Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МЭИ(ТУ) Физика

.pdf

Скачиваний:

1234

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

40.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8283 / 20183 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 > Следующая >>>

ГЛАВА II. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электростатическое поле – поле, образованное неподвижными по отношению к данной

системе отсчета зарядами. Оно постоянно во времени. Токи отсутствуют,

уравнений Максвелла остаются два уравнения:

1. ∫Edl = 0 ,

2. ∫DdS =∑Qохвач. поверхностью S .

E ≠ f (t). Из

Первое из них означает, что поле потенциально; второе говорит от том, что такое поле может быть создано только зарядами.

§ 1. Электростатическое поле в вакууме. Характеристики электростатического поля и методы их расчета

I. Силовая характеристика

Напряженность поля

E =

Она численно равна силе, действующей на единичный

положительный заряд.

Методы расчет напряженности поля

1. Уравнение

Максвелла

2. Метод суперпозиций

3. Расчет E по известному

(теорема Гаусса)

значению φ. (E = -grad φ.)

1. Теорема Остроградского-

градиент

Гаусса (3-е уравнение Максвелла)

Для вакуума D = ε0E.

Тогда: ∫EdS =

∑Qохвач. S

(СИ), dS – внешняя нормаль.

ε0

Поток вектора E сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической

сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, деленной на ε0.

∫EdS

∂E

∂E y

∂E

lim

= div E , div E =

, div E =

∆V →0

∆V

ε0

∂x

∂y

∂z

Пример. Поле бесконечно большой равномерно заряженной плоскости.

Найдем напряженность поля на расстоянии x от плоскости.

∑Qохвач.S

E dS

		Поверхностная плотность заряда σ =			dQ	.
E
					dS
dS			Q
E	x	(σ =		– равномерно заряженная поверхность.)
dS			S

симметрично

расположенный

цилиндр

В качестве поверхности Гаусса мысленно выберем симметрично расположенный цилиндр. Силовые линии, которые перпендикулярны заряженной плоскости, будут скользить по внутренней поверхности цилиндра. Поток вектора E будет создаваться через торцевые поверхности цилиндра.

Запишем теорему Гаусса:

∫EdS =	∑Qохвач. S		.
∫EdS =	ε0		.
S	ε0
Распишем левую часть этого равенства:
∫EdS =	∫EdS +				∫EdS +	∫EdS =	∫EdS cos	π	+	∫EdS cos 0 +
S	Sбоковойповерхности			Sлевой	поверхностторцевойи Sправой	поверхностторцевойи Sбоковой поверхности		2	Sлевой	поверхностторцевойи
+	∫EdS	cos0 = {т. к. E = const впределахSторца					}= Eлев		∫dS	+
Sправой	поверхностторцевойи						Sлевой		поверхностторцевойи
+ E прав	∫dS			= {Всилу симметричного выбора поверхностиS E лев = E прав }=
S левой		поверхностторцевойи

= 2ES торца .

Правую часть этого равенства можно представить в виде:

=σSторца .

Сравнивая левую и правую часть, получим:

∫EdS =	∑Qохвач. S				.
			ε0
S
2ESторца	=		σSторца	.

			ε
		0

E = 2σε0 . Это и есть поле равномерно заряженной большой плоскости. Поле однородно,

модуль и направление вектора E не зависит от расстояния до плоскости.

2. Расчет E методом суперпозиции

Q1	q0	F2	Из опыта следует, что Fрезульт. = F1 +F2.

		Fрез		Fрез		F		F
Q2									E рез = ∑Ei .
		F1			=	1	+	2
				q0		q0		q0

Результирующее поле равно векторной сумме полей, созданных каждым зарядом в отдельности.

Пример. Поле двух плоскостей.
Каждая плоскость создает однородное поле E =	σ	.

+σ –σ	2ε0

← ← → → →E1 – поле первой плоскости.

→ → → ← ← E2 – поле второй плоскости.

внепластин

E − E

−

= 0 ,

2ε0

внутрипластин

= E + E

2ε0

ε0

0 − внепластин

E= εσ − внутрипластин. Посмотреть пример в практике.

II.Энергетическая характеристика поля. Потенциал φ

Первое уравнение Максвелла: ∫Edl = 0 .

Циркуляция вектора E по замкнутому контуру l равна нулю.

Умножим на q: ∫qEdl = 0 ∫Fdl = 0 .

l = F

Работа сил поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Это есть критерий потенциальности электростатического поля. Следовательно, заряд, помещенный в данную точку поля, обладает потенциальной энергией:

Wпот = f(q0, поля).

Wпот – характеристика и поля, и заряда q0. Разделим на q0.

Wпот не зависит от q0 и является характеристикой поля, ее называют потенциалом. q0

Потенциал поля в точке 1: ϕт.1 = Wпот . q0

Обратная формула: Wпот = φ'q0.

Потенциал равен отношению Wпот, которой обладает пробный заряд в данной точке поля, к величине этого заряда.

Т. к. Wпот = Aсил поля, то		Aсилполя
	ϕт.1 =	1в източкинул. знач. потенциалаточку	.
		q0

Потенциал численно равен работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в точку, условно принятую за нулевое значение потенциала.

Aсилполя

Разность потенциалов: ϕ1 −ϕ2 = т. 1 2 т. q0

III. Связь между E и φ

1. Интегральная форма связи

т. нул.потенциала

силполя

∫Fdl

т. нул.потенциала

ϕт.1

1в източкинул.знач.потенциалаточку

т.1

∫

dl =

∫Edl .

т.1

т. нул.потенциала

ϕт.1

∫E l d

т.1

т. 2

Разность потенциалов:

ϕ1 −ϕ2

= ∫Edl

т.1

∆l

т. 1 т. 2

1 α 2 ∆l

2. Дифференциальная форма связи Если ∆l мало, то φ1 – φ2 = E∆l.

Приращение потенциала ∆φ = φ2 – φ2 = –( φ1 – φ2)= – E∆l.

Работа совершается за счет убыли Wпот.

∆φ = – E∆l cos α = –(E cos α)∆l = –El∆l,

∆φ = –E	∆l	E	l	= − ∆ϕ	.
l			l	∆l
				∆l

∆l → 0 El = − ∂∂ϕl .

Проекцию вектора E на некоторое направление l можно найти как частную производную потенциала вдоль этого направления.

Если есть система координат, то проекция E на ось x:

Ex = − ∂∂ϕx .

Соответственно Ey = − ∂∂ϕy и Ez = − ∂∂ϕz .

Зная проекции Ex, Ey и Ez, можно найти поле E. По проекциям восстановим вектор E:

i y x

E = −i ∂∂ϕx − j ∂∂ϕy −k ∂∂ϕz .

Краткая запись: E = –grad φ – дифференциальная форма связи вектора E и потенциала

φ.

Эквипотенциальные поверхности

E эквипотенциальным поверхностям.

	IV. Методы расчета потенциала
1. Используя	уравнение 2. По известному значению E 3. Метод	суперпозиций:
Максвелла	ϕ = ∑ϕi

1. Расчет φ с использованием уравнения Максвелла

	∫EdS =	∑Qохвачен. поверхност ьюS
	∫EdS =	ε0
	S	ε0

divE =	ρ			ρ


	ε		div gradϕ = −
		0		ε0

E = −gradϕ

эквивалент но			ρ
↔	div E =		ρ
			ε0
	дивергенция
		∂Ex +	∂E	y		∂Ez
				y	+
					+
		∂x	∂y			∂z
		∂x	∂y			∂z

ε0

Уравнение Пуассона:	∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2 z	= −	ρ		.
	∂x2		∂y2		∂z2		ε0

В принципе мы могли бы и не вводить силовые характеристики поля, а ограничиться другими характеристиками, такими как потенциал φ для электрической компоненты и векторный потенциал A для магнитной компоненты поля.

Скалярные характеристики:

E = –grad φ

Электромагнитное

B = rot A

поле

2. Расчет φ по известному значению E

Потенциал можно найти, используя интегральную форму связи между E и φ.

Aсилполя

т. нул.потенциала

ϕт.1

1в източкинул.знач.потенциалаточку

∫E l d.

т.1

Пример: Потенциал точечного заряда.

E =

. Пусть φ(∞) = 0 – точка нулевого значения потенциала.

4πε0 r 2

∞

ϕт.1 = ∫Edl = ∫Edr cos(Edr)= ∫Edr = ∫

dr =

4πε0 r

∞

= 1

= 0 +

−

4πε0

4πε

0 r

ϕточ. зар. =

4πε0 r

3. Расчет φ методом суперпозиций

Имеем n зарядов. Результирующее поле в произвольной точ-

EΣ

ке:

E∑ = E1 + E2 +K+ En .

Потенциал в этой точке:

т. нул.потенциала

ϕт.1

∫E∑ dl =

∫(∑Eidl)= {поменяемместамиоперацииинтегрирования

т.1

исуммирования}

т. нул.потенциала

= ∑

∫Ei dl = ∑ϕi .

т.1

ϕ = ∑ϕi – потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциа-

лов, созданных каждым зарядом в отдельности.

Пример. Диполь – это система, состоящая из двух зарядов, равных по величине и противоположных по знаку.

–q	l	+q	q − заряддиполя
–q		+q
			l − плечодиполя

Характеристика диполя: Pe = ql – электрический момент диполя (э. м. д.) (дипольный момент).

Поле диполя

q q

а) Расчет φ (в дальней зоне, т. е. при r >> l)

Потенциал в точке A можно найти методом суперпозиции.

Пусть r+ – расстояние от положительного заряда до точки A, r- – расстояние от отрицательного заряда до точки A.

l cos α =

α ≈ α',

= l cos α' =

−q

r− −r+

= r– – r+ r+

r r-

= ϕ

+ϕ

4πε

r r

т.1

−

α'

−

− +

>> l,

r−тоr+

≈ r

l cosα

= т. к. r

= {ql = P

cosα .

−

≈

4πε

πε

r−

l cos

0 r

ϕдиполя

cosα

4πε0 r 2

б) Расчет E.

Вектор E можно найти, используя дифференциальную форму связи между E и φ.

E = –grad φ.

В точке A выберем 2 взаимно перпендикулярных направле-

∆l

ния, одно из которых совпадает с вектором r, а другое пер-

пендикулярно r.

∆

∂ϕ .

Проекция E на направление r:

= −

∂

∂r

∂

= −

cos α

= −

cos α

4πε

0 r

4πε0 r

∂r r

∂r

2Pe

cosα .

4πε0 r3

Проекция E на направление l:

∂ϕ

= {∆l = r∆α}

∂ϕ

∂

∂cosα

El = −

= −

sinα .

∂l

r∂α

4πε0 r

cosα

4πε0 r

∂α

4πε0 r3

∂α

E =

Er2 + El2 =

4cos2

α + sin 2 α .

4πε0 r3

Eдиполя =

3cos2 α +1

4πε0 r3

Диполь в электростатическом поле

а) Однородное поле

F+ = –F–.

F-

F+

∑F = 0 – сумма сил, действующих на диполь равна нулю. Сле-

довательно, в однородном поле диполь перемещаться не будет.

l sin α

2.Диполь разворачивается в электрическом поле. Механический момент силы, разворачивающей диполь:

M = F+h = {h = l sin α; F+ = qE} = qEl sin α = qlE sin α = PeE sin α. M = PeE sin α, M

M = [PeE].

αE

Следовательно, в однородном поле диполь будет только разворачиваться вдоль силовых линий.

б) Неоднородное поле

F-

1.Т. к. F+ ≠ F–, то диполь втягивается в область более сильного поля. Силу, действующую на диполь, можно определить сле-

F+					∂E		∂E
дующим образом: F = qE		− qE		= ql		= P		.
					∂l
	+		−			e ∂l

Отсюда F = grad (PeE).

2. Диполь разворачивается вдоль силовых линий M = [PeE].

В неоднородном поле диполь втягивается в область более сильного поля, одновременно разворачиваясь вдоль силовых линий.

Энергия диполя в электрическом поле

		По определению ϕт.1	=	Wпот	.

	+			q
l		2
		W пот. диполя = (−q)ϕт.1 + (+ q)ϕт. 2
–	1

ϕ1		−ϕ2		= (El)
		или			= −qϕ1	+ qϕ1 −q(El)=
=
ϕ		= ϕ	1	−(El)
	2

−(qlE)= −(Pe E),

W пот

0 π

Wпот. диполя = −(PeE), Wпот = –PeE cos α.

α= 0 – устойчивое положение равновесия (Wпот – min),

α= π – неустойчивое положение равновесия.

Зная потенциальную энергию , можно найти силу, дейст-

αвующую на диполь: F = –grad W = grad (PeE).

Сравните с формулой, полученной выше.

§ 2. Электростатическое поле в веществе

Вещество

по признаку

проводимости

проводники

диэлектрики

полупроводники

хорошо проводят эл. ток

плохо проводят эл. ток

промежуточная

проводимость

I. Диэлектрики

Диэлектрики – это вещества, заряды которых связаны в пределах молекул и могут смещаться под действием поля только на молекулярные расстояния.

Заряды

	связанные			свободные
Заряды, входящие в состав молекул,		1.	Для диэлектрика – это заряды, нару-
смещаются только в пределах молекул			шающие его электронейтральность.
		2.	Для проводников – это заряды, кото-
			рые смещаются на сколь угодно
			большие расстояния (свободно пере-
			мещаются по проводнику).

Под действием электрического поля молекулы диэлектрика поляризуются, соответст-

венно поляризуется сам диэлектрик.	E
Молекулы деформируются под действием электрического поля или	– +
разворачиваются вдоль поля.

Степень поляризации молекул будем характеризовать с помощью дипольного момента

Pe.
		Молекулы
		Молекулы

	неполярные		полярные

H2, N2	±

Вотсутствии поля Pe = 0.

Внеполярных молекулах "центр тяжести" положительного и отрицательного заряда совпадают. Под действием электрического поля они растягиваются, об-

разуя

диполь.

H2O, HCl

+ –

Вотсутствии поля Pe ≠ 0.

Вотсутствии поля полярные молекулы представляют собой жесткие диполи. Под действием поля они могут разворачиваться вдоль поля.

<<< < Предыдущая 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8283 / 20183 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.20194.71 Mб29МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ.doc
#
31.03.20153.11 Mб34моя курсовая по ОВЭД.doc
#
31.03.2015317.95 Кб127МП.Введение в курс ОИ.Last.doc
#
31.03.2015939.52 Кб17МПЭис.doc
#
01.04.202569.04 Кб0МУ КР ОснБ.docx
#
31.03.201540.05 Mб1234МЭИ(ТУ) Физика.pdf
#
01.03.2025306.69 Кб1МЭЭУ 20 вар ТР.doc
#
31.03.201587.04 Кб330Н.Бердяев. Воля к жизни и воля к культуре.doc
#
16.04.201911.74 Mб126На изготовку.doc
#
01.07.2025481.62 Кб2на проверку.docx
#
01.03.20251.47 Mб4НАДЕЖНОСТЬ ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ.doc