(0) = 0.

2. Построить график φ(r).

3. Можно ли в данном случаем начало отсчета потенциала отнести к бесконечно- сти?

4. Вычислить разность потенциалов между точками, отстоящими от поверхности цилиндра на r0/2 внутрь и наружу, если r0 = 30 см, ρ = 6 · 10-6 Кл/м3.

2.15.Объемный заряд постоянной плотности ρ имеет форму большого* плоского слоя толщиной d.

1. Найти потенциал как функцию расстояния x от середины слоя по нормали к его поверхностям. Начало отсчета потенциала в середине слоя, φ(0) = 0.

2. Построить график φ(r).

3. Вычислить разность потенциалов между точками, отстоящими от поверхности слоя на d/4 внутрь и наружу, d = 1,0 см, ρ = 6 · 10-6 Кл/м3.

2.16.Объемный заряд постоянной плотности ρ имеет форму шара радиуса r0.

1.Найти потенциал как функцию расстояния r от центра шара. Начало отсчета по- тенциала выбрать на бесконечности, φ(∞) = 0.

2.Построить график φ(r).

3.Вычислить потенциал центра шара, если r0 = 1,0 см, ρ = 6 · 10-6 Кл/м3.

2.17. Сфера радиуса r1 = 2,0 см, равномерно заряженная зарядом Q1 = 10 нКл, ок- ружена концентрической сферой радиуса r2 = 4,0 см, равномерно заряженной зарядом

Q2 = – 40 нКл.

1.Найти потенциал точек, находящихся на расстоянии r3 = 3,0 см и r4 = 5,0 см от центра сферы.

2.Найти потенциал внутренней сферы.

3.Построить графики зависимости проекции вектора напряженности Er и потен- циала φ от расстояния r.

4.Построить эти же графики при увеличении абсолютной величины заряда Q

вдвое.

2.18. Электронное облако постоянной объемной плотности заряда ρ = – 6 · 10-4 Кл/м3 имеет форму шара радиуса r1 = 3,0 см. Концентрично этому облаку расположена тонкая сфера радиуса r2 = 7,0 см, равномерно заряженная с поверхностной плотностью σ = 1,5 · 10-6 Кл/м2.

1.Найти потенциал поля в точках r3 = 0, r4 = 1,0 см, r5 = 4,0 см, r6 = 8,0 см (r – рас- стояние от центра объемного заряда до рассматриваемой точки).

2.Построить графики зависимости проекции; напряженности поля Er и потенциала

φот расстояния r.

2.19.По сфере радиуса r0 равномерно распределен заряд Q. Пользуясь принципом суперпозиции, рассчитать потенциал как функцию расстояния r от центра сферы.

Указание. Боковая поверхность шарового слоя высоты dh равна S = 2πr0dh.

2.20.Две тонкие* большие* пластины, равномерно заряженные с поверхностными плотностями σ1 = 2,0 нКл/м2 и σ2, расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 30 мм.

1.Найти разность потенциалов U между пластинами.

2.Построить график изменения потенциала вдоль прямой, перпендикулярной пла-

стинам, считая потенциал одной из них равным нулю. Рассмотреть случаи:

а) σ2 = 4,0 нКл/м2; б) σ2 = σ1; в) σ2 = – σ1; г) σ2 = – 4,0 нКл/м2.

2.21. Три одинаковые тонкие* пластины расположены, параллельно друг другу на расстоянии d = l,0 мм одна от другой (очень малом по сравнению с линейными разме- рами пластин).

1.Найти разности потенциалов U1 и U2 между соседними пластинами, если на пер- вой находится равномерно распределенный заряд с плотностью σ1 = 20 нКл/м2, на вто- рой σ2 = 40 нКл/м2, на третьей σ3 = – 60 нКл/м2.

2.Построить график изменения потенциала φ вдоль оси x, перпендикулярной плос- кости пластин (φ = 0 на одной из пластин).

2.22.Длинная* тонкая* прямая нить равномерно заряжена с линейной плотностью

τ= 1,0 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r = 10 см от нити. Указать направление вектора grad φ.

2.23.Потенциал электростатического поля в некоторой области зависит только от координаты x следующим образом: a) φ = ax + c, x > 0; б) φ = – ax2/2 + c.

1.Чему равна напряженность такого поля?

2.При каком распределении зарядов может быть такое поле?

3.Какова размерность коэффициентов a и c, чем они определяются?

2.24.Некоторое распределение зарядов создает электростатическое поле, потенци- ал которого зависит только от координаты x так, как это представлено на рис. 2.4 а, б.

1. Начертить график зависимости проекции силы Fx, с которой поле действует на протон, от координаты x протона.

2. Как будет изменяться сила, с которой поле действует на протон, при d → 0? 3. Какие распределения зарядов позволяют получить такие поля?

2.25.Какова энергия W и скорость v электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов в 300 В?

2.26.Две параллельные пластины, расстояние между которыми l = 10 см, имеют равные разноименные, равномерно распределенные заряды (плоский конденсатор). В

Рис. 2.4 а, б.

середину между ними, параллельно им, влетает пучок электронов, прошедших уско- ряющее электрическое поле с разностью потенциалов U0 = 500 В. Какую минимальную разность потенциалов U надо создать между пластинами, чтобы электроны не вылетели из пространства между ними? Длина пластин b = 5 см.

Ответы

2.4.1. ϕ = 4πεQ0r = 8 кВ . 2. Не изменится.

z

ось x направлена вдоль дипольного момента.

2.См. рис. 2.7.

2.8.1. ϕ(z)= 2σε0 ( r2 + z2 - z ), а) φ = 510 В; б) φ = 90 В.

2.Указание: по формуле Тейлора 1+ x = 1+ x2 при малых x.

3.См. рис. 2.8.

2.9.1. ϕ = 4πεQ0r = 54 кВ.

2.Не изменится.

2.12. 1. ϕ(r1 )= 0, ϕ(r2 )= σr0 ln r0 = -24 кВ.

ε0 r

2.См. рис. 2.10.

3.Нельзя.

Рис. 2.11. Рис. 2.12.

2.См. рис. 2.11.

3.Нельзя.

2.21.1. U1 = 2dε0 (σ1 -σ2 -σ3 )= 2,3 В; U2 = 2dε0 (σ1 + σ2 -σ3 )= 7 В . 2. См. рис. 2.18, φ = 0 на левой пластины с σ1.

Рис. 2.18.

2.23.1. а) Ex = -a ;

б) Ex = ax .

2.а) Равномерно заряженная плоскость; б) объемный заряд постоянной плотности.

3.а) [a] = В/м, [c] = В; б) [a] = В/м2, [c] = В.

2.24.1. См. рис. 2.19 а, б.

Fx

0

Рис. 2.19 а, б.

2.Fx → 0.

3.а) Заряженный плоский конденсатор; б) две большие параллельные плоскости с одинаковыми (по знаку и модулю)

зарядами.

2.26. U1 = b22 U0l2 = 40 В.