МЭИ(ТУ) Физика

3. Решение

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть имеем однородный цилиндрический пучок. Так как энергия и ток электронов малы, то пренебрежем магнитным полем лучка. Объемный заряд пучка создает цилин- дрически симметричное электрическое поле. На электроны в однородном цилиндриче- ском пучке будет действовать направленная радиально сила, которая приведет к рас- плыванию пучка. Действующая на электрон сила определяется распределением напря- женности электрического поля, создаваемого пучком. Напряженность поля легко най- ти, используя теорему Остроградского-Гаусса.

Пусть концентрация электронов в пучке равна n, соответствующая объемная плот- ность заряда ρ = nq, где q – заряд электрона. Геометрия задачи показана на рис. 2. В за- данном сечении пучка можно выделить две характерные области: 1 – внутри пучка (0 < r < R), и 2 – вне пучка (R < r < ∞), где r – расстояние от исследуемой точки до оси пучка; R – радиус пучка исследуемого сечения. Будем считать, что расходимость пучка слабая, так что исследуемое сечение можно рассматривать как сечение длинного пря- мого цилиндра. Тогда из соображений симметрии электрическое поле описывается век- торами, направленными то радиусам, причем на одинаковом расстоянии от оси пучка величина напряженности одинакова. Используя симметрию задачи, легко рассчитать поток вектора индукции (вектора смещения) D через цилиндрическую поверхность, со- осную с пучком, так что, опираясь на обобщенную теорему Гаусса, мы получаем выра- жения для модуля вектора индукции как в первой, так и во второй зонах: для 0 < r < R D1 = qnr/2; для R < r < ∞ D2 = qnR2/(2r). Отсюда профиль напряженности электрическо-

го поля для изотропной линейной среды имеет вид

Так как заряд электрона q отрицателен, то напряженность поля направлена к оси ци- линдра против направления r. На рис. 3 показана зависимость Er(r). На заряд q, нахо- дящийся на расстоянии r от оси пучка, действует сила, равная F(r) = qE(r). Так как за- ряды в пучке отрицательные, то сила будет иметь противоположное направление по сравнению с направлением вектора напряженности, т. е. от оси цилиндра по радиусу.

Эта сила приведет к радиальному движению заряда пучка и тем самым к расплыванию пучка, т. е. увеличению начального радиуса пучка с течением времени.

Уравнение динамики радиального движения заряда в пучке имеет вид

где m – масса электрона; vr – мгновенная радиальная скорость. При расплывании пучка его ток сохраняется: I = qnv||πR2. Здесь I – ток пучка; v|| – продольная скорость электро- нов пучка, постоянная по сечению. В условиях постоянства тока при увеличении ра- диуса пучка будет падать концентрация зарядов. Выражая концентрацию зарядов через постоянный ток пучка n(t) = I/[qv||πR2(t)], перепишем уравнение радиальной динамики в

виде

Для точек границы пучка имеем r = R; следовательно, для динамики расплывания пучка получаем уравнение2

2 Хотя n при расплывании пучка меняется, уравнение для внешней границы пучка остается правильным, так как суммарный заряд внутри пучка сохраняется.

Полученное дифференциальное уравнение является исходным при описании динамики расплывания пучка.

Прежде чем привести точное решение уравнения динамики расплывания, построим его решение в предположении, что расплывание пучка слабое, т. е. в правой части уравнения (1) приближенно можно считать R ≈ R0. Тогда

За начальный момент времени выберем такой, когда радиальная скорость электрона

Интегрируя уравнение (2) в пределах от 0 до t, получаем

dR = K t . dt R0

Вторичное интегрирование в тех же пределах

где R – текущее значение радиуса пучка в произвольный момент времени; R0 – началь- ное значение радиуса пучка в момент t = 0. На рис. 4 показан профиль расплывающего- ся пучка (пунктирные линии соответствуют более точному решению, которое приведе- но ниже).

4. Обсуждение

Для численной оценки расходимости воспользуемся данными задачи, определим

Поскольку t = l/v||, то

которая табулирована, т. е. существуют таблицы этой функции при разных значениях параметра y, то ответ можно записать в виде

Известно, что при малых значениях y F(y) ~ y, и уравнение, связывающее t/R0 с R/R0, записывается следующим образом:

Возводя левую и правую части этого соотношения в квадрат, легко убедиться, что в

случае

решение совпадает с выражением (3). В другом предельном случае, когда y велико, из- вестно, что асимптотическое поведение интеграла F(y) таково, что F(y) = y/2, и ответ

принимает вид

Таким образом, мы описали расходимость однородного цилиндрического пучка. Структура расплывания описывается параметром K.

В заключение можно добавить, что с помощью пучка электронов, пропущенного через плазму, осуществляют ее магнитную термоизоляцию. В этом случае сжимающее действие магнитного поля не дает ионам и электронам плазмы уходить на стенки каме- ры.

вспомогательную гауссову поверхность (рис. 5) и проделав все необходимые операции,

В условиях электростатики поле внутри (r < α) центрального проводника равно ну- лю. Однако и в случае быстропеременных процессов, т. е. токов высокой частоты, тоже можно пренебречь полем внутри центральной жилы (скин-эффект). Концентрация тока на поверхности проводника приводит к тому, что сплошной провод начинает вести се- бя как полый. Разность потенциалов обкладок находим из интегральной связи между E

и φ

Рис. 6. Рис. 7.

Зависимости Er(r) и φ(r) представлены графиками на рис. 6.7. По определению ем-

4. Обсуждение

Практический интерес представляет расчет кабелей, применяемых в схемах для со- единения различных приборов (осциллографов, электронных вольтметров). Особенно

Рис. 8.

важно знать значение емкости кабеля при работе с цепями, потребляющими малый ток. Так, например, в одной из лабораторных работ студентам предлагается определить

емкость и диэлектрическую проницаемость для некоторых типов конденсаторов по следующей схеме (рис. 8). При включении в цепь только электронного вольтметра (ЭВ) расчет дает значение емкости Cэв = u0/(2πνuэвR) = 100 пФ (u0 и uэв – амплитудные значе- ния напряжения на генераторе и электронном вольтметре соответственно; ν – частота генератора). При подключении исследуемого конденсатора значение емкости цепи воз- растает до C = 220 пФ. Так как ЭВ и конденсатор соединены параллельно, то, следова- тельно, Cx = 120 пФ. В случаях, когда емкость конденсатора сравнима с емкостью кабе- ля, последнюю учитывать просто необходимо. Приведем еще численный пример. Теле- визионный кабель РК-75-4-15 имеет следующие характеристики: a = 0,36 мм; b = 2,3 мм; ε = 2,5. Следовательно, емкость кабеля на единицу длины равна 75 пФ.

Рассмотрим вопрос, связанный с пределом частот, при котором емкость кабеля можно еще рассчитывать по приведенной выше формуле. В этом случае мгновенное значение силы тока должно быть одно и то же в любом месте линии. Данное условие выполняется, если за время t, в течение которого изменение тока и напряжения переда- ется от одного конца линии до другого, значения токов и напряжений изменились бы незначительно. Это соответствует условию l < λ/4, где λ – длина волны, тогда l < c/(4ν), a ν < c/(4l). Для обычного лабораторного контура l ≈ 1 м и ν < 3 · 108/4 ≈ 108 Гц. Пользу- ясь аналогией, существующей между электростатическим полем и полем стационарных токов в однородной проводящей среде, находящейся между электродами, интересно рассмотреть вопрос о сопротивлении утечки кабеля.

Подставив значение τ = 2πε0εuln ba в формулу напряженности, получим

Плотность тока j из закона Ома в дифференциальной форме равна

Величина тока I = js, где s = 2πrl, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра ра- диуса r, высотой l, проходящего между обкладками кабеля,

Отсюда легко найти сопротивление проводящей среды между коаксиальными цилинд- рами b и a:

Этими двумя последними формулами пользуются для вычисления тока и сопротивле- ния утечки кабеля.

ЗАДАЧА 4. ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО СЛОЯ И P-N-ПЕРЕХОДА. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ И ЕМКОСТЬ P-N-ПЕРЕХОДА [5]

Из заголовка видно, что эта задача, как и предыдущая, фак- тически состоит из трех самостоятельных задач, связанных с нахождением: а) напряженности поля; б) разности потенциалов, в) емкости. Ценность этой задачи заключается в том, что тради- ционная задача о плоском равномерно заряженном слое из аб- страктной превращается в конкретную модель p-n-перехода.

1. Постановка задачи

Контакт полупроводников различных типов проводимости (p-n-переход) обладает рядом особенностей, благодаря которым

он широко применяется в современной электронике в таких устройствах, как диоды, транзисторы, микросхемы, фото- и термопреобразователи, датчики радиоактивных излучений и т. д. Большое практическое значение имеют переходы с очень

тонкой переходной областью, в которой изменение концентрации примесей носит рез- кий (ступенчатый) характер (рис. 9).

Пусть левая часть объема полупроводника (рис. 9) обладает проводимостью n-типа (донорная примесь), а правая часть – проводимостью p-типа (акцепторная примесь). Электроны из n-полупроводника, где их концентрация выше, будут диффундировать в p-полупроводник, где их концентрация ниже. Диффузия дырок происходит в обратном направлении. Это перемещение приводит к появлению в n-области нескомпенсирован- ного положительного объемного заряда, создаваемого донорной примесью, а в p- области – отрицательного объемного заряда, создаваемого акцепторной примесью. На границе p-n-перехода образуется двойной электрический слой, контактное электриче- ское поле Eк которого создает потенциальный барьер, препятствующий дальнейшей диффузии электрических зарядов.

Таким образом, на границе p-n-перехода устанавливается контактная разность по- тенциалов φк. Можно сказать, что поле Eк выталкивает подвижные заряды: электроны

– вглубь электронного, а дырки – вглубь дырочного полупроводника. В результате пе- реходный слой оказывается сильно обедненным обоими носителями тока. Поэтому, не-