МЭИ(ТУ) Физика

Интеграл ∫2 E 'dl , учитывающий действие поля стороннего источника, называют

1

электродвижущей силой (э.д.с.) стороннего источника и обозначают через е. Таким образом, по определению

э.д.с. измеряется в тех же единицах, что и разность потенциалов, то есть в вольтах. Э.д.с. стороннего источника равна 1 в, если при перенесении заряда в 1 кулон сторонний источник совершает работу в 1 джоуль.

Окончательно для обобщенного закона Ома в интегральном виде имеем:

то есть произведение тока на электрическое сопротивление участка цепи, находящегося между точками 1-2, равно алгебраической сумме разности потенциалов между этими точками и э.д.с. того стороннего источника, который находится в этом же участке цепи.

Величину, равную ϕ1 – ϕ2+e, называют электрическим напряжением и обозначают через U. Следовательно,

то есть произведение тока на сопротивление равно электрическому напряжению, действующему вдоль участка цепи между сечениями 1 и 2 проводника.

Формула (21) представляет интегральный закон Ома в общем виде, тогда как формула (8) выражает закон Ома в частном случае, когда на участке цепи нет стороннего источника, и напряжение равно разности потенциалов на концах этого участка цепи.

§ 8. Разность потенциалов, электродвижущая сила, электрическоенапряжение

Анализ условий, при которых наблюдается упорядоченное движение зарядов, при-

вел к необходимости введения понятий: разность потенциалов (ϕ1 – ϕ2), э.д.с. (е) и электрическое напряжение (U). Эти величины по определению соответственно равны:

Указанные понятия можно истолковывать так: разность потенциалов, как это устанавливается в электростатике, численно равна удельной работе (то есть работе по перемещению единицы положительного заряда), совершаемой силами электростатического поля; электродвижущая сила численно равна удельной работе сторонних источников; электрическое напряжение численно равно удельной работе всех источников поля (электростатических и сторонних).

Из определения всех этих понятий вытекает, что на участке цепи, в которой отсутствуют сторонние источники, электрическое напряжение равно разности потенциалов, а в замкнутой цепи электрическое напряжение равно э.д.с., так как разность потенциалов в замкнутом контуре равна нулю.

Равенство напряжения величине разности потенциалов означает, что работа совершается только электростатическими силами поля, а если напряжение равно э.д.с., то работа совершается только силами сторонних источников.

Однако следует иметь в виду, что и на участке электрической, цепи, где отсутствуют сторонние источники и где работа совершается силами электростатического поля, само электростатическое поле обусловлено действием сторонних источников. Действительно, возьмем сторонний источник в виде гальванического элемента и соединим с его клеммами два проводника, концы которых присоединим к конденсатору (рис. 8). Так как под действием химических реакций, происходящих в элементе, пластины элемента заряжаются, то заряжаются и пластины конденсатора до разности потенциалов (ϕ1 –

ϕ1 – ϕ2 = e,

то есть разность потенциалов между пластинами конденсатора численно равна э.д.с источника.

Из этих рассуждений вытекает также и то, что электрическое напряжение между точками 1-2 зависит от пути. Действительно, напряжение между точками 1-2 вдоль участка 1-3-2 равно нулю, так как, несмотря на наличие зарядов в проводнике, в нем тока нет, а напряжение вдоль участка 1-2 равно е.

i(R +R1) = e + e1.

то есть ток равен отношению суммы э.д.с. всех источников к сумме сопротивлений всех проводников. Если приключить к точкам 1-2 вольтметр, то он измерит разность потенциалов между этими точками, которая в то же время равна электрическому напряжению, действующему в цепи вольтметра. В нашем примере показание вольтметра будет равно:

и, в частности, равно нулю, если при этом iR = е.

Но если взять цепь, в которой источники э.д.с. включены навстречу (рис. 11), и при этом е1>е, то ток в цепи будет направлен так, как указано на чертеже. В этом случае для участка цепи 1-2 имеем:

iR = ϕ1 – ϕ2 – e,

и для участка 2-3-7:

то есть ток равен отношению разности э.д.с. обоих источников к сумме сопротивлений проводников всей замкну-

той цепи. Обобщая полученное,

можно заключить, что э.д.с. замкнутой цепи равна алгебраической сумме э.д.с. всех источников, включен-

ных в эту цепь.

В схеме, представленной на рис. 11, показание вольтметра, приключенного к точкам 1-2, будет равно:

Формулы (24) и (26) легко проверяются на опыте. Для этого собирается схема, представленная на рис. 12. Если одну клемму вольтметра присоединить к точке A, а вторую

Рис.

последовательно присоединять к точкам 1, 2, 3 и т. д., то показания вольтметра при переходе от точки 1 к точке 2 будут увеличиваться, так как увеличивается R (см. формулу 7); при переходе от точки 2 к точке 3 показание уменьшится на величину в, так как поле источника э.д.с направлено от точки 2 к точке 3; переход от точки 3 к точке 4 снова дает повышенные показания вольтметра. Но если е включено навстречу е1 (рис. 13), а направление тока при этом остается без изменения (е1>е), то при переходе от точки 2 к точке 3 показание вольтметра возрастает на величину э.д.с. источника (см. формулу

26).

Распределения потенциалов в последних схемах даны на графике (рис. 14), где по оси абсцисс отложены координаты соответствующих точек цепи, а по оси ординат их потенциалы.

§ 10. Внутреннее сопротивление источника э.д.с.

До сих пор предполагалось, что источник э.д.с. не имеет собственного (внутреннего) сопротивления. Но в действительности каждый источник имеет сопротивление и его следует учитывать при расчете электрической цепи. При расчете тока в этом случае следует уточнить формулу (23), учтя и это сопротивление. Тогда, вместо (23), получим:

где Σе — алгебраическая сумма э. д. с., ΣR — сумма сопротивлений всех проводников и

Σr0 — сумма сопротивлений источников э. д. с.

Рис. 15.

Показание вольтметра, приключенного к источнику с внутренним сопротивлением r0, будет зависеть от тока, протекающего через источник. Если для удобства внутреннее сопротивление источника условно представить в виде сопротивления r0, подключенного последовательно к источнику э.д.с. (рис. 15), то вольтметр может быть приключен только к точкам 1-2 цепи, и будет измерять разность потенциалов ϕ1 – ϕ2, которая при токе i равна:

ϕ1 – ϕ2 = ir0 – e

или

ϕ2 – ϕ1 = e – ir0.

Таким образом, показание вольтметра зависит от сопротивления источника (r0) и тока в источнике, и меньше е на величину ir0. Показание вольтметра в точности равно э.д.с. источника тогда, когда r0 = 0 или когда i близко к нулю, что наблюдается при очень большом сопротивлении вольтметра.

§ 11. Расчет разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома в том виде, в котором он сформулирован выше [см. формулы (8) и (21)], пригоден для простых цепей, в которых все источники э.д.с. соединены между собой последовательно. Но для цепей, в которых источники соединены параллельно, закон Ома требует своего дальнейшего развития. Это приводит к законам разветвленных цепей, полученных Кирхгофом. Составим разветвленную цепь (рис. 16). В отдельных участках цепи в общем случае токи будут различны, а их величины и направления будут зависеть от величин и направления е1, е2 и т. д., и могут быть определены лишь в конкретных условиях. Допустим, что токи направлены так, как это указано на рис. 16. Тогда для

любого узла, в котором сходятся токи, например узла 2, можно утверждать, что коли-

чество электричества, притекающего за время ∆t к узлу 2, равно i1∆t, а количество элек-

тричества, уходящее от этого же узла, равно i5∆t + i2∆t. Но так как заряды не могут накопляться в какой-либо точке (в противном случае получилось бы непрерывное увеличение потенциала этой точки, и ток прекратился бы), то:

i1∆t = i5∆t + i2∆t,

откуда:

i1 = i5 + i2

то есть алгебраическая сумма токов, сходящихся в одном узле, равна нулю. Это положение известно как первый закон Кирхгофа, который с количественной стороны характеризует условия стационарного движения зарядов в замкнутой цепи.

При расчете алгебраической суммы токов следует учесть, что ток, имеющий направление к узлу, берется со знаком плюс, а направленный от узла — со знаком минус.

Первый закон Кирхгофа позволяет отыскать соотношения между токами, сходящимися в любом узле.

Для отыскания соотношения между э.д.с. источников, током и сопротивлением применим обобщенный закон Ома для отдельных участков какого-либо замкнутого контура, например контура 1-2-3-4-1. В этом случае закон Ома дает:

для участка 1-2 i1R1 = ϕ1 – ϕ2 – e1;

для участка 2-3 i2R2 = ϕ2 – ϕ3 + e2;

для участка 3-4 i3R3 = ϕ3 – ϕ4;

для участка 4-1 i4R4 = ϕ4 – ϕ1 + e4.

После суммирования получим:

i1R1 + i2R2 + i3R3 – i4R4 = – e1 + e2 – e4

то есть для любого замкнутого контура сложной электрической цепи алгебраическая сумма произведений из тока, протекающего в каждом отдельном участке замкнутого контура, на сопротивление этого участка, равна алгебраической сумме э.д.с., включенных в этот контур. Полученный результат носит название второго закона Кирхгофа. При расчете алгебраической суммы необходимо учитывать правило знаков: э.д.с. берется со знаком плюс, если при выбранном направлении обхода контура в источнике э.д.с. осуществляется переход от отрицательного полюса к положительному; iR берется со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура.