МЭИ(ТУ) Физика

Задачи

10.1.Плоский конденсатор емкостью C, заряженный, до напряжения U0, разряжа- ется через сопротивление R. Найти магнитную индукцию B внутри конденсатора на расстоянии r от центра обкладок. Пластины конденсатора – круглые диски площадью S.

10.2.Пластины плоского воздушного конденсатора площадью S соединены витком провода. В цепи создан синусоидальный ток I = Im sin ωt. Найти амплитуду напряжен- ности электрического поля в конденсаторе и амплитуду магнитной индукции на рас- стоянии r от центра обкладок.

10.3.Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения.

1.Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конден-

сатора отсутствует.

2. Найти плотность тока проводимости и тока смещения. Радиус дисков r, расстоя- ние, между ними l, диэлектрическая проницаемость среды ε, удельное сопротивление ρ. Начальная разность потенциалов между дисками U0.

10.4.Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводи- мостью σ и диэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между обкладками d. Пре- небрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обклад- ками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение

U = Um cos ωt.

10.5.Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет

переменный ток I = Im sin ωt. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния

rот оси соленоида. Радиус сечения соленоида r0.

10.6.Между полюсами электромагнита создано постоянное во времени неоднород- ное магнитное поле, обладающее осевой симметрией. Его магнитная индукция зависит

от расстояния от оси следующим образом: при r < r0 B0 = Ar03 , при r < r0 B0 = A/r3. По-

сле выключения тока в электромагните магнитная индукция уменьшается со временем по закону B = B0eхр(– t/τ), где A, τ, r0 – известны.

1.Найти распределение напряженности электрического поля E(r) в пространстве между полюсами электромагнита в некоторый момент времени после отключения тока.

2.Построить графики E(r) для моментов времени t = 0 и t = τ.

Найти силу f, действующую на единицу площади боковой поверхности цилиндра

(давление).

10.15. Над плоской поверхностью сверхпроводника параллельно ей расположен тонкий прямой провод с током I.

1.Найти линейную плотность i поверхностного тока в сверхпроводнике на рас- стоянии r от провода, если он закреплен на высоте h от сверхпроводника.

2.На какой высоте h над поверхностью сверхпроводника будет свободно висеть ("парить") провод, если I = 20 А и линейная плотность провода ρ = 2 · 10-3 кг/м.

Ответы

2.См. рис. 10.3.

3.= æ 4 ö .

Emax Eçè 3 r0 ÷ø

2.См. рис. 10.4 и 10.5.

10.11.F = BS(Hж )= 2,6 ×10−4 Вб , Hж находится из графического решения уравнения;

10.12. l'= l H (B)- H (B2) =1,6 мм .

B - H (B 2)

2μ0

10.13.См. рис. 10.6.

Рис. 10.6.

10.14. f = B2 . 2μ0

10.15.1. i = πIhr2 .

2.h = μ0I 2 = 2 мм .

πρg

11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Закон, по которому в электрической цепи происходят колебания, и характеристики

колебательного процесса зависят от параметров цепи и начальных условий колебаний

(см. пример 11.1).

Параметры волны, в том числе и электромагнитной, могут быть определены по ее уравнению. Амплитуды напряженности электрического и магнитного поля в электро- магнитной волне взаимосвязаны. Перенос энергии в электромагнитной волне описыва- ется вектором Пойнтинга (см. пример 11.2).

Примеры решения задач

Пример 11.1. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L, конден- сатора емкостью C и резистора с сопротивлением R. В начальный момент напряжение на конденсаторе U0.

1.Найти закон колебаний заряда конденсатора при R = 0.

2.По какому закону меняется заряд конденсатора, если L = 50 мкГн, C = 0,020 мкФ,

R = 1,0 кОм и U0 = 120 В?

Врассматриваемом контуре возникнут свободные колебания, так как нет затухания

(R = 0) и нет внешнего воздействия (ЭДС нет). Закон свободных колебаний заряда,

как следует из решения дифференциального уравнения свободных колебаний

частота свободных колебаний, φ – начальная фаза колебаний. Найдем Qm и φ. В на-

чальный момент заряд равен Q(0) = U0C = Qm cos φ. Ток в цепи равен

I(t) = dQdt = -Qmω0 sin(ω0t + ϕ ); в начальный момент тока нет, I(0) = 0 = – Qm ω0 sin φ

при φ = 0, следовательно, Qm = U0C и Q(t) = U0C cos(t LC ).

Активное сопротивление R изменяет характер колебаний, они становятся затухаю-

тора уменьшается монотонно.

Пример 11.2. Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде (μ = 1) вдоль оси z. Напряженность электрического поля изменяется по закону

ловую частоту ω, период T, длину волны λ, скорость распространения v, амплитуду на- пряженности магнитного поля Hm, амплитуду вектора Пойнтинга Sm.

Уравнение плоской монохроматической волны независимо от ее физической при- роды имеет вид s = sm cos(ωt – kz), где sm – амплитуда колеблющейся величины, k = 2π/λ. Сравнивая с заданным выражением, получаем: угловая частота ω = 2π · 1014 = = 6,3 · 1014 (1/с); период T = 2π/ω = 1,0 · 10-14 c; 2π/λ = 2π · 1014/(1,5 · 108); λ = 1,5 · 10-6 м;

амплитуда Em = 1,5 В/м. Скорость распространения волны (фазовая) равна v = λ/T = 1,5 · 108 м/с (что составляет 1/2 c – скорости света в вакууме, т. е. диэлектриче- ская проницаемость среды ε > 1).

волны в однородной среде v = (ε0εμ0μ)-1/2, откуда εμ = (ε0μ0v2 )−1 = c2v2 и так как μ = 1,

= EmHm = 1,2 · 10-2 Вт/м2.

Задачи

11.1. Контур состоит из катушки индуктивности L = 0,10 мГн и конденсатора емко- стью C = 100 пФ.

1.Найти период собственных колебаний, возникающих в контуре, считая активное сопротивление его пренебрежимо малым.

2.Какова была бы длина электромагнитных волн, излучаемых подобным конту-

ром?

11.2.Контур состоит из катушки индуктивности L = 0,36 мГн и конденсатора емко- стью С = 0,10 мкФ; активное сопротивление контура пренебрежимо мало. В начальный момент времени конденсатор заряжен до напряжения U0 = 120 В.

1.Написать уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора.

2.Найти максимальный ток в контуре.

3.Найти величину ЭДС самоиндукции и энергию магнитного поля катушки через время τ = T/6 от начала колебаний.

11.3.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C и катушки ин- дуктивностью L. В начальный момент времени на конденсатор подают напряжение U0,

ток в конденсаторе отсутствует. Через какую долю периода t/T: а) энергия электриче- ского поля станет равной 1/4 W0, где W0 – значение полной энергии контура? б) энергия магнитного поля достигнет значения 1/4 W0?

11.4. Колебательный контур состоит из. катушки индуктивностью L = 4,0 · 10-6 Гн и конденсатора, емкость C которого может меняться от 4,4 · 10-9 Ф до 18 · 10-9 Ф. Найти границы интервала длин волн, на которые можно настроить этот контур.

11.5. Батарея, состоящая из двух конденсаторов емкостью С = 2,0 мкФ каждый, раз-

ряжается через катушку индуктивностью L = 1,0 мГн и омическим сопротивлением

R = 50 Ом. Начертить в масштабе графики изменения со временем заряда на батарее

конденсаторов и тока в катушке при: а) параллельном и б) последовательном соеди-

нениях конденсаторов. В начальный момент времени на батарею конденсаторов по-

дано напряжение U0 = 12 В.

11.6. Контур состоит из конденсатора емкостью C = 2,2 · 10-9 Ф и катушки индук- тивностью L = 3,0 · 10-5 Гн и омическим сопротивлением R = 1,0 Ом. Для поддержания в контуре незатухающих колебаний в контур надо подавать мощность P = 2,0 · 10-5 Вт. Найти максимальное напряжение на обкладках конденсатора.

11.12.Найти скорость v распространения электромагнитных волн в кабеле, в кото-

ром пространство между внешним и внутренним проводом заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε =4,5. Потерями в кабеле пренебречь.

11.13.Найти скорость распространения электромагнитных колебаний в стекле, ес-

ли ε = 7, а μ = 1,0.

11.14.Электромагнитная волна с частотой ν = 3,0 МГц переходит из вакуума в не- магнитную среду с диэлектрической проницаемостью ε = 4,0. Найти приращение ее длины волны.

11.15.Исходя из уравнений Максвелла, показать, что для плоской электромагнит-

ной волны (v = vx, E = Ey, B = Bz), распространяющейся в вакууме, ∂∂Et = −c2 ∂∂Bx ,

∂∂Bt = − ∂∂Ex .

11.16.Найти средний вектор Пойнтинга <S> плоской электромагнитной волны E = Em cos(ωt – kr), если волна распространяется в вакууме.

11.17.Воздух начинает ионизоваться при напряженности электрического поля E = 30 кВ/см. При какой средней плотности потока энергии плоских электромагнитных волн достаточно малой частоты в воздухе может наступить ионизация?

11.18. Плоская гармоническая электромагнитная волна в немагнитной среде (μ = 4,0) имеет следующие параметры: Em = 5,0 · 10-5 В/м; λ = 100 м; ν = 1 МГц. Какая энергия W переносится волной за время τ =10 мин через площадку

S= 1,0 м2, расположенную перпендикулярно скорости распространения волны?

11.19.Двухпроводная линия индуктивно связана с генератором электромагнитных колебаний и погружена в спирт. Найти частоту ν генератора, если расстояние между пучностями в стоячей волне l = 0,5 м, а диэлектрическая и магнитная проницаемости равны 26 и 1.

11.20.Импульс, переносимый плоской электромагнитной волной в вакууме через площадку S = 10 см2 за τ = 5,0 с, равен p = 1,0 · 10-2 кг · м/с. Найти интенсивность I вол- ны.

11.21.Какое давление N оказывает плоская электромагнитная волна на преграду, коэффициент отражения которой ρ = 0,9, расположенную под углом α = 30° к направ- лению распространения волны, если амплитуда напряженности магнитного поля волны равна Hm = 3,0 · 10-4 А/м?