МЭИ(ТУ) Физика

Пример 7.2. Узкий пучок частиц с зарядом Q, скорость которых v, пролетает через однородное магнитное поле с индукцией B (v ^ B), сосредоточенное в узкой области протяженностью S в направлении движения частиц, за которой на расстоянии l распо- ложен флуоресцирующий экран Э (рис. 7.2). В какую точку экрана попадут частицы?

Рис. 7.2

На заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца FЛ = Q [v, B], в данном случае FЛ = QvB, так как sin(v, B) = 1. Сила Лоренца всегда на- правлена перпендикулярно к скорости и, не меняя ее величины, меняет ее направление, сообщая частицам нормальное ускорение an = v2/r, так что частицы в однородном маг- нитном поле (B = const, FЛ = const) будут двигаться по дуге OO1 окружности радиуса r (рис. 7.2) с центром в точке C. По II закону Ньютона уравнение движения частицы мас- сой m имеет вид (силой тяжести по сравнению с силой Лоренца можно пренебречь) ma = FЛ. В проекциях на нормаль к скорости (т. е. на направление r) имеем man = FЛ

или mv2/r = QvB. Отсюда r = mv/(QB).

После вылета из области магнитного поля частицы движутся со скоростью v пря- молинейно по касательной к окружности в точке вылета O1 и попадают на экран на расстоянии z от первоначального направления пучка (ось x). Из геометрии рисунка, учитывая, что h << r и стороны углов XOO1и OCO1 можно считать взаимно перпенди-

кулярными, имеем z/(S/2 + l) ≈ S/r, откуда z = S(S/2 + l)/r = QBS(S/2 + l)/(mv).

Задачи

7.1. Найти силу F, действующую на прямой провод длины l = 10 см, обтекаемой током l = 0,5 А, помещенный в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), если провод образует с линиями индукции угол α = 30°. Построить в полярных координатах график зависимости величины силы F от угла α.

7.2.С какой силой взаимодействуют десятиметровые участки длинных* прямых проводов, расположенных параллельно друг другу на расстоянии x = 0,40 м и обтекае- мых токами I1 = I2 = 60 А?

7.3.Длинный* прямой провод расположен строго горизонтально. По нему идет ток I = 20 А. Параллельно этому проводу, под ним, на расстоянии α = 4,0 см расположен второй прямой провод, медный. При какой плотности тока нижний провод будет нахо- диться в состоянии равновесия? В пределах медного провода магнитную индукцию считать постоянной.

7.4.В одной плоскости с длинным* прямым проводом с током I1 = 10 А, перпенди- кулярно к нему расположен тонкий стержень длиной l = 20 см, по которому течет ток I2 = 2,0 А. Расстояние от прямого тока до ближайшего конца стержня r0 = 10 см.

1. Найти силу F1, действующую на стержень, и точку приложения этой силы.

2. Можно ли найти силу F2, действующую со стороны магнитного поля стержня на прямой проводник с током I1? Будет ли она равна силе F1?

7.5.В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I1 = 10 А, расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током I2 = 2 А (рис. 7.3). Дли- на рамки a = 6 см, ширина b = 4 см, а расстояние до провода x0 = 1 см. Найти силу, дей- ствующую на каждую сторону.

7.6. Два длинных* прямых провода, по которым идут равные по величине токи I1 = I2 = 20 А взаимно противоположного направления, расположены параллельно друг другу на расстоянии x0 = 20 см. Между проводами, в одной плоскости с ними (рис. 7.4)

находится прямоугольная рамка со сторонами a = 6 см, b = 4 см, обтекаемая током I3 = 2 А. Найти результирующую силу, действующую на каждую сторону рамки, если расстояние x1 = 12 см.

7.7.Кольцо радиуса r = 5,0 см из однородной свинцовой проволоки поперечного сечения S = 3,0 мм2 расположено в плоскости, нормальной к линиям индукции одно-

родного магнитного поля. При пропускании через кольцо тока I1 = 20 А оно нагревает- ся, и прочность проволоки на разрыв уменьшается до величины σ = 2,0 · 106 Н/м2. При каком значении индукции магнитного поля кольцо разорвется? Прочность σ определя- ется отношением силы, действующей перпендикулярно площади поперечного сечения проволоки, к величине этой площади.

7.8.Обмотка плоской квадратной рамки со стороной a = 10 см состоит из N = 100 витков, обтекаемых током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), линии индукции которого образуют угол β =60° с плоскостью рамки.

1. Найти вращающий момент M, действующий на рамку.

2. Построить в полярных координатах график зависимости величины вращающего момента M от угла α между векторами магнитного момента pm рамки и магнитной ин- дукции B.

7.9.Рамка с током, магнитный момент которой pm = 2,0 · 10-3 А · м2, помещена в се- редину соленоида. Радиус соленоида r0 = 8 см, длина соленоида l = 50 см, число витков N = 300. Какой ток идет в обмотке соленоида, если наибольший вращающий момент, действующий на рамку, M = 2,0 · 10-6 Н · м? Считать, что r0 >> r, где r – радиус рамки.

7.10.Обмотка соленоида состоит из N = 500 витков радиусом r =2 см каждый, об- текаемых током I = 4,0 А. Ось соленоида расположена горизонтально в плоскости маг- нитного меридиана. Найти вращающий момент, действующий на соленоид, если маг- нитная индукция Земли B0 = 5,8 · 10-5 Тл, угол наклонения ф = 72°. Плоскость магнит- ного меридиана – вертикальная плоскость, в которой лежит вектор B0, угол наклонения см. задачу 6.4.

7.11.В середине длинного соленоида, плотность обмотки которого n = 2000 вит- ков/м, обтекаемого током I = 4,0 А, помещена маленькая магнитная стрелка, свободно вращающаяся на вертикальной оси. Максимальный вращающий момент, действующий на стрелку, M = l,2 · 10-4 H · м.

1.Найти магнитный момент стрелки.

2.При каком положении относительно оси соленоида стрелка будет находиться в положении устойчивого равновесия? Неустойчивого?

7.12.Постоянный магнит с магнитным моментом pm = 0,80 А · м2 расположен в од- ной горизонтальной плоскости со стрелкой компаса, перпендикулярно к ней на рас- стоянии r = 40 см. Считая, что r >> l, где l – длина магнита, найти, на какой угол α от- клонится стрелка компаса, если горизонтальная составляющая магнитной индукции Земли B1 = 1,8 · 10-5 Тл.

7.13.Два плоских круглых витка радиусом r = 2,0 см каждый расположены парал- лельно друг другу на расстоянии a = 40 см. Прямая, соединяющая центры витков, пер-

пендикулярна их плоскостям. По виткам текут равные токи одного направления: I1 = I2 = 5 А. Найти силу взаимодействия витков, учитывая, что a >> r.

7.14.Электрон, прошедший ускоряющее электрическое поле с разностью потен- циалов U = 1000 В, влетает в однородное магнитное поле, магнитная индукция которо- го B = 0,010 Тл. Линии индукции перпендикулярны вектору скорости электрона. Каков радиус траектории электрона в магнитном поле?

7.15.Альфа-частица (α, He++) и электрон с энергией W = 500 эВ влетают в однород- ное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения частицы. Магнитная индукция B = 0,010 Тл. Найти: а) силу, действующую на каждую

из частиц; б) радиус окружности, описываемой каждой частицей; в) период обращения.

Масса mα = 6,7 · 10-27 кг, Qα = 2|e|, me = 9,17 · 10-31 кг, e = 1,6 · 10-19 Кл.

7.16.Протон и электрон, имеющие одинаковую скорость (по величине и направле- нию), попадают в однородное магнитное поле. Направление вектора скорости перпен- дикулярно вектору индукции B.

1. Каково отношение радиуса кривизны траектории протона к радиусу кривизны траектории электрона?

2. Каким будет это отношение, если частицы пройдут одинаковые ускоряющие по-

ля? mp = 1836 me.

7.17.Однородные электрическое и магнитное поля направлены взаимно перпенди-

кулярно. Напряженность электрического поля E = 30 В/см. Магнитная индукция B = 0,010 Тл. Каковы должны быть направление и модуль вектора электрона, попавше- го в эти поля, чтобы движение его оставалось прямолинейным и равномерным?

7.18.Узкий параллельный пучок ионов водорода H+ (протонов), скорость которых v

=1,0 · 106 м/с, пролетает через однородное магнитное поле с индукцией B = 0,010 Тл (vB), сосредоточенное в узкой области протяженностью S = 5 см в направлении движе- ния частиц, за которой на расстоянии l = 20 см расположен флуоресцирующий экран (рис. 7.2). Найти: а) в какую точку экрана попадут ионы? б) какой след оставят ионы на

экране, если начальные скорости будут лежать в интервале от v1 = 1,0 · 106 м/с до v2 = 1,5 · 106 м/с. Масса иона водорода mp = 1,7 · 10-27 кг.

7.19. В задаче 7.18 к магнитному полю добавить однородное электрическое поле в той же области того же направления (E ↑↑ B) с напряженностью E = 800 В/см.

1. Ответить на те же вопросы.

2. Что изменится: а) при изменении направления вектора E на противоположное; б) вектора B; в) при замене частиц в пучке на ионы гелия He++ (mα = 6,7 · 10-27 кг).

7.20. Электрон, имеющий скорость v = 1,0 · 106 м/с, влетает в однородное магнит- ное поле, линии индукции которого направлены под углом α = 30° к направлению дви- жения электрона.

1.Каков радиус винтовой линии, по которой движется электрон в магнитном поле, если индукция поля B = 0,010 Тл?

2.Каков шаг винта (шаг винта – расстояние между соседними витками винтовой линии, измеренное вдоль ее оси)?

7.21.В однородное магнитное поле с индукцией B влетает электрон, вектор скоро- сти v которого направлен перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Каковы индукция и направление вектора магнитного момента pm эквивалентного кругового то- ка? Что изменится, если влетевшая частица – положительно заряженный ион?

7.22.Сначала α-частица (He++) движется свободно со скоростью v = 3,5 · 106 м/с. В

некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное к ее скорости однородное магнитное поле с индукцией B = 1,0 Тл. Найти: а) радиус r траек- тории частицы; б) модуль и направление магнитного момента pm, создаваемого ей эк- вивалентного тока; в) отношение магнитного момента pm к ее механическому моменту импульса L. Масса α-частицы mα = 6,7 · 10-27 кг.

7.23. Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном по- ле, имеет диаметр d = 80 мм и шаг l = 200 мм (см. задачу 7.20). Магнитная индукция

B= 5 · 10-3 Тл. Найти скорость электрона.

7.24.Из диафрагмы вылетает слегка расходящийся пучок электронов. Горизон-

тальные составляющие скоростей электронов в пучке практически одинаковы, vx = 1,0 · 105 м/с. За диафрагмой электроны попадают в однородное магнитное поле, ли- нии индукции которого горизонтальны (рис. 7.5). На расстоянии l = 10 см от диафраг- мы расположен флуоресцирующий экран. Найти, при каком минимальном значении индукции B пучок электронов будет сфокусирован, т. е. на экране получится четкое изображение диафрагмы.

Рис. 7.5.

7.25. Для определения постоянной Холла германиевый образец прямоугольного се- чения со сторонами a и b был помещен в однородное магнитное поле B = 0,25 Тл, ли- нии индукции и которого направлены перпендикулярно длине образца и ребру d его сечения. При пропускании вдоль образца тока I = 1,0 мА между боковыми гранями можно было измерить разность потенциалов U = 0,025 В. Найти по данным опыта кон- центрацию свободных электронов и постоянную Холла, если a = 0,20 мм.

Ответы

7.1. B = Bl s α = 5 ×10−4 Тл (рис. 7.6)in.

Рис. 7.6.

7.2.F = μ20πIxl = 1,8×10−2 Н .

7.3.j = 2πρga(μ0I )= 8,7 ×104 Асм2 .2

7.4. 1. F1 = 2μπ0 I1I2 ln(1+ lr0 )= 4,4 ×10−6 Н ; r1 = lln(1+ lr0 )= 0,18 м от провода. 2. F1 ^ F2.

7.5. Fa = 2μπ0 I1I2 ln(1+ ax0 )= 3,7 ×10−6 Н ; Fb,1 = μ0I1I2b2πx0 = 4,0 ×10−6 Н ;

Fb,2 = μ0 I1I2b2π (x0 + a) = 1,6 ×10−6 Н .

7.7.B ³ σIrS = 6 Тл .

7.8.1. M = NBa2 cos β = 2,0 ×10−2 Н × м . 2. График M(α) как на рис. 7.6.

7.11. 1. pm = Mmax = 1,2 ×10−2 А × м2 .

μ0 In

2.pm ↑↑ Bсол.

7.12.α = arctg[μ0 pm (2πB1r3 )]= 8o .

7.13.F = 32 μ0πI1I2 (ra)4 = 9,2 ×10−10 Н .

7.25. n = eaUBI = 3,1×1020 1м3 ; R = ne1 = 2,0 ×10−2 м3Кл .