МЭИ(ТУ) Физика

òHdl = òHdl + òHdl .

Считая напряженность поля внутри сердечника постоянной и равной Hс, внутри зазора

Сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,

åI = Ni2 ,

где i2 – искомый ток в обмотке второго кольца. Таким образом, согласно уравнению (2)

Так как B1 = 0,8 Тл,

Hв = 6,4 ×103 Ам .

Подставляя эти значения в формулу (3), получаем i2 = 7,6 А .

Изменение формы сердечника (наличие воздушного зазора толщиной в 1 мм) при- водит к тому, что для создания такого же магнитного поля, как и в сплошном сердеч- нике, силу тока в обмотке надо увеличить почти в 6 раз. Воздушный зазор как бы раз- магничивает сердечник. Это размагничивающее действие зависит, во-первых, от формы сердечника: чем больше величина воздушного зазора, тем сильнее размагничивающее действие, так как больше будет величина второго слагаемого в левой части равенства

(3). Во-вторых, размагничивающее действие тем больше, чем больше роль микротоков в создании результирующего поля, т. е. чем ближе значение μ к максимальному (мате-

матически увеличение μ опять приводит к росту того же второго слагаемого в левой части равенства (3)).

Задача 3

В тонкой тороидальной катушке (N = 200 витков, i = 2 А) сердечник выполнен из железа, кривая намагничения которого приведена на рис. 106 (кривая 1). Найти индук- цию магнитного поля, если в сердечнике имеется воздушный зазор толщиной l' = 0,5 мм; средняя длина сердечника l = 20 см. Потоком рассеяния в зазоре пренебречь.

Анализ. На первый взгляд данная задача почти полностью повторяет вторую часть предыдущей. Применяя к тороидальной катушке закон полного тока и также разбивая интеграл по замкнутому контуру на две части – на интеграл по части контура в сердеч-

Здесь Hс – напряженность магнитного поля в сердечнике, Hв – в воздухе. Отсутствие потока рассеяния, как и в задаче № 1, обусловливает равенство индукции поля в зазоре и в сердечнике.

Учитывая, что в воздушном зазоре Hв = B , равенство (1) можно переписать сле-

μ0

дующим образом:

Полученное выражение дает связь между величинами векторов индукции B и напря- женности H магнитного поля для торой да с сердечником заданной формы: определены длина l сердечника, толщина l' зазора, параметры обмотки (N, i). Никакого другого вы- ражения, которое бы в явном виде давало связь между указанными величинами, не су- ществует. Есть только опытный график – кривая намагничения для данного сорта желе- за (см. рис. 106). Поэтому поставленную задачу можно решить только графически.

Решение. Построим на приведенном графике кривую B(H) для данного сердечника, т. е. кривую по выражению (2).

Из формулы (2) найдем индукцию как функцию напряженности:

На графике выражение (3) будет представлять собой прямую 2 (см. рис. 106), пересе- кающую оси координат в точках:

H = Hс = 0 , B = μ0lNl' =1Тл ;

B = 0 , H = Hс = Nil = 2000 Ам .

Координаты точки пересечения кривой 1 и прямой 2 (Hс ≈ 300 А/м, B' ≈ 0,96 Тл) явля- ются искомыми значениями напряженности и индукции.

Легко видеть, что по мере роста толщины l' воздушного зазора график, соответст- вующий уравнению (3), будет располагаться все ниже и ниже, все меньше будут значе-

ния H' и B', определяющие положение точки пересечения графиков, т. е. при прочих равных условиях (неизменны число витков, сила тока, длина сердечника) все сильнее будет сказываться размагничивающее действие воздушного зазора.

Задача 4

По бесконечно длинному цилиндрическому проводнику идет ток i = 20 А. Радиус проводника r0 = 2 см. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоя- ниях r1 = 1 см, r2 = 3 см от оси проводника, если последний выполнен из стали, кривая намагничения которой приведена на рис. 107. Построить график зависимости индукции B от расстояния r от оси проводника до рассматриваемой точки.

Анализ (СГСМ). Так как проводник бесконечно длинный, действием подводящих проводов можно пренебречь, и из соображений симметрии следует, что линии индук- ции, как и линии напряженности, будут представлять собой плоские окружности, центры которых лежат на

оси проводника.

Это значит, что векторы H и B направлены по каса- тельной к поверхности раздела металл-воздух.

Из закона полного тока для вектора H следует, что в

этом случае вектор напряженности не терпит разрыва на границе среды, а вектор магнитной индукции меняется скачком. Происходит явление, обратное тому, которое

наблюдалось на границе сердечник-воздух в случае тороидальной катушки с воздуш- ным зазором. Так, при переходе через границу скачком менялась напряженность поля, вектор индукции не претерпевал разрыва – линии индукции и напряженности были перпендикулярны к границе раздела.

Можно предположить, что в толще проводника (r ≤ r0) вектор напряженности будет зависеть от расстояния r, а так как проводник сделан из ферромагнетика, то проводник в целом нельзя охарактеризовать некоторым определенным значением магнитной про- ницаемости μ.

Решение. Чтобы найти значение H внутри и вне проводника, воспользуемся зако- ном полного тока. Проведем контуры интегрирования в форме окружностей, причем одну из них радиусом r1, вторую радиусом r2; для обоих контуров угол (H, dl) = const и абсолютное значение H в любой точке каждого из них будет оставаться постоянным. Учитывая эти условия, получаем

Сумма токов, сцепленных с первым контуром интегрирования (r1 ≤ r0), будет зави-

Подставляя выражения (1), (2) и (3) в закон полного тока, который в системе СГСМ за-

писывается в виде

òHdl = 4π åI ,

L

получаем: для r = r1

H1 = 2ir1 =1,0 Э ;

r02

для r = r2

H2 = 2i = 1,3 Э . r2

По графику рис. 107 находим значение индукции для r = r1:

B1 = 5800 Гс .

Значение индукции B2 численно равно напряженности в этой точке, так как магнитная проницаемость вакуума равна единице, т. е. для r = r2

B2 = 1,3 Гс .

Рассмотрим, как меняются напряженность и индукция магнитного поля при изме- нении расстояния r от оси проводника до заданной точки:

при r ≤ r0

При r = r0 обе формулы дают одинаковое значение напряженности:

H2 = 2i = 2 Э . r0

Таким образом, H внутри проводника прямо пропорционально r, вне проводника – обратно пропорционально r. При r = r0 напряженность магнитного поля разрыва не терпит.

Характер зависимости B(r) вне проводника, т. е. при r > r0 будет такой же, как и для напряженности. Найти в явном виде функцию B(r) для точек внутри провода нельзя, так как нет аналитической зависимости между B и H, но, пользуясь графиком рис. 107, можно найти значения индукции в определенных точках:

График B(r) (рис. 108) для точек внутри проводника оказывается идентичен графи- ку B(H). При r = r0 индукция скачком меняется от 8400 Гс (внутри проводника) до 2 Гс (вне его).

Рис. 108.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ «ФИЗИКА».

ЭЛЕКТРОСТАТИТКА

I. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Силовая характеристика поля – напряженность – является векторной величиной, оп- ределяемой выражением E = F/q, где F – сила, описывающая действие поля на пробный заряд q, внесенный в данную точку поля. Направление вектора Е совпадает с направ- лением силы, описывающей действие поля на положительный пробный заряд.

Энергетическая характеристика поля – потенциал – является скалярной величиной. Потенциал φ связан с напряженностью поля соотношениями:

В формуле (1) φB – потенциал в точке В. Интегрирование проводится от точки В до точки K, в которой потенциал принят равным нулю (начало отсчета потенциала). Этот ин- теграл численно равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного по- ложительного заряда из точки B в точку K.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 не зависит от выбора точки нулевого

(dr в формулах (1) и (3) – элементарное перемещение).

Дифференциальная связь между потенциалом и напряженностью в координатной форме записи (декартовы координаты) имеет вид:

В случае плоской симметрии поля, когда потенциал зависит только от одной коор- динаты, например, x

В случае центральной (сферической) или осевой (цилиндрической) симметрии поля удобнее пользоваться сферическими или цилиндрическими координатами, в которых потенциал окажется зависящим только от одной координаты – радиуса-вектора r. Тогда

Знак «минус» во всех формулах (2) показывает, что в направлении вектора E по- тенциал всегда убывает.

В поле, созданном точечным зарядом Q, как следует из закона Кулона (105),

и потенциал точки такого поля, рассчитанный по формулам (1) (начало отсчета потен- циала в бесконечности),

В формулах (4) и (5) r – расстояние от заряда Q до рассматриваемой точки поля, ε0 = 8,85 · 10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Согласно принципу суперпозиции для поля, создаваемого системой дискретных точечных зарядов,

где Ei и φi, соответственно, напряженность и потенциал данной точки поля созданного точечным зарядом Qi.

Для поля, созданного системой непрерывно распределенных зарядов (заряженное

Обозначение Q указывает, что берется определенный интеграл по всему заряженному телу, создающему поле; dE = dQ/4πε0r2, dφ = dQ/4πε0r, где dQ – заряд бесконечно мало- го элемента заряженного тела; r – расстояние от этого элемента до рассматриваемой точки.

Если заряд распределен по объему тела (что возможно только в случае, если заря- женное тело не является проводником), то dQ = ρdv, где ρ – объемная плотность заряда, dv – элементарный объем, заряд которого можно считать точечным. Если заряд распре- делен по поверхности тела, то dQ = σdS, где σ – поверхностная плотность заряда, где dS

– элементарная площадка, заряд которой можно считать точечным. В некоторых случа- ях (например, заряженная нить, заряженное тонкое кольцо и т. п.) удобно пользоваться линейной плотностью заряда τ, тогда dQ = τdl, где dl – элементарный отрезок, заряд ко- торого можно считать точечным.

Если система зарядов и создаваемое ими поле обладают определенной симметрией (плоской, сферической или осевой), напряженность поля проще (а в определенных слу- чаях необходимо) рассчитать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса для вакуума

где S – замкнутая поверхность специально выбранной формы, проведенная через точку,

в которой требуется найти напряженность; åQ – алгебраическая сумма зарядов, ох-

ваченных поверхностью интегрирования.

Силу, с которой поле действует на заряд q, внесенный в него, рассчитывают по

формуле

Работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 рассчи-

Задача 1.1. Два точечных заряда Q1 = + 4 · 10-8 Кл и Q2 = – 6 · 10-8 Кл находятся на расстоянии r0=10 см друг от друга. Найти: 1) положение точки (или точек), в которой напряженность поля равна нулю, и потенциал этой точки; 2) положение точки на пря- мой соединяющей заряды Q1 и Q2 и лежащей между ними, потенциал которой ранен нулю, и напряженность поля в этой точке; 3) имеются

Рис. 1.1.

ли другие точки поля, потенциал которых равен нулю?

Р е ш е н и е . Рассматривается поле двух точечных нарядов, разных по величине и знаку.

Если напряженность поля, создаваемого каждым из зарядов, соответственно, E1 и E2, то по принципу суперпозиции в любой точке результирующая напряженность поля

Это условие означает, что искомая точка A может лежать только на прямой, проходя- щей через заряды Q1 и Q2, то есть на оси x вне зарядов. Искомая точка не может нахо- диться на оси x между зарядами (точка B), так как E1 и E2 в этой точке направлены в одну сторону и E1 + E2 ≠ 0 (рис. 1.1). В любой другой точке векторы E1 и E2 направле- ны под углом друг к другу и E1 + E2 ≠ 0. Из (11) следует, что напряженности поля, за- данного каждым из зарядов в искомой точке A равны по модулю:

Для любой точки, лежащей на оси x (начало координат в точке, где находится заряд

причем написанные выражения справедливы для любых значений x. Подставляя эти выражения в (12), получим

Вид последнего выражения показывает, что здесь правомерна подстановка значе- ний зарядов и расстояний в любой системе единиц измерений. Подстановка зарядов, выраженных в кулонах, и r0 в сантиметрах после приведения к общему знаменателю дает следующее квадратное уравнение относительно x:

x 2 + 40x − 200 = 0 .

Отсюда:

x1 = – 44,5 см; x2 = + 4,5 см.

Первый корень уравнения дает точку A, лежащую на расстоянии 44,5 см слева от заряда Q1. Второй корень дает точку, лежащую между зарядами Q1 и Q2. Однако в этой точке (например, точка B) векторы E1 и E2 направлены в одну сторону, следовательно,

E1 + E2 ≠ 0, то есть второй корень нужно отбросить. Таким образом, существует только одна точка поля точка A, удовлетворяющая условию первого вопроса задачи.

Потенциал этой точки может быть также рассчитан методом суперпозиции

ваемой точки r1 = |x1|, расстояние от заряда Q2 до рассматриваемой точки r2 = r0 + |x1|.

Тогда

Подстановка числовых значений (здесь расстояние должно быть выражено в мет- рах) дает:

ϕ(x1 ) = −1800 В.

Положение точки, в которой потенциал результирующего поля равен нулю (второй вопрос задачи), может быть найдено в соответствии с принципом суперпозиции. Из ус- ловия:

Так как по условию задачи искомая точка должна лежать на оси между зарядами Q1 и Q2, расстояние от первого заряда до этой точки r1 = x3, расстояние от второго заряда

Решение этого уравнения после подстановки числовых значений дает: x3 = 4 см.

n

Напряженность поля в точке x3 может быть найдена по формуле E = åEi . В этой

i=1

точке (как и во всех точках на оси x между Q1 и Q2) векторы E1 и E2 направлены по оси x. Следовательно, вектор напряженности результирующего поля направлен также по оси x. Напряженность результирующего поля в рассматриваемой точке:

Подстановка числовых значений дает