МЭИ(ТУ) Физика

торой ε = 7. Найти напряженность поля в диэлектрике и в вакууме для двух случаев: 1) граница диэлектрика параллельна заряженным пластинам; 2) граница диэлектрика пер- пендикулярна заряженным пластинам. Во втором случае искривлением силовых линий поля вблизи границы диэлектрика пренебречь.

Анализ и решение. 1-й случай. Граница диэлектрик-вакуум расположена перпен- дикулярно силовым линиям поля, поэтому вектор смещения при переходе через эту границу не меняется. Так как источниками поля являются две плоскопараллельные равномерно заряженные пластины, можно считать, что вектор смещения вообще не бу- дет зависеть от положения рассматриваемой точки, т. е.

Здесь D1 и D2 – векторы смещения в точках 1 и 2 (рис. 70, а).

Однородность поля в пределах слоя диэлектрика и слоя вакуума позволяет запи- сать, что

где E1 и E2 – напряженности электрического поля в слоях 1 и 2; x1 и x2 – толщины слоев диэлектрика и вакуума.

Учитывая связь между значениями векторов напряженности и смещения, равенство

(1) можно преобразовать к виду

2-й случай. Согласно условию можно пренебречь искривлением силовых линий вблизи границы диэлектрик-вакуум, т. е. и в диэлектрике, и в вакууме поле можно счи-

Это значит, что наличие диэлектрика не меняет (при такой конфигурации) напряженно- сти поля. Но слюда, находящаяся между пластинами, обязательно будет поляризована, т. е. на ее поверхностях, примыкающих к заряженным пластинам, появятся связанные

где Sт – площадь основания вспомогательной поверхности S1. Интеграл по поверхности S1 сведется к интегралу только по двум основаниям (на боковой поверхности вспомога-

тельного цилиндра (D, dS) = 0, так как D ^ dS).

Во всех точках каждого основания векторы D и dS коллинеарны, вектор D по мо- дулю постоянен, и значения вектора смещения на обоих основаниях одинаковы (вслед- ствие симметричного расположения оснований относительно середины слоя). Следова- тельно,

Анализ формул (4) и (6) для граничных условий, т. е. для точек x = ± 2l , показывает,

что вектор смещения не терпит разрыва на поверхности слоя – слой заряжен равномер- но по объему; следовательно, в бесконечно тонком поверхностном слое свободный заряд будет равен нулю.

Вектор E, как видно из сравнения формул (5) и (7), терпит па границах слоя скачок, равный

График зависимости E(x) представлен на рис. 72. При x < 0 график располагается ниже оси абсцисс, так как в этих точках вектор E на- правлен влево, т. е. отрицателен.

Найдем теперь разность потенциалов между серединой слоя и поверхностью:

Векторы E и dx коллинеарны; точки 1 и 2, расположенные соответственно на середине и на поверхности слоя, характеризуются следующими значениями x: x1 = 0, x2 = 2l . По-

этому формула (8) примет вид

Для построения графика φ(x) надо в какой-либо точке принять φ = 0 (например, при x = 0) и затем либо найти формулу φ(x) для любого значения x, либо воспользоваться уже построенным графиком E(x). В первом случае расчет удобнее вести по формуле

ϕ(0)-ϕ(x) = òx Edx .

растания x потенциал будет уменьшаться (увеличение x соответствует движению вдоль силовых линий), причем кривая φ(x) должна быть вы- пуклой, так как с ростом x увеличивается модуль тангенса угла наклона касательной к кривой φ(x).

E(x) = ddxϕ терпит разрыв.

За пределами слоя направление силовых линий поля не меняется; следовательно, с ростом x потенциал будет продолжать уменьшаться, но постоянство E вне слоя позво-

ляет заключить, что в точках x > 2l график φ(ч) будет представлять собой прямую,

идущую круче, чем касательная к параболе в точках x > 2l .

Здесь надо оговорить, если это не было сделано ранее, что в данном случае так же, как и в случаях равномерно заряженных длинной нити, длинного тонкого цилиндра, большой плоскости и т. п., начало отсчета для потенциала нельзя брать в бесконечно- сти, так как выражения для E [в данном случае формула (7)] имеют смысл только для точек, сравнительно близких к заряженному слою.

Задача 10

Цилиндрический конденсатор имеет два коаксиальных слоя диэлектрика. Первый слой – пропитанная бумага (ε1 = 4; R1 = 2,0 см; R2 = 2,3 см); второй слой – стекло (ε2 = 7; R2 = 2,3 см; R3 = 2,5 см). При какой разности потенциалов между обкладками начнется пробой конденсатора? Предельная (пробивная) напряженность для бумаги E1max = = 120 кВ/см, для стекла бумаги E2max = 100 кВ/см.

Внутренний радиус первого слоя диэлектрика и наружный радиус второго равны радиусам соответственно внутренней и внешней обкладок конденсатора.

Анализ. Предельной, или пробивной, называется такая напряженность, при кото- рой начинается разрушение диэлектрика, разрушение его молекул.

Сам процесс пробоя очень сложен, поэтому в электростатике можно говорить толь- ко о начале пробоя, а дальнейший ход процесса, изменение параметров поля и т. д. оп- ределяются различными факторами и, главным образом, чистотой и однородностью диэлектрика.

В данной задаче следует, прежде всего, найти, какой из двух слоев диэлектрика при повышении разности потенциалов между обкладками будет пробит первым. Так как поле плоскорадиальное, т. е. убывает с возрастанием расстояния r от оси цилиндров

при r = R1; во втором диэлектрике – при r = R2. Вычислим отношение напряженностей полей в указанных точках. Применив, как обычно, обобщенную теорему Гаусса, най-

дем

тогда как пробивная напряженность для бумаги всего лишь в 1,2 раза больше пробив- ной напряженности для стекла. Это сравнение показывает, что при постепенном повы-

шении разности потенциалов на обкладках пробой начнется в первом диэлектрике при r = R1. Следовательно, задача сводится к нахождению разности потенциалов, при кото-

рой

Решение. Формулы (2) и (3) связывают напряженности поля в рассматриваемых точках и линейную плотность заряда на обкладках. Найдем зависимость между линей- ной плотностью τ заряда и разностью потенциалов U.

По определению

Так как в точке r = R2, т. е. на границе диэлектрических слоев вектор напряженности меняется скачком, то интеграл следует разбить на два – в пределах от R1 до R2 и от R2 до R3:

Из формулы (1) можно получить, что в первом интервале изменения r напряженность

поля

во втором интервале

Подставляя выражения для E в формулу (6) и проводя интегрирование, получаем

Сравнивая формулы (7) и (2) и используя условие (4), находим

В менее подготовленной аудитории эту задачу следует разбить на 2-3 самостоя- тельные задачи: сначала найти напряженность поля в каждом слое диэлектрика, затем выяснить, в каком диэлектрике начнется пробой при повышении разности потенциалов, и только потом искать разность потенциалов, при которой начнется пробой.

§ 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ И ЭНЕРГИЯ

Задачи на расчет емкости конденсаторов, как правило, сводятся к подстановке чи- словых данных в готовые формулы и поэтому не представляют интереса. В более сла- бой аудитории можно предложить студентам в виде самостоятельного задания вычис- лить, пользуясь определением, емкости слоистых плоского и сферического конденсато- ров. Больший интерес представляют расчеты соединений конденсаторов. При этом на- до подчеркнуть, что параллельным называется такое соединение, при котором на об- кладках конденсаторов устанавливается одинаковая разность потенциалов, а заряд сис- темы равен сумме зарядов каждого конденсатора в отдельности. Последовательное со- единение – такое, при котором заряды конденсаторов равны между собой, разности по- тенциалов суммируются.

При расчете электрической энергии следует научить студентов пользоваться как формулами энергии конденсатора или уединенного проводника, так и формулой энер- гии поля в заданном объеме. Наибольшее значение имеют задачи, в которых приходит- ся находить изменение энергии вследствие, например, удаления диэлектрика или раз- движения обкладок конденсатора и т. п. При этом следует особо подчеркивать разницу между случаями, когда конденсатор отключен от источника литания до проведения указанных действий и когда он остается все время соединенным с источником питания.

В первом случае энергия конденсатора может меняться только за счет работы при- ложенных внешних сил, поэтому возрастание энергии конденсатора однозначно соот- ветствует положительной работе внешних сил, т. е.

Здесь Wк – изменение энергии конденсатора, W2 и W1 – соответственно конечная и на- чальная энергии конденсатора; A' – работа внешних сил.

Работа A поля равна работе внешних сил, взятой с обратным знаком.

Во втором случае изменение энергии конденсатора будет определяться работой внешних сил и вследствие изменения заряда конденсатора работой стороннего поля ис- точника:

В большинстве случаев изменение энергии Wк и работа батареи Aбат могут быть рас- считаны непосредственно.

Работа батареи будет определяться величиной переносимого заряда:

Здесь Q = Q2 – Q1 – изменение заряда конденсатора, (Q2 и Q1 – соответственно конеч- ный и начальный заряды); U – разность потенциалов на обкладках конденсатора, под- держиваемая постоянной благодаря соединению с батареей.

Формула (3) может быть применена только при условии, что указанное действие, например, удаление диэлектрика, производится настолько медленно, что разность по- тенциалов действительно остается постоянной. Это предположение объясняет, почему в уравнении (2), представляющем, по существу, уравнение энергетического баланса, не учитываются потери на джоулево тепло и энергию магнитного поля, пропорциональ- ные квадрату силы тока, которые должны были бы иметь место: ведь всякое перемеще- ние зарядов представляет собой электрический ток. Однако сделанное допущение рав- нозначно предположению, что перемещение заряда к конденсатору (или от него) про- исходит с бесконечно малой скоростью; следовательно, сила тока, соответствующая рассматриваемому перемещению зарядов, стремится к нулю. Предположение о мед- ленности процесса, обусловливающее постоянство разности потенциалов, следует ого- ворить; дальнейшие пояснения надо делать в конце решения конкретных задач.

Задача 1

Два конденсатора емкостью 100 и 200 см каждый соединены последовательно, за- ряжены до разности потенциалов U0 = 600 В и отключены от батареи. Конденсаторы, не разряжая, разъединяют и соединяют параллельно. Найти изменение заряда на каж- дом конденсаторе и разность потенциалов, которая установится при параллельном со- единении.

Анализ. При последовательном соединении каждый конденсатор обладает заря- дом, равным заряду всей системы:

Здесь q01, q02 – заряды 1-го и 2-го конденсаторов при последовательном соединении; Q0

– заряд системы.

Согласно определению

Этот же заряд сохранится на каждом конденсаторе и после их разъединения.

При параллельном соединении конденсаторов перетекание зарядов будет продол- жаться до тех пор, пока не установится одинаковая разность потенциалов U.

Решение. Разность потенциалов, общая для параллельного соединения, может быть найдена как отношение заряда Q системы к емкости батареи:

Здесь q1 и q2 – заряды на каждом из конденсаторов после параллельного соединения,

причем

Подставляя выражения (1) и (2) в (4), а затем в (3), получаем

U = (2U+0C1C)22 = 267 В .

C1 C2

Учитывая выражения (5), находим изменения зарядов на каждом конденсаторе:

Подстановка числовых данных в эти формулы дает результат:

Dq1 = -0,015 мкКл , Dq2 = 0,015 мкКл .

После решения задачи можно качественно обсудить, изменится ли в результате та- кого пересоединения энергия системы. Важно подчеркнуть студентам, что рассматри- ваемый процесс обязательно (если только конденсаторы не обладают одинаковой емко- стью) будет сопровождаться перераспределением зарядов, а так как система отключена от батареи, то их перераспределение вызовет уменьшение энергии.

Задача 2

Плоский воздушный конденсатор (l = 0,5 см; S = 200 см2) помещают в плоскую ме- таллическую коробку, основания которой, параллельные обкладкам, имеют те же раз- меры и отстоят от них на расстоянии l = 0,2 см. Изменится ли емкость конденсатора и насколько?