МЭИ(ТУ) Физика

где E1 – напряженность поля, созданного верхней пластиной; q – абсолютное значение заряда нижней пластины. Применимость этой формулы для данного случая следует из однородности поля.

Нижняя пластина будет находиться в равновесии при равенстве указанных сил, т. е.

Если пластины соединить с батареей, то нижняя пластина будет находиться в со- стоянии неустойчивого равновесия, например, при смещении ее вниз электрическая си- ла, направленная вверх, будет уменьшаться и пластина будет еще больше смещаться вниз. Так как пластины соединены с батареей, то разность потенциалов U между ними будет оставаться постоянной. При увеличении расстояния между пластинами это воз- можно только, если уменьшать напряженность поля, следовательно, и заряды пластин (пластины будут "разряжаться" через батарею). Сила взаимодействия пластин, опреде- ляемая выражением (1), уменьшится, таким образом, за счет уменьшения обоих сомно- жителей.

Если после уравновешивания отключить пластины от батареи, то нижняя пластина будет находиться в состоянии безразличного равновесия – при смещении ее вверх или вниз сила F останется постоянной и по-прежнему равной силе тяжести. При отключен- ной батарее постоянным будет заряд на пластинах, и изменение расстояния между ни- ми не изменит напряженности поля, пока его можно считать однородным.

Решение. Заряды на обеих пластинах равны по модулю; следовательно, напряжен- ность поля, созданного верхней пластиной,

Здесь S – площадь каждой пластины. Находя из выражения (3) величину q и подставляя ее в (2), получаем

где l – расстояние между пластинами; E – напряженность поля между пластинами, т. е. поля, созданного обеими пластинами.

Так как пластины заряжены равными, но разноименными зарядами, то поля их

складываются и тогда

Подставляя выражения (5) и (6) в равенство (4), находим

mg = U 2ε0S . 2l2

Отсюда искомая разность потенциалов

Задача 13

Сфера радиуса R1 = 3 см, равномерно заряженная зарядом Q = 7 · 10-8 Кл, окружена тонкой концентрической сферой радиуса R2 = 9 см. Какой заряд Q2 надо сообщить внешней сфере (при условии его равномерного распределения по поверхности), чтобы потенциал внутренней сферы относительно бесконечности обратился в нуль?

Анализ. По определению потенциал численно равен работе, совершаемой силами

поля при перемещении единичного положительного заряда из рассматриваемой точки (в данном случае с поверхности внутренней сферы) в бесконечность:

ϕ1 = ∞òEdr ,

R1

где E – результирующая напряженность поля во всех точках интервала интегрирова- ния.

На участке R1 ≤ r ≤ R2 поле будет создаваться только зарядом внутренней сферы, это можно показать при помощи теоремы Остроградского-Гаусса, если выбрать вспо- могательную поверхность в форме сферы, радиус которой лежит в указанных пределах. Вектор напряженности, независимо от величины и знака заряда Q2, направлен по ра- диусу от центра, и при перенесении единичного положительного заряда от R1 до R2 по- ле совершит положительную работу.

Следовательно, за пределами второй сферы (r ≥ R2) работа сил поля должна быть отрицательной, т. е. вектор напряженности должен быть направлен по радиусу к цен- тру. Поскольку в точках r ≥ R2 поле будет определяться алгебраической суммой зарядов на обеих сферах, заряд Q2 должен быть отрицательным и по модулю больше заряда Q1. Значение заряда Q2 может быть найдено из выражения (1) для потенциала внутренней сферы.

Решение. При расчете скалярное произведение Edr заменяется произведением Edr, так как векторы E и dr коллинеарны либо антиколлинеарны (r ≥ R2). Но в последнем

случае напряженность поля считается отрицательной (вектор E направлен к центру), таким образом, знак косинуса угла между E и dr при расчете будет учтен.

В формуле (1) подынтегральная функция E(r) терпит разрыв в точке r = R2, поэтому интеграл следует разбить на два интеграла в пределах от R1 до R2 и от R2 до ∞:

при r ≥ R2

E = Q1 + Q2 . 4πε0r2

Здесь Q2 – искомый заряд второй сферы, r – текущий радиус точки в указанных преде- лах.

Подставим эти выражения для E в соответствующие интегралы:

Формула (3) может быть написана сразу из условия аддитивности потенциала в любой точке поля. Действительно, первое слагаемое представляет собой потенциал на

После решения задачи или после качественного ее анализа интересно рассмотреть графики зависимостей напряженности и потенциала поля от расстояния r до центра сфер. График зависимости φ (r) (рис. 64, б) можно построить, если найти выражение φ(r) для каждой точки либо использовать уже построенный график E(r) (рис. 64, а). Рассмотрим только второй способ. Согласно условию при известном значении Q2 по- тенциал на поверхности внутренней сферы φ1 = 0. При r ≤ R1 потенциал постоянен и равен потенциалу на поверхности, т. е. график на участке от r = 0 до r = R1 представляет собой прямую, совпадающую с осью абсцисс. При r = R1 вектор напряженности терпит

разрыв. Так как E = ddrϕ

R2) является особой точкой. На участке R1 ≤ r ≤ R2 век тор напряженности направлен по радиусу-вектору r; следовательно, по мере удаления от поверхности внутреннего шара потенциал будет убывать до некоторого значения φ(R2). На участке r ≥ R2 вектор на- пряженности направлен навстречу радиусу-вектору (график E(r) располагается ниже оси абсцисс), поэтому по мере удаления от поверхности внешней сферы потенциал бу- дет возрастать, и при r → ∞ φ(r) → 0. Надо обязательно обратить внимание студентов на то, что хотя в точках r = R1 и r = R2 вектор напряженности терпит разрыв, функция φ(r) непрерывна. "Разрыв" функции обозначает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует конечное приращение функции. Так как на заряженной по- верхности величина напряженности меняется скачком, но имеет конечную величину, приращение аргумента dr можно всегда взять настолько малым, что и величина dφ = Edr будет бесконечно малой.

§ 2. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Изменение электрического поля, обусловленное введением проводников, опреде- ляется только величиной и распределением индуцированных зарядов. При этом поле как вне проводников, так и внутри них, является результатом суперпозиции полей на- чальных зарядов, создававших поле до внесения проводников, и индуцированных заря- дов. Величина же и распределение индуцированных зарядов таковы, что всегда выпол- няются условия: 1) внутри проводника Ei ≡ 0; 2) на поверхности проводника φ = const.

Во многих случаях распределение и величина индуцированных зарядов могут быть найдены из этих условий простыми (в математическом отношении) методами. При этом часто приходится пользоваться соотношением, определяющим величину скачка вектора напряженности на заряженных поверхностях и имеющим в СИ вид:

E = σ . (1)

ε0

Здесь | E] – абсолютное значение скачка вектора напряженности; σ – поверхностная плотность заряда; ε0 – электрическая постоянная.

В тех случаях, когда проводник располагается таким образом, что его поверхность строго перпендикулярна силовым линиям поля, т. е. совпадает с эквипотенциальной поверхностью, внесение его не искажает внешнего поля. Этот результат, получаемый как следствие, во всех приведенных задачах следует всегда подчеркивать студентам.

При решении задач этого параграфа не следует оперировать понятием емкости, так как введение емкости хотя и. облегчает во многих случаях расчеты, но не дает возмож- ности проанализировать физическую сущность происходящего явления.

Электрическое поле в диэлектрике создается не только свободными, но и связан- ными зарядами. В соответствии с этим теорема Гаусса для вектора напряженности E примет вид (в СИ):

ε0

где åQ – сумма свободных зарядов, åQ' – сумма связанных зарядов, охваченных поверхностью интегрирования.

Учитывая, что

åQ' = −òPdS ,

Введя обозначение ε0E + P = D, получим так называемую обобщенную теорему Га- усса:

Здесь D – вектор электрического смещения, он является дополнительной характеристи- кой электрического поля в диэлектрике. Вектор поляризации P прямо пропорционален вектору напряженности E действующего в диэлектрике поля:

где α – электрическая восприимчивость. Это безразмерный коэффициент, постоянный для каждого вещества.

Выражение для вектора электрического смещения можно привести к виду D = ε0E(1+α )= ε0εE,

здесь ε = 1 + α обозначает относительную диэлектрическую проницаемость среды. Обобщенная теорема Гаусса справедлива для любой замкнутой поверхности одна-

ко найти вектор смещения, а затем и вектор напряженности с помощью этой теоремы можно только для случаев симметричной конфигурации зарядов и диэлектриков. Из формулы (4) можно непосредственно сделать вывод, что на границе диэлектрика нор- мальная составляющая вектора смещения не терпит разрыва. Следовательно, если си- ловые линии поля перпендикулярны границе раздела вакуум-диэлектрик, вектор сме- щения при переходе через границу диэлектрика не меняется. Напряженность электри- ческого поля в диэлектрике в этих случаях оказывается в ε раз меньше, чем в вакууме.

Если обобщенная теорема Гаусса не рассматривается в курсе, то при решении задач можно пользоваться упрощенными расчетами, не прибегая к помощи указанной теоре- мы. Но и в том, и в другом случаях очень существенно каждый раз подчеркивать, что причиной ослабления поля в диэлектрике являются связанные заряды, появляющиеся на поверхности диэлектрика вследствие явления поляризации и создающие собствен- ное поле, направленное навстречу внешнему. Необходимо также неоднократно указы- вать на то, что если граница диэлектрика перпендикулярна силовым линиям поля, то вектор напряженности поля терпит на этой границе разрыв (в общем случае на границе диэлектрика скачком меняется только нормальная составляющая вектора E). При этом

надо обязательно показать, что это положение является непосредственным следствием теоремы Гаусса для вектора E [см. равенство (2)] в диэлектрике.

Следует помнить, что формулой закона Кулона:

где E – макроскопическое действующее значение напряженности поля в диэлектрике, можно пользоваться только в тех случаях, когда речь идет о безграничных диэлектри- ках либо о диэлектриках, границы которых перпендикулярны силовым линиям поля. Но и в том, и в другом случаях формулы (6) и (7) носят приближенный эмпирический характер, так как в действительности на заряд, помещенный в диэлектрике, действуют не только электрические силы, но и механические со стороны диэлектрика, обуслов- ленные его деформацией вследствие явления электрострикции.

Задача 1

Два уединенных металлических шарика радиусами R1 и R2, имеющие одинаковые заряды q, соединяются длинной проволокой. Найти характер изменения заряда на ша- риках после соединения, если R1 > R2. Зарядом на проволоке пренебречь.

Анализ. Согласно условию задачи шарики настолько удалены друг от друга, что заряды на них будут распределяться равномерно. Это значит, что поле каждого из ша- риков будет обладать сферической симметрией и вблизи каждого из шариков опреде- ляться только его собственным зарядом. До соединения шариков их потенциалы раз- личны. Известно, что потенциал на поверхности равномерно заряженного шара радиуса R равен

Следовательно, φ1 < φ2. Здесь φ1 и φ2 соответственно потенциалы первого и второго шариков до соединения.

При соединении шариков проволокой внутри нее появится электрическое поле, на- правленное от большего потенциала к меньшему, которое вызовет перемещение поло- жительных зарядов от второго шарика к первому. Это перемещение будет продолжать- ся до тех пор, пока потенциалы шариков не сравняются. Следовательно,

q1 > 0 ,

Заряды на шариках можно было бы легко найти из следующих соображений: 1) сумма зарядов на обоих шариках остается постоянной, т. е.

q1 + q2 = 2q ;

здесь q1 и q2 – соответственно заряды на первом и втором шариках после соединения; 2) потенциалы шариков после соединения должны быть одинаковы, т. е.

Проволока после соединения шариков будет иметь потенциал, одинаковый с ними. При этом величиной заряда, который должен остаться на проволоке для придания ей такого потенциала, можно пренебречь.

Задача 2

Проводник с зарядом Q находится внутри замкнутой металлической оболочки. Из- менится ли электрическое поле вне оболочки, если проводник перемещать внутри обо- лочки? Разобрать качественно.

Анализ. При произвольном положении проводника с зарядом + Q внутри оболочки на внутренней ее поверхности индуцируется заряд, равный – Q. Этот заряд будет так распределяться по внутренней поверхности оболочки, что поля в толще металла не будет. Индуцированный на внешней поверхности заряд + Q в свою очередь распреде- лится таким образом, чтобы в толще металла не возникало электрического поля. Очевидно, что распределение этого заряда по внешней поверхности оболочки никак не связа- но с положением проводника внутри оболочки. Следова-

Рис. 65. тельно, при перемещении этого проводника поле вне обо- лочки меняться не будет.

Например, если оболочка имеет форму сферы, то на внешней ее поверхности инду- цированный заряд + Q распределится равномерно, а вне оболочки поле независимо от расположения, размеров и формы внутреннего заряженного проводника будет полем сферической симметрии (рис. 65) и тогда

где r – расстояние от центра оболочки до рассматриваемой точки.

Задача 3

Внутри металлической сферы, внутренний радиус которой r1 = 5 см, внешний r2 = 6 см, помещен точечный заряд Q0 = 1 · 10-8 Кл на расстоянии a = 2 см от центра. Найти потенциал в центре сферы.

Анализ. Точечный заряд внутри сферы вызовет появление индуцированных заря- дов на ее поверхностях: отрицательного заряда – Q1 на внутренней и равного положи- тельного Q1 на внешней. Очевидно, что индуцированный заряд – Q1 распределится по внутренней поверхности неравномерно и закон его распределения определить нельзя. Заряд Q1 по модулю должен равняться внесенному внутрь сферы заряду Q0. Это легко показать с помощью теоремы Гаусса: если провести вспомогательную поверхность S в толще сферы (рис. 65), то поток через нее обязательно равен нулю (все точки поверхно- сти S лежат внутри металла); следовательно, сумма зарядов, охватываемых этой по- верхностью, также равна нулю, т. е.

Q0 + Q1 = 0 .

Индуцированный заряд Q2 = – Q1 распределится по внешней поверхности равно- мерно, только в том случае поле в толще сферы будет отсутствовать.

Искомый потенциал в центре сферы представляет собой алгебраическую сумму по-

Потенциал φ1 следует находить методом суперпозиции. Любой достаточно малый эле- мент внутренней поверхности, несущий заряд dQ1, создает в центре сферы потенциал

Интегрируя выражение (3) по внутренней поверхности сферы, получим полное значе- ние потенциала φ1. Так как интересующая нас точка – центр сферы, то расстояние от любого элементарного заряда dQ1 до нее постоянно и равно r1, поэтому

Подставляя полученные выражения (2) и (4) в равенство (1) и учитывая значения и зна-

Задача 4

Две плоскопараллельные металлические пластины заряжены соответственно заря- дами: Q1 = 600 СГСЭq, Q2 = 200 СГСЭq. Расстояние между пластинами d = 3 см. Найти поверхностную плотность зарядов на каждой из сторон пластин, если площадь каждой пластины S = 200 см2. Зарядами, приходящимися на торцовые поверхности пластин, пренебречь.

Анализ (СГСЭ). Так как расстояние между пластинами мало, можно предполо- жить, что заряды распределяются по боковым поверхностям пластин равномерно, и по- ле, создаваемое любой из сторон, заряженной до поверхностной плотности σ1, будет однородным. Причем результирующая плотность будет складываться из плотностей зарядов, сообщенных пластине и индуцированных. Но так как сумма индуцированных зарядов всегда равна нулю, то суммарный заряд каждой из пластин должен равняться заряду, сообщенному пластине:

где σ1 и σ2 – результирующие поверхностные плотности зарядов на обеих сторонах пла- стины I; σ3 и σ4 – то же, на пластине II; S – площадь каждой стороны.

Распределение зарядов будет обязательно таким, что в толще каждой из пластин поле будет отсутствовать. Чтобы найти связь между поверхностными плотностями на

внутренних сторонах пластин, применим теорему Гаусса к вспомогательной по- верхности, расположенной хотя бы частично в толще металла. Удобнее всего этой по- верхности придать форму прямого цилиндра, основания которого параллельны пласти- нам и лежат внутри них (рис. 66):