МЭИ(ТУ) Физика

найдем значение индукции BBC отрезка ВС Из рис 4 видно, что углы, входящие в эту формулу, равны φ1 =300, φ2 =900. Расстояние от точки О до провода ВС равно

а=ОС=Rsinφ1 =R/2. Подставим значения a, φ1, и φ2 в формулу (5), имеем

. , s ( , r)= 0 . in

точке О, равен π Следовательно dl r Однако при этом знаменатель формулы

(2) отличен от нуля. Таким образом, dB=0 для любого элемента проводника CA. Отсюда ясно, что и весь проводник не создает в точке О магнитного поля. Тогда соотношение (1) упростится

BAB , BBC , будучи перпендикулярными этой плоскости (это следует из закона Био-

Савара-Лапласа) формула (2), оказываются расположенными вдоль одной прямой-

нормали к плоскости чертежа. При этом вектор BAB направлен от наблюдателя

(согласно правилу винта), вектор BBC - к наблюдателю.

Следовательно, можно вместо (7) написать скалярное равенство

Задача 1.3. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в

одном направлении токи 60 А, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля В в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии 5 см и от другого—на расстоянии 12 см.

Решение. Для нахождения индукции магнитного поля B в указанной точке A (рис. 5)

определим направления векторов индукции B1 и B2 полей, создаваемых каждым про-

водником в отдельности, и сложим их геометрически (по правилу параллелограмма), т.

е. B = B1 + B2.Абсолютное значение индукции В может быть найдено по теореме коси-

нусов:

Вычислим cos(α). Заметим, что угол α равен углу DАС (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поэтому по теореме косинусов запишем

d 2 = r12 + r22 - 2r1r2 cosα ,

где d—расстояние между проводами. Отсюда

Задача 1.4. Двухпроводная система (силы обоих токов равны и текут в противоположных направлениях) состоит из коаксиально расположенных проводников радиуса 2 мм и тонкостенной цилиндрической трубы радиуса 2 см (рис. 6). Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстояниях 3 см и 1 см от оси системы, при силе тока 10 А. Всю систему считать практически бесконечно длинной.

Решение. В данной системе магнитное поле создается как током, текущим по осевому проводнику, так и током, текущим по трубе. Поле подводящих проводов можно не учитывать, так как, согласно условию, система практически бесконечно длинная.

Данная система токов вследствие симметрии создает поле, линии индукции которого являются окружностями, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси трубы и концентричны ей. Это позволяет воспользоваться для расчета индукции поля (причем результирующего поля, созданного всей системой токов), законом полного тока

где å I -алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования l (контур следует провести в виде окружности, расположенной так же, как и линии индукции). На рис. 6 показаны два контура: l1 радиус которого r>R1, и l2 ,радиус которого удовлетворяет условию R1<r<R2.

Можно предположить, что в пространстве внутри трубы направление линий индукции согласовано с направлением тока в осевом проводнике. В соответствии с

2. Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l выражается формулой

F = μ0I1I2 l.

2πd

3. Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в

где Pm - магнитный момент контура с током, равный произведению силы тока I в

контуре на площадь S, охватываемую этим контуром

Pm = IS.

Вектор S численно равен площади S, охватываемой контуром, и совпадает по направлению с вектором нормали n к плоскости контура, направление которой

определяется в соответствии с правилом винта; α - угол между векторами Pm и B . 4. В неоднородном магнитном .поле на контур с током действует сила

5. Сила Лоренца. Сила F , действующая на заряд q, движущийся со скоростью v в

магнитном -поле с индукцией B , выражается формулой

= [r ]

F q vB

где α—угол, образованный вектором скорости v движения

заряда и вектором B индукции магнитного поля.

Нетрудно заметить, что сила Лоренца всегда направлена нормально к скорости движущегося заряда и, следовательно, не изменяет ее по величине, но изменяет по направлению.

Задача 2.1. В однородном магнитном поле 0,02 Тл .в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длины 3 см, по которому течет ток силы 0,1 А (рис. 7). Найти результирующую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить?

r r

По условию, во всех точках полукольца dl , B = π2 . Поэтому в скалярной форме уравнение (1) имеет вид

Если ток в проводнике направлен по часовой стрелке, то в заданном поле силы dF, действующие на все элементы dl, направлены по радиусам полукольца и стремятся растянуть его. Все элементарные силы dF лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка. При переходе от одного элемента полукольца к другому направление их непрерывно изменяется. Поэтому для нахождения результирующей силы следует отдельно искать ее проекции на две произвольные оси координат:

Задача 2.2. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому идет ток силы 5 А, расположена прямоугольная рамка со сторонами 20 см и 10 см, по которым идет ток 0,2 А. Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем ближайшая находится от него на расстоянии 5 см, ток в ней сонаправлен току в проводе (рис. 8). Определить силы взаимодействия прямого тока с каждой из сторон

рамки.

Решение. Прямоугольная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока. Поскольку в условии задачи оговорено, что прямой ток I, создающий магнитное поле, бесконечно длинный, то индукция магнитного поля такого прямого тока

где r — расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки. Сила, с которой действует это поле на каждую из сторон рамки, может быть найдена суммированием элементарных сил Ампера

Вектор B во всех точках, рамки направлен перпендикулярно плоскости рамки и в пределах каждой стороны угол между dl и B составляетπ2 . Каждая из сторон рамки

— прямолинейный проводник. Поэтому в пределах одной стороны все элементарные силы dF параллельны друг другу и их результирующая

где l—длина соответствующей стороны рамки, а dl-элемент стороны.

Стороны 1 и 3 рамки параллельны прямому току и находятся от него на расстоянии r соответственно x0 и x0+l2 где - l2 длина короткой стороны рамки. Подставив выражения r в (1) и (3) и проведя интегрирование, получим

С-илы F1 и F3 направлены в противоположные стороны.

Силы, действующие на стороны 2 и 4 рамки, равны по модулю и противоположны по направлению. Вдоль каждой из этих сторон индукция непрерывно меняется. Учитывая, что справа от проводника в плоскости рисунка элемент стороны dl находится на расстоянии r, подставляем в выражение (1), (3) и, учитывая что dl=dr, -получаем

F2 = ò μ0 Iidr.

l2 2πr

При интегрировании по второй (или четвертой) стороне переменная изменяется в

Задача 2.3. На проволочный виток радиусом 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент 6,5 ×10−6 Н×м. Сила тока в

витке 2 А. Определить магнитную индукцию поля между полюсами магнита. Магнитным полем Земли пренебречь.

Решение. Индукцию B магнитного поля можно определить из выражения

где Pm - магнитный момент витка с током, В—индукция магнитного поля, α— угол между направлением индукции магнитного поля и нормали к плоскости витка. Если учесть, что максимальное значение механического момента будет при sinα=1 (α=π/2), а

также, что магнитный момент витка с током имеет выражение Pm =IS, то формула (1) принимает вид М=IBS. Отсюда, учитывая, что S=πr2, находим

Задача 2.4. Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения которой 10-5 Н.м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока 1 А она повернулась на угол 60°.

Решение. Индукция внешнего магнитного поля В может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в равновесии в том случае, если

В данном случае на рамку действуют два момента: М1-момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М2-момент упругих сил, возникающих при закручивании нити, на которой рамка подвешена. Следовательно, формула (1) может быть записана в виде

M1 + M2 = 0 .

Выразив М1 и М2 в этом равенстве через величины, от которых зависят моменты сил,

где Pm - магнитный момент рамки с током; B-индукция магнитного поля; α-угол между нормалью к плоскости рамки и направлением линий индукции магнитного поля (рис. 9); С—постоянная кручения, показывающая значение момента упругой силы, возникающей при повороте рамки на угол, равный единице.