МЭИ(ТУ) Физика

Задача 5

В однородном магнитном поле B, направленном вертикально, в плоскости, перпен- дикулярной линиям индукции, расположены параллельные шины, замкнутые на сопро- тивление R. По шинам, расстояние между которыми l, может свободно двигаться про- водник массой m.

Какую силу надо приложить к проводнику, чтобы он двигался поступательно с по- стоянной скоростью v, направленной вдоль шин?

Каков будет закон движения проводника, если ему сообщить начальную скорость v0 вдоль шин и к нему не прикладывать внешних сил? Какое количество джоулевой те- плоты выделится на сопротивлении R за все время движения проводника?

Каков будет закон движения проводника, если на него действует постоянная сила F, параллельная шинам, а начальная скорость отсутствует?

Сопротивлением шин н самого проводника пренебречь.

Анализ. При движении в магнитном поле в проводнике появится Ei, и так как ши-

Вследствие этого на проводник со стороны пиля будет действовать, помимо внеш- ней, приложенной силы F, сила Ампера FА, которая по правилу Ленца будет обязатель- но тормозить проводник.

Предположим для определенности, что направления начальной скорости v0 и при- ложенной силы F совпадают, и примем это направление за положительное. Тогда урав- нение движения проводника на основании II закона Ньютона можно записать в виде

так как проводник прямой и располагается в плоскости, нормальной к линиям индук- ции однородного поля.

Подставляя выражения (3) и (4) в равенство (2), получаем

Уравнение (5) позволяет при заданных начальных условиях найти закон движения проводника в любом из указанных случаев.

Это уравнение можно было получить и из энергетических соображений. Сумма из- менения кинетической энергии проводника и джоулевой теплоты, выделяющейся на омическом сопротивлении R за некоторый малый промежуток времени dt, должна рав- няться работе δA приложенной силы F, т. е.

джоулева теплота с учетом (4)

δQ = i2Rdt = B2l2v2 dt ; R

работа силы

δA = Fdx = Fvdt ,

где dx = vdt – перемещение проводника за рассматриваемый промежуток времени dt. Следовательно, равенство (6) при подстановке этих выражений и сокращении на v при-

мет вид

mdv + B2l2 vdt = Fdt , R

что в точности совпадает с уравнением (5).

Надо обязательно подчеркнуть, что работа против силы Ампера тождественно рав- на количеству джоулевой теплоты, выделяемому на сопротивлении R.

причем искомая сила F должна быть обязательно направлена так же, как и заданная скорость движения проводника.

Согласно равенству (6) для этого случая работа, совершаемая приложенной силой, будет равна количеству джоулевой теплоты, выделяемому в проводнике.

Если проводнику сообщается начальная скорость, а внешняя сила отсутствует, то уравнение (5) примет вид

m dv = - B2l2 v . dt R

Производя разделение переменных и заменяя через B2l2 через k, получаем mR

dvv = -kdt .

Интегрирование в пределах от t = 0 до t с учетом начальных условий (vt =0 = v0) дает

и при интегрировании по всему времени движения от t = 0 до t = ∞ (так как согласно формуле (8) проводник теоретически будет двигаться бесконечно долго) получим

Если на проводник действует сила F, а начальная скорость отсутствует, то из урав- нения (5) следует, что проводник сначала будет двигаться ускоренно и, когда прило- женная сила F и сила Ампера уравновесят друг друга, скорость его станет максималь-

ной и равной

vmax = BFR2l2 .

Заменяя в уравнении (5) B2l2 через k и разделяя переменные, приведем его к виду: mR

При изменении времени от 0 до t скорость меняется от 0 до v. Интегрирование в указанных пределах приводит к результату:

Это есть известное нам уже выражение для vmax.

Сила тока в проводнике будет, очевидно, меняться по тому же закону, что и ско-

мерном движении проводника. Чтобы найти смещение x проводника как функцию вре- мени, воспользуемся формулой (9):

dxdt = mkF − mkF e−kt .

Умножая обе части равенства на dt и интегрируя правую часть в пределах от 0 до t, ле- вую – от x0 до x, получаем

x − x0 = mkF t + mkF 2 e−kt − mkF 2 ,

где x0 –положение проводника в момент t = 0.

Задача 6

Найти разность потенциалов на клеммах обмотки якоря двухполюсного мотора по- стоянного тока, принципиальная схема которого показана па рис. 102. Устройство яко- ря таково, что направление тока в обмотке постоянно от- носительно полюсов магнита.

Обмотка якоря состоит из N = 240 проводников. Ток I

= 15 А, поступающий в обмотку, разветвляется на две рав- Рис. 102. ные части, протекающие по параллельным ветвям обмот-

ки. Сопротивление каждой ветви R = 1,6 Ом. Магнитный поток, пронизывающий якорь, Φ = 8 · 10-3 Вб, мотор делает n = 1500 об/мин.

Анализ. Согласно условию скорость вращения якоря мотора постоянна. Рассмот- рим, как устанавливается постоянная скорость.

При включении тока на каждый виток обмотки со стороны магнитного поля дейст- вует вращающий момент, и якорь приобретает угловое ускорение. По мере возрастания скорости увеличивается ЭДС индукции, «включенная», согласно правилу Ленца, про- тив источника, питающего обмотку; ток в цепи уменьшается. Это приводит к уменьше- нию вращающего момента и, следовательно, к уменьшению углового ускорения. При отсутствии нагрузки на валу мотора и при отсутствии трения скорость якоря будет по- стоянной только при исчезновении тока в обмотке, т. е. тогда, когда ЭДС индукции полностью скомпенсирует ЭДС источника, питающего обмотку якоря. В действитель- ности, равномерное движение наступит при условии, что вращающий момент, обу- словленный действием магнитного поля на ток в обмотке якоря, равен моменту всех сил трения, включая и трение на валу мотора (реакция нагрузки). Таким образом, вели- чина установившейся скорости вращения якоря зависит от нагрузки. При равномерном вращении якоря работа, совершаемая за некоторый промежуток времени источником, питающим якорь мотора, равняется сумме работ против внешних сил и количества джоулевой теплоты, выделяющегося в обмотке и на подводящих проводах.

Решение. Форма полюсных наконечников обеспечивает радиальное направление линий индукции в воздушном зазоре, поэтому все проводники обмотки при вращении якоря пересекают за один и тот же промежуток времени одинаковые потоки.

Для расчета ЭДС индукции, возникающей в одном проводнике, можно подсчитать поток, пересекаемый проводником за любой конечный промежуток времени, например,

за время T2 , где T – время одного оборота якоря.

дукции в одном проводнике

Ei '= 2Φn .

ЭДС индукции в каждой ветви равна суммарной ЭДС индукции в обмотке якоря: Ei = N2 Ei '= ΦNn .

Так как возникающая ЭДС индукции «направлена» навстречу току, то разность потен- циалов на клеммах обмотки будет, очевидно, складываться из напряжения в обмотке и

Ei, т. е.

ϕ1 -ϕ2 = iR2 + Ei = iR2 + FNn = 60 В.

Задача 7

В середине основания тонкого длинного соленоида (I = 5 А; n = 200 витков/см) по- мещена маленькая рамка, состоящая из N = 100 витков площадью S = 1 см2. Какое ко- личество электричества пройдет через рамку, если ее перенести в центр соленоида? Сопротивление рамки R = 5 Ом.

Анализ. Рассмотрим, прежде всего, какие допущения должны быть сделаны при решении задачи.

1. Согласно условию значения индукции поля в середине основания соленоида и в

2.В пределах передвигаемой рамки поле можно считать однородным, так как по условию рамка «маленькая», т. е. ее размеры малы по сравнению с площадью витков соленоида.

3.Ток в соленоиде постоянный; это значит, что магнитное поле тока, индуцируемо- го в рамке, не действует на соленоид. Такое предположение означает, что рамка пере- мещается очень медленно. Необходимо подчеркнуть, что изменение скорости движе- ния будет менять силу тока в рамке, но количество электричества Q, проходящее через рамку, будет неизменным, так как оно определяется только разностью начального и ко- нечного значений потоков, пронизывающих рамку:

Решение. Условие однородности поля в пределах рамки позволяет легко найти по- токи Φ1 и Φ2.

Предположим, что положительная нормаль рамки направлена навстречу полю со- леноида. Тогда

Подставляя в выражения (3) формулы (1), получаем

F1 = - μ20 InSN ,

F2 = -μ0 InSN ,

откуда согласно формуле (2) искомое количество электричества

Q = μ20 RI nSN = 1,25×10−4 Кл .

Искомое значение Q получилось положительным, это значит, что положительное направление нормали выбрано правильно, и ток, индуцируемый в рамке, направлен на- встречу току в соленоиде.

§ 3. САМО- И ВЗАИМОИНДУКЦИЯ. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ

При решении задач данного параграфа главный упор следует делать на осмыслива- ние самого явления, не увлекаясь расчетами коэффициентов индуктивности и взаимной индукции. Необходимо неоднократно подчеркнуть, что коэффициенты L и M зависят от геометрии проводников и не зависят от силы тока только при отсутствии ферромагне- тиков.

При расчете магнитной энергии используется выражение энергии проводника, об- текаемого током:

W = L I 2 , 2

и выражение для плотности энергии магнитного поля

ωm = B2 . 2μ0

Задача 1

Две катушки, индуктивности которых равны L1 = 3 мГн и L2 = 5 мГн, соединены последовательно так, что их магнитные поля направлены в одну сторону; при этом ин- дуктивность всей системы оказалась равной 11 мГн. Найти индуктивность L' системы, если катушки переключить так, чтобы их поля были направлены навстречу друг другу. Взаимное расположение катушек при этом не меняется.

Анализ. Индуктивность системы определяется суммарным потоком сцепления. Первая катушка пронизывается собственным потоком Φ11 и потоком Φ21, созданным

Рис. 103.

второй катушкой. Вторая катушка пронизывается также собственным потоком Φ22 и потоком Φ12, созданным первой катушкой. До переключения катушек их поля направ- лены в одну сторону (рис. 103, а), и потоки складываются:

После переключения катушек (рис. 103, б) суммарный поток сцепления

Знаки «минус» показывают, что поле первой катушки направлено навстречу собствен- ному полю второй катушки, поэтому угол между вектором индукции B1 поля, создан- ного первой катушкой, и положительным направлением нормали второй катушки равен π; поток, созданный первой катушкой и пронизывающий вторую, отрицателен. Под ве- личиной Φ12 имеют в виду абсолютное значение потока. То же самое можно сказать и о потоке, созданном второй катушкой и пронизывающем первую.

Решение. Потоки Φ12 и Φ21 в данном случае равны друг другу, так как катушки со- единены последовательно и, следовательно, обтекаются одинаковым током, т. е.

Подставляя выражения (3) и (4) в равенства (1) и (2) и учитывая, что суммарный поток сцепления Φ = Li, получаем, что до переключения индуктивность системы

L'= 2(L1 + L2 )- L = 5 мГн .

Задача 2

Длинный проводник радиуса r0 = 2 мм согнут пополам так, что расстояние между осями его половинок a = 3 см. Пренебрегая полем внутри проводника, рассчитать ин- дуктивность системы и ее энергию на каждый метр длины.

Сила тока в проводнике I = 3 А.

Анализ. На рис. 104 видно, что поля, созданные каждой частью получившейся петли, между проводниками направле- ны в одну сторону. За пределами петли поля направлены в разные стороны. Для того чтобы вычислить полный поток системы, надо рассчитать поток, пронизывающий плоскость,

ограниченную петлей. Продолжать плоскость за пределы

Рис. 104.

петли не надо, иначе каждая силовая линия будет учитываться дважды.

Решение. Для расчета потока надо знать индукцию результирующего поля как функцию расстояния x. Если предположить, что проводник настолько длинен, что можно пренебречь полями токов в подводящих проводах и горизонтальной части про- водника, то

Элемент площадки dS следует выбрать в виде узкой полоски толщиной dx и длиной l = 1 м.

Учитывая, что рассчитывается собственный поток системы, и поэтому угол между нормалью к площадке и вектором индукции поля равен нулю, можно записать

Здесь так же, как и в задаче № 5 § 1 данной главы, нельзя предполагать линейность токов. Индуктивность системы и ее энергия обратятся в бесконечность при r0 → 0.

Задача 3

Тороидальная катушка (без сердечника) состоит из двух обмоток, навитых одна по- верх другой, по тысяче витков каждая. Обмотки соединены последовательно, их маг- нитные поля направлены в одну сторону.

Найти магнитную энергию такой катушки. Как изменится эта энергия, если одну из обмоток отключить?

Ток в обмотке I = 5 А; средняя длина тороида l = 25 см; поперечное сечение

S = 1 см2.