МЭИ(ТУ) Физика

Считать, что обкладки конденсатора не соприкасаются (изолированы) с боковой стенкой коробки (рис. 74).

Анализ. Емкость конденсатора изменится только в том случае, если внесение его в металлическую коробку вызовет перераспределение зарядов на обкладках, вследствие

чего при неизменном заряде изменится разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Рассмотрим распределение зарядов на его обкладках в сле-

Рис. 74.

дующих случаях: 1) конденсатор уединен и заряжен до некото-

рой разности потенциалов U0; 2) конденсатор окружают двумя плоскими пластинами, параллельными его обкладкам и той же площади (основания коробки), которые соеди- няют между собой (боковые стенки).

Если между обкладками конденсатора приложена разность потенциалов U0, то на них будут находиться равные, но разноименные заряды, причем все заряды распреде- лятся на внутренних сторонах обкладок. Поверхностная плотность зарядов будет тако-

Эти формулы справедливы в предположении, что поверхностная плотность заряда σ0 постоянная по всей внутренней стороне пластины.

Сравнивая формулы (1) и (2), легко находим, что

Тогда для емкости (по определению) получаем известную формулу;

CI = ε0lS , (5)

причем выше и ниже конденсатора в точках, расстояния до которых малы по сравне- нию с линейными размерами каждой из обкладок, потенциалы будут отличаться друг от друга на величину U0.

Если теперь параллельно обкладкам поместить две металлические пластины, то

вятся заряды, распределенные с поверхностной плотностью m σ1 , (здесь и далее верх-

ний знак относится к верхней из двух рассматриваемых поверхностей). На обкладках конденсатора также появятся индуцированные заряды, в противном случае в толще са- мих обкладок будет существовать электрическое поле, создаваемое зарядами σ1. Эти индуцированные заряды распределятся также с поверхностными плотностями ± σ1. То- гда результирующая плотность зарядов на внутренних сторонах обкладок будет равна ± (σ0 – σ1). При таком распределении зарядов в промежутках II и III напряженности

Направления векторов E' и E показаны на рис. 75. Так как однородность полей обу- словлена малостью расстояний l и l', то разность потенциалов между основаниями ко-

робки

откуда разность потенциалов между обкладками конденсатора при том же суммарном его заряде Q будет равна

Интересно отметить, что поля, создаваемые любой из рассматриваемых заряжен- ных поверхностей, рассчитываются как однородные, однако поле в проводнике, соеди- няющем основания коробки, создается именно за счет нарушения однородности поля у концов конденсатора.

Решение. Каждое из оснований коробки образует с ближайшей обкладкой конден- сатора самостоятельный плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между обкладками l'.

Таких конденсаторов будет два, они как бы соединены друг с другом последова- тельно, а заданный конденсатор присоединен к ним параллельно, так как разность по- тенциалов между его обкладками обязательно должна равнять-

ся суммарной разности потенциалов на вновь образованных конденсаторах. Это равенство имеет место, так как оба основа-

ния коробки соединены между собой боковой стенкой и между ними не может быть разности потенциалов. Полученную сис- тему можно заменить, таким образом, эквивалентной схемой

(рис. 76), на которой цифрой I обозначен данный по условию конденсатор, цифрами II и III – конденсаторы, образованные основаниями коробки и ближайшими к ним об- кладками.

Очевидно, что

Учитывая, что конденсаторы II и III соединены последовательно, а конденсатор I, ем-

кость которого

присоединен к ним параллельно, находим, что емкость системы

Тогда изменение емкости конденсатора

Подставляя выражение (8) в формулу (10), получим

DC = ε20lS' = 4,4 ×10−11 Ф .

Задача 3

Плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S = 200 см2 каждая и рас- стоянием между ними l = 5 мм заряжается до разности потенциалов U0 = 600 В и от- ключается от батареи. Как изменяются емкость и энергия конденсатора, если в про-

странство между обкладками параллельно им внести металлическую пластину такой же площади и толщины l' = 2 мм?

Анализ. Внесение металлической пластины параллельно обкладкам конденсатора (при условии, что площади пластины и обкладок равны) не меняет конфигурации поля. Так как в плоском конденсаторе поле однородно, то не имеет значения расположение этой пластины – вплотную к одной из обкладок конденсатора или посередине между ними. И в том, и в другом случаях внесение пластины равнозначно уменьшению рас- стояния между обкладками от l до l – l'. Поскольку вносимая пластина располагается нормально к силовым линиям поля, то вне ее напряженность поля меняться не будет (при условии, что конденсатор отключен от батареи). Но в толще этой пластины на- пряженность поля равна нулю. Это значит, что внесение пластины уменьшает объем пространства, в котором существует электростатическое тюле. Следовательно, энергия конденсатора будет уменьшаться.

Решение. Уменьшение расстояния между обкладками за счет внесения пластины вызовет увеличение емкости конденсатора на величину

DC = C2 - C1 = lε-0Sl' - ε0lS = 23,6 ×10−12 Ф

(здесь C2 – конечная емкость конденсатора).

Изменение энергии конденсатора может быть рассчитано двумя способами.

1-й способ. Так как конденсатор отключен от батареи, заряд на его обкладках оста-

ется постоянным и равным

Q = C1U0 ,

где С1 – начальная емкость конденсатора.

Изменение энергии конденсатора при изменении емкости равно

2-й способ. Постоянство заряда на обкладках конденсатора обусловливает постоян- ство напряженности поля, а следовательно, и плотности энергии.

Но так как внутри внесенной металлической пластины поля пет, то убыль энергии конденсатора равна энергии электрического поля в объеме металлической пластинки:

DW = - ε02E2 Sl' .

Здесь E – напряженность поля между обкладками.

Напряженность поля E = Ul0 . Окончательно получим

Задача 4

Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью S = 200 см2 каждая, расположенных на расстоянии l1 = 0,3 см друг от друга. Какую работу надо со- вершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками до l1 = 0,5 см? Задачу решить для двух случаев: 1) конденсатор заряжают до U0 = 600 В и отключают от батареи; 2) конденсатор остается все время соединенным с батареей, поддерживающей постоян- ную разность потенциалов U0 = 600 В.

Анализ. Изменение энергии конденсатора, отключенного от батареи, однозначно определяется работой приложенных внешних сил. При раздвижении обкладок внешняя сила действует против силы взаимодействия пластин, т, е. совершает положительную работу, соответственно с этим увеличивается энергия конденсатора. Когда конденсатор соединен с батареей, внешняя сила по-прежнему действует против сил взаимодействия, т. е. опять совершает положительную работу, однако в этом случае изменение энергии конденсатора определяется не только работой внешних сил, но и работой стороннего поля источника (так называемой работой батареи). Разность потенциалов между об- кладками при увеличении расстояния между ними может оставаться постоянной, толь- ко если уменьшится заряд конденсатора, т. е. если конденсатор разрядится через бата- рею. При этом совершается работа против стороннего поля, т. е. работа батареи отри- цательна.

Существенно, что раздвижение обкладок должно происходить бесконечно медлен- но, т. е. приложенная сила практически будет все время равна силе взаимодействия ме- жду пластинами. Во втором случае процесс раздвижения сопровождается непрерывным уменьшением заряда на обкладках конденсатора, это значит, что сила взаимодействия, а следовательно, и приложенная сила, будет уменьшаться. Поэтому работа внешних сил будет меньше, чем в первом случае.

Решение. Искомую работу можно рассчитать либо непосредственно как работу приложенной силы, либо из уравнения энергетического баланса.

Рассмотрим оба способа.

1-й способ. При бесконечно малом перемещении dl одной из пластин элементарная

работа

Расстояние l между пластинами меняется от l1 до l2.

Если конденсатор отключен от батареи, то напряжение U на его обкладках непре- рывно меняется, но заряд, а следовательно, и напряженность поля между обкладками остаются неизменными. Это значит, что отношение

Тогда полная работа внешних сил

2-й способ. Согласно уравнению энергетического баланса изменение энергии кон-

денсатора

DWк = A'+Aбат ,

откуда работа внешних сил

Если конденсатор отключен от батареи, то Aбат = 0, и изменение энергии конденса-

тора

жения пластин, Q = C1U0 = ε0SU0 – заряд на обкладках. l1

Подставляя эти значения C1, C2, Q в формулу (3), получаем

Если конденсатор соединен с батареей, то работа батареи

Aбат = DQ ×U0 ;

здесь Q – изменение заряда на обкладках конденсатора, равное

Изменение энергии конденсатора

Задача 5

Воздушный конденсатор емкостью C0 = 0,2 пФ заряжен до разности потенциалов U0 = 600 В. Найти изменение энергии конденсатора и работу, совершаемую полем, при

заполнении конденсатора жидким диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2. Расчет произвести в двух случаях: 1) конденсатор отключен от батареи; 2) конденсатор соединен с батареей.

Анализ. Изменение энергии конденсатора согласно уравнению энергетического баланса определяется работой внешних сил, т. е. работой поля, взятой с обратным зна- ком, и работой батареи – работой стороннего поля.

При введении в поле конденсатора диэлектрика на его поверхности вследствие по- ляризации образуются связанные заряды, и диэлектрик будет втягиваться в поле кон- денсатора. Следовательно, работа A сил поля будет обязательно положительной.

В первом случае, когда конденсатор отключен от батареи, при совершении силами поля положительной работы энергия конденсатора будет уменьшаться, т. е, изменение

энергии

Во втором случае надо учитывать, что связанные заряды на поверхности диэлек- трика, введенного между обкладками конденсатора, будут уменьшать напряженность результирующего поля, и разность потенциалов между обкладками конденсатора оста- нется постоянной только за счет добавочных зарядов, посылаемых батареей.

Батарея будет совершать положительную работу, за счет чего будет возрастать энергия конденсатора. В этом случае изменение энергии

Решение. 1-й случай. Энергию конденсатора удобно рассчитать по формуле

W= Q2 , 2C

где Q – заряд конденсатора, остающийся постоянным; C – емкость конденсатора.

При заполнении конденсатора диэлектриком емкость его возрастает в ε раз до зна- чения C1. Соответственно с этим

Выразим заряд конденсатора через начальные значения емкости и разности потен- циалов:

Задача 6

Рассчитать энергию поля, созданного пространственным зарядом Q, равномерно распределенным в форме шара радиуса R в вакууме. Найти изменение энергии при раз- делении заряда на два равных шара, бесконечно удаленных друг от друга.

Анализ (СГСЭ). В случае неоднородного поля энергия электрического поля в не- котором объеме V может быть найдена по формуле

где ωe – плотность энергии.

Необходимо обратить внимание студентов на то, что dV – элементарный объем, ко- торый должен быть выбран так, чтобы в его пределах плотность энергии оставалась по- стоянной.

Плотность энергии в вакууме

Таким образом, решение задачи сводится, прежде всего, к нахождению напряженности поля, созданного заданной конфигурацией заряда.

При разделении рассматриваемого пространственного заряда на два равных "ша- ра", заряженных по объему с неизменной объемной плотностью ρ и бесконечно уда- ленных друг от друга, силы поля будут совершать положительную работу, поэтому энергия поля в конечном состоянии будет меньше, чем до разделения.

После разделения пространственного заряда на два энергия находится как сумма энергий полей, созданных двумя пространственными зарядами в форме шара. Так как в условиях задачи оговорено, что пространственные заряды после разделения бесконечно удалены друг от друга, то можно пренебречь их взаимной энергией.

Решение. Форма пространственного заряда позволяет предположить, что как внут- ри самого заряда (r1 ≤ R), так и вне его (r2 ≥ R) силовые линии будут направлены по ра- диусам. Поэтому поле может быть легко найдено с помощью теоремы Гаусса:

Вспомогательные поверхности следует выбрать в форме сфер, с радиусами r1 и r2, концентричных с пространственным зарядом (рис. 77). В обоих случаях при r ≤ R и при r ≥ R условия коллинеарности векторов E и dS и постоянства векто- ра E по модулю во всех точках вспомогательной гауссовой поверх-

ности позволяют левую часть равенства (3) привести к виду

òEdS = E × 4πri2 ,

Рис. 77.

Si

где ri – модуль радиуса-вектора текущей точки.

При r ≤ R, когда вспомогательная поверхность лежит внутри пространственного заряда,

Здесь ri – по-прежнему радиус текущей точки; ρ – объемная плотность заряда, постоян- ная по условию.

При r ≥ R, когда вспомогательная поверхность охватывает весь пространственный заряд,