МЭИ(ТУ) Физика

3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

При равновесии зарядов на проводнике и при внесении проводников в электроста- тическое поле напряженность поля внутри проводника равна нулю, а потенциалы всех точек проводника равны (см. пример 3.1).

В диэлектриках, находящихся в электростатическом поле, напряженность может быть найдена по известным значениям электрического смещения D. Если конфигура- ция зарядов, создающих электрическое поле, обладает симметрией, то для нахождения электрического смещения D используют обобщенную теорему Гаусса (см. пример 3.3).

Примеры решения задач

Пример 3.1. Внутри металлического шара имеется асимметрично расположенная сферическая полость, в центре которой находится точечный заряд Q = l,2 · 10-8 Кл (рис. 3.1). Найти напряженность и потенциал электрического поля вне шара на расстоя- нии r0 = 10 мм от его центра. Как изменится распределение зарядов, если шар соеди- нить с Землей?

Рис. 3.1.

Так как шар металлический, то на его внутренней и внешней поверхностях возник- нут индуцированные заряды Q1 и Q2, вследствие чего напряженность результирующего поля в толще шара станет равной нулю.

Для нахождения заряда Q1 используем теорему Гаусса. Вспомогательную поверх- ность S1 проведем в толще металла, где E = 0 (рис. 3.1):

Q1 + Q2 = 0 , следовательно, Q1 = – Q.

ε0

Согласно закону сохранения заряда Q1 + Q2= 0 (так как металлический шар не был заряжен), получим Q2 = – Q1. Заряды Q1 и Q2 распределяются по поверхностям по-

лости шара равномерно, так как заряд Q находится в центре полости, а поверхности

сферические. Для нахождения напряженности проведем вспомогательную поверх-

ность S2 через точку, в которой определим E и, используя теорему Гаусса

Выбирая потенциал, равный нулю, в бесконечности, потенциал в точке r = r0 находим

по формуле

При соединении шара с Землей заряд на внешней поверхности шара исчезнет, так как свободные электроны Земли нейтрализуют заряд шара Q. Потенциал шара будет равен потенциалу Земли (обычно φЗ = 0). Внутри полости поле останется прежним.

Пример 3.2. Большой плоский слой толщиной d из изотропного диэлектрика с ди- электрической проницаемостью ε заряжен с постоянной объемной плотностью ρ. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне слоя.

Напряженность электростатического поля E(A) в точке A в присутствии изотропно-

го диэлектрика может быть найдена по известным значениям электрического смещения D(A) в той же точке:

E(A)εD(A(A)ε)0 ,

где запись ε(A) подчеркивает, что значение диэлектрической проницаемости берется в той же точке A. Пользуясь симметрией заряда, найдем D(A) с помощью обобщенной теоремы Гаусса òDdS = Qохвсвоб . Введем ось x, направленную перпендикулярно поверхно-

сти слоя с началом на средней плоскости слоя, которая показана на рис. 3.2 штриховой линией.

Свободный заряд, создающий поле, обладает плоской симметрией – объемная плотность заряда ρ зависит только от значений x, не зависит от положения точки в плоскости, параллельной поверхности слоя, и значения ρ(x) одинаковы при отражении в средней плоскости ρ(x) = ρ(– x). Электрическое смещение D имеет составляющую только вдоль оси x: D = Dx(x). Вычислим поток D через поверхность цилиндра с осно-

ваниями Sосн, параллельными поверхностям слоя (рис. 3.2, на нем также показаны векторы внешней нормали dS):

D, E

dS

штриховкой, Sосн взяты разные для наглядности. При x ≤ d/2 Vзар = 2xSосн, при x ≥ d/2 Vзар = Sоснd. Итак,

Рис. 3.3 а, б.

электрик изотропный, E ↑↑ D, т. е. E = Ex – силовые линии направлены параллельно

Отметим, что на границе диэлектрика Dx изменяется непрерывно, а Ex терпит раз-

рыв, что обусловлено возникновением поляризационного заряда. Зная распределе-

ние E(x), можно найти распределение потенциала (например, как в примере 2.2),

найти силы взаимодействия объемного заряда с другими зарядами.

Задачи

3.1. В однородное электрическое поле помещен металлический шар.

1. Проведите силовые линии и эквипотенциальные поверхности внутри и вне про- водника.

2. Представьте себе, что индуцированные заряды проводника "заморожены", после

чего первичное электрическое поле выключено. Как будет выглядеть остаточное

электрическое поле внутри и вне проводника?

3.2.Два уединенных металлических шарика радиусами r1 и r2, имеющие одинако- вые заряды Q, соединяются длинной проволокой (зарядом на ней можно пренебречь).

1. Найти заряды на шариках после соединения.

2. Каковы заряды на шариках, если меньший из них после соединения окружить металлической заземленной сферой радиусом r3 (r3 = r1)?

3.3.Точечный заряд Q > 0 расположен на расстоянии h от большой* проводящей плоскости.

1. Нарисовать силовые линии поля и найти силу, с которой плоскость действует на заряд Q.

2. Найти напряженность поля в точке C, равноотстоящей от плоскости и от заряда Q на расстояние h.

3. Рассчитать напряженность поля в симметричной точке C', расположенной по другую сторону плоскости.

4. Найти работу A' внешних сил, совершаемую при перемещении заряда Q в беско- нечность.

3.4.Прямой длинный* провод, равномерно заряженный с линейной плотностью

τ= 4,8 · 10-12 Кл/м натянут параллельно земной поверхности на высоте h = 5 м.

1. Чему равна напряженность поля у поверхности Земли непосредственно под про- водом?

2. Найти величину электрической силы, с которой поле действующей на единицу

длины провода. Собственным полем Земли пренебречь.

3.5. Две квадратные металлические пластины расположены параллельно друг другу на расстоянии d = 3,0 мм. Одной из них сообщен заряд Q1 = 6 · 10-7 Кл. Вторая не заря- жена.

1.Найти поверхностные плотности зарядов на каждой стороне каждой из пластин, если ребро каждой a = 20 см.

2.Найти разность потенциалов между пластинами.

3.Решить задачу, если второй пластине сообщен заряд Q2 = 2,0 · 10-7 Кл. Зарядами, приходящимися на торцевые поверхности пластин, пренебречь.

3.6.Три металлические квадратные пластины расположены параллельно друг другу так, что расстояние между пластинами 1 и 2 d1 = 5 мм, а расстояние между пластинами 1 и 3 d2 = 8 мм. Второй пластине сообщен заряд Q. Наружные пластины (1 и 3) соеди- нены проводником.

1.Найти отношение плотностей поверхностных зарядов σ2' и σ2" на обеих сторонах второй пластины.

2.Найти численные значения поверхностных плотностей на обеих сторонах каж- дой из трех пластин, если заряд Q = 1,2 мкКл, площадь каждой из пластин S = 900 см2.

3.7.В центре полого, незаряженного, изолированного металлического шара, внут-

ренний радиус которого r1 = 2,0 см, внешний – r2 = 3,0 см, расположен точечный заряд

Q = 2,0 · 10-9 Кл

1. Найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на расстояниях r3 = 1,0 см и r4 = 5,0 см от заряда.

2. Построить график зависимости Er(r) и φ(r) и сравнить с аналогичными графиками

для уединенного точечного заряда.

3. Решить задачу для случая, когда наружная поверхность шара заземлена.

3.8. Металлический шар радиусом r1 с зарядом Q1 окружен концентрической ме- таллической незаряженной оболочкой, внутренний радиус которой r2, внешний – r3.

1.Рассчитать потенциал шара и оболочки.

2.Построить графики зависимости проекции вектора напряженности Er и потен- циала φ от расстояния r, отсчитываемого от центра шара.

3.Как будет меняться поле вне оболочки при перемещении шара внутри нее?

4.Каковы потенциалы шара и оболочки, если оболочку заземлить?

3.9. Внутри металлического незаряженного шар радиуса r0 имеются две произволь- но расположенные сферические полости, в центре каждой из которых помещены то- чечные заряды Q1 и Q2. На расстоянии r1 >> r0 от центра шара находится третий точеч- ный заряд Q3.

1. Найти силы, с которой поле действует на каждый из зарядов и на шар.

2. Какие ответы являются приближенными, справедливыми только в случае r1 >> r0?

3.10. На расстоянии r = 10 см от центра металлического шара радиусом r0 = 5 см с зарядом Q1 = 4,0 · 10-12 Кл, расположен точечный заряд Q2 = 2,0 · 10-12 Кл. Найти потен- циал шара.

3.11. Внутри полого металлического шара, внутренний радиус которого r1 = 4,0 см, внешний радиус r2 = 6,0 см, на расстоянии x0 = 1,0 см от центра помещен точечный за- ряд Q1 = 5,0 · 10-9 Кл. Шару сообщен заряд Q2 = – 8,0 · 10-9 Кл.

1.Найти потенциал в центре шара.

2.Написать выражения для напряженности и потенциала в произвольной точке вне

шара.

3.Построить примерный график изменения потенциала вдоль оси, проходящей че- рез центр шара и точечный заряд.

3.12.Пространство между обкладками плоского конденсатора (d = 0,40 см) наполо- вину заполнено слюдой (ε = 7), причем граница слюда-воздух: а) параллельна обклад-

кам; б) перпендикулярна обкладкам. Разность потенциалов между обкладками

U = 600 В.

1. Найти векторы смещения D и напряженности E поля в воздухе (D1, E1) и в слюде

(D2, E2).

2. Найти величину скачков D и E на границе слюда-воздух.

3.13.Две большие* параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью σ и – σ. Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектриче- ской проницаемостью ε. Чему равна сила, с которой электрическое поле действует на точечный заряд Q, помещенный в центре полости, вырезанной в диэлектрике, если: а) полость имеет форму длинного тонкого цилиндра, ось которого совпадает с направ- лением силовых линий; б) полость вырезана в виде тонкого диска, плоскость перпенди- кулярна силовым линиям?

3.14.Плоский воздушный конденсатор заряжен до некоторой разности потенциа- лов и п отключен от источника ЭДС. Выяснить, изменится ли сила взаимодействия ме- жду его обкладками, если: а) в конденсатор ввести пластину из твердого диэлектрика, толщина которой чуть меньше расстояния между обкладками; б) опустить конденсатор полностью в жидкий диэлектрик. Диэлектрическая проницаемость вещества в обоих случаях ε.

3.15.В плоском воздушном конденсаторе, заряженном до некоторой разности по- тенциалов, пластины притягиваются друг к другу с силой F0. Во сколько раз изменится

сила притяжения пластин, если конденсатор опустить в керосин (ε = 2)? Задачу решить для двух случаев: а) конденсатор предварительно отключается от источника; б) конденсатор на время остается соединенным с источником.

3.16. Металлический шар радиусом r1 = 2,0 см с зарядом Q1 = 3,0 · 10-8 Кл окружен металлической концентрической сферой радиусом r2 = 6,0 см с зарядом Q2 =

б) диэлектрик-воздух; в) металл-воздух

2.Найти плотность связанных и свободных зарядов на указанных поверхностях.

3.Построить графики зависимости проекций вектора смещения Dr, вектора напря- женности Er и потенциала φ от расстояния r, отсчитываемого от центра шара.

3.17. Металлический шар радиуса r1 = 8 см окружен сферическим слоем фарфора

(ε = 6), примыкающим вплотную к шару и имеющим наружный радиус r2 = 12 см.

Потенциал шара φ0 = 600 В. Найти потенциал шара при удалении диэлектрика (φ(∞)

= 0).

3.18. Проводник произвольной формы заряжен до потенциала φ0 = 700 В. Про- странство между его эквипотенциальными поверхностями, потенциалы которых φ1 = 500 В, φ2 = 300 В заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью

ε= 7. Найти новое значение потенциала проводника.

3.19.Длинный цилиндр радиусом r0 = 4,0 см, выполнен из диэлектрика (ε = 7), за- ряжен по объему с постоянной объемной плотностью ρ = 8,7 · 10-15 Кл/м3.

1. Найти величины электрического смещения и напряженности в точках, удален- ных от оси цилиндра на расстояния r1 = 2,0 см, r2 = 8,0 см.

2. Вычислить разность потенциалов в этих точках.

3. Построить графики зависимости проекций вектора смещения Dr, вектора напря- женности Dr и потенциала φ от расстояния r (φ(0) = 0 ).

3.20.Две плоские параллельные металлические пластины заряжены соответственно зарядами Q1 = 6,0 · 10-9 Кл и Q2 = 2,0 · 10-9 Кл. Пространство между пластинами запол- нено парафином (ε = 7). Найти поверхностную плотность свободных и связанных заря- дов на каждой из сторон пластин, если площадь каждой из них S = 200 см2. Свободны- ми зарядами на торцах пластин можно пренебречь. Расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пластин.

3.21. Металлический шар (r0 = 3,0 см) опущен наполовину в керосин (ε = 2,0). 1. Найти заряд шара, если его потенциал равен φ = 1800 В.

2. Найти распределение заряда на поверхности шара. Считать, что диэлектрик при- легает к шару вплотную, верхняя граница диэлектрика при этом остается плоской,

плоской и практически бесконечной.

3.23.В пространстве, наполовину заполненном парафином (ε = 2,0), создано одно- родное электрическое поле, напряженность которого в воздухе E0 = 2,0 В/м. Граница воздух-парафин плоская и образует угол α = 60° с силовыми линиями поля в воздухе. Найти: а) величину вектора электрического смещения, напряженности и поляризован- ности в парафине и углы β, γ и δ, которые они составляют с границей раздела сред; б) плотность связанных зарядов на границе парафин-воздух.

3.24.На плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d1 = l,5 см, подается разность потенциалов U = 39 кВ.

E" = 100 кВ/см. При введении пластины конденсатор остается подключенным к источ- нику.

Ответы

3.1. 1. См. рис. 3.4.

3.E = 0.

4.A'= Q2 . 8πε0h

2.= τ 2 = 4,2 ×10−14 Н м . l 4πε0h

3.5.1. σ1 = 2QS1 = 7 ×10−6 Клм2 , σ2 = σ1, σ3 = – σ1, σ4 = σ1.

2.U = σ1 dε0 = 2,5 кВ.F

3. σ1 = Q12+SQ2 = 1,0 ×10−5 Клм2 ; σ 21 = Q12-SQ2 = 0,5 ×10−5 Клм2 ; σ3 = – σ2, σ4 = σ1;

U = 2εd0S (Q1 - Q2 )= 1,7 кВ.