Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МЭИ(ТУ) Физика

.pdf

Скачиваний:

1234

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

40.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 / 20185 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 > Следующая >>>

Из т. Остроградского-Гаусса Eвнешара

4πε0 r 2

∞

ϕвнутр = ∫Eвнешараdr = ∫

dr =

−

; C =

= 4πε0 R ,

C = 4πεε0R

4πε0 r

4πε0

4πε0 R

(В системе СГСЭ

=1 , Cшара = R, [C] = 1 [см].)

4πε0

Пример. Конденсатор – это система, состоящая из двух проводников такой формы, что поле заряженного конденсатора сосредоточено практически между его обкладками.

В зависимости от формы конденсаторы бывают следующие:

Плоский конденсатор

Цилиндрический конденсатор

C = εε0 S

C =

2πεε0l

Сферический конденсатор

C = 4πεε0 R1R2 .

− R

Формулы вывести самостоятельно.

Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии

Энергия конденсатора не зависит от способа зарядки. Будем переносить

δq

–

порции заряда +δq с обкладки 2 на обкладку 1.

–

δAвнеш. сил = −δAсилполя = Aсилполя = (ϕ

)δq

–

−ϕ

δq ,

–

2→1

1→2

–

1 q2

–

A = ∫

dq =

–

C 2

Так как работа – это мера изменения энергия, то после зарядки энергия конденсатора будет равна:


A = W.	W =	Q2	=	C(ϕ	1	−ϕ	2	)2	=	Q(ϕ	1	−ϕ	2	)	.
A = W.	W =	2C	=			2			=		2				.
		2C				2					2

Плотность энергии электрического поля

Выразим энергию конденсатора через величины, характеризующие его поле.

–Q

εε

εε0 SE

εε0 E

W =

C =

Sd .

–Q

U = Ed

= V – объем поля

Введем понятие плотности энергии:

W =

εε

V . w =

– для однородного поля.

w =

εε

– объемная плотность энергии для изотропной среды.

D = εε0E, Плотность энергии:

w =

(DE)

– для любой среды.

w =

. W = ∫wdV = ∫

(DE)

dV .

Пример. Энергия поля между двумя сферами с зарядами Q и –Q

–Q

0, еслиr < R1

, если R1

< r < R2 . Все

Из т. Остроградского-Гаусса

E =

4πεε

0 r 2

0, еслиr > R2

поле находится между сферами.

εε

E 2

εε

Wмеждусферами

= ∫

dV = {dV = 4πr 2 dr}= ∫

4πr 2 dr =

∫

2 4πεε0

R 2(4π ) (εε

)

r 2

−

R −

2 4πεε0

R1R2

Эту формулу можно переписать иначе: C =

2C .

4πεε0 R1R2

R −

Cсфер =

4πεε0 R1R2

R2 − R1

ГЛАВА III. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Запишем уравнения Максвелла:

∫Edl = −∫∂B dS ,
l	S ∂t
∫Hdl = ∫∂D dS +		∑I макротоков, сцепленныхсконтуромl ,
l	S ∂t

∫DdS = ∑Qохвачсвобод. S. ,

∫BdS = 0 .

Создадим условия, когда отсутствует электрическое поле.

Электрическое поле порождается зарядами (III) и переменным магнитным полем (I).

Пусть		∑Q = 0	. Тогда из четырех уравнений останутся два.
	B = const вовремени
Для магнитной компоненты:
∫Hdl = ∑I макротоков, сцепленныхсконтуромl
l		∫BdS = 0	. Для вакуума B = µ0H.

		S

1.Постоянное магнитное поле порождается движущимися зарядами, т. е. токами.

2.Это поле не потенциально, оно соленоидальное (вихревое).

§ 1. Взаимодействие магнитного поля с движущимися зарядами, проводником с током и контуром с током

I. Сила Лоренца

Возьмем за основу взаимодействие магнитного поля с движущимся зарядом.

Из опыта fЛ = q[vB].

fЛ	fЛ = qvB sin(v, B),
B	v fЛ = fmax, если α =	π	,
q α	v fЛ = fmax, если α =	2	,

fmax = qvB. Отсюда можно ввести понятие вектора B.

B = fqvmax . Вектор индукции B численно равен отношению максимальной силы, дейст-

вующей на движущийся заряд, к величине этого заряда и к скорости его движения.

	II. Сила Ампера
dNзарядов	Зная выражение для силы Лоренца, можно получить формулу
	для силы, действующий на проводник с током. Рассмотрим уча-
v	S сток проводника с током длиной dl.
dl	dl = vdt.
	dl = vdt.

Внутри цилиндра будет находится заряд, равный

δQ = qdN.

Здесь q – заряд носителей тока.

Будем считать, что на совокупность δN зарядов будет действовать сила в δN раз большая, чем на один заряд.

δF	= f	Л	δN = q[vB]dN = qdN		dl	B	= δQ [dl B]= [Idl B].

А							dt
				dt

= I

Таким образом, мы получим формулы для силы Ампера, которая была исторически получена опытным путем.

δFА = I[dl B] – из опыта.

dFА

Отсюда

dFА = IdlB sin(dl, B).

Зная формулу Ампера, можно получить еще одно определение вектора B:

dFА = dFmax при α = π2 , dFmax = Idl B.

B = dFIdlmax . Индукция магнитного поля – силовая характеристика поля, численно равная

отношению максимальной силы, действующей на проводник с током, к величине проводника и к силе тока в нем.

		III. Рамка с током в магнитном поле
F12 2	n		Поместим прямоугольную рамку с током в однородное маг-
			нитное поле. На стороны рамки будут действовать 4 силы.
1		F23
	3		F14, F23 – растягивают рамку;

			F12, F34 – разворачивают рамку.
F14 4	F34
			Под действием этих двух сил рамка начнет разворачиваться.

Найдем вращающий момент силы.

F12	n		Момент силы:
1 (2)	n					π l
1 (2)			M = F	h = Il	B sin	π l	sinα = Il l B sin(nB),
α	α	B	12	12		2 14	12 14
α	α	B				2 14
	ось
h	ось						= S – площадь
h	3 (4)						= S – площадь

Момент силы можно найти по следующей формуле, причем независимо от формы рамки:

M = ISрамкиB sin(nB).

		Магнитный момент рамки с током:
I	S	n Pm = ISn, \|n\| = 1.
		Магнитный момент равен произведению тока в рамке на площадь этой

рамки и на единичный вектор нормали n, причем направление вектора n определяется правилом буравчика.

Тогда механический момент сил: M = PmB sin(PmB).

M = [PmB].

Работа по вращению рамки в магнитном поле:

dA = Mdα = PmB sin α dα, отсюда A = ∫dA , A = – PmB cos α.

Т. к. работа есть мера изменения энергии, для энергии рамки с током в магнитном поле можно записать формулу:

W = –(PmB).

В электростатике было введено понятие дипольного момента (электрический момент диполя). Сравним формулу, по которой можно найти момент силы, действующей на диполь в электрическом поле, с формулой момента силы, действующего на рамку с током в магнитном поле.

		Электростатика				Магнетизм
		Электростатика
–q	l				I	n
	l	+q			S
		+q			S
Дипольный момент: Pe = ql.					Магнитный момент: Pm = ISn.
M = [PeE].					Магнитный момент: Pm = ISn.
M = [PeE].					M = [PmB].
W = – PeE.					M = [PmB].
W = – PeE.
		Pm	Зная, как магнитное поле	действует на рамку с током, можно ввести
			Зная, как магнитное поле	действует на рамку с током, можно ввести
			третье определение вектора B
		B	третье определение вектора B
			M = PmB sin α,

B =	M max	. Вектор B численно равен максимальному моменту сил, действующих на
B =	P
	P
	m

рамку с током, отнесенному к ее магнитному моменту.

B =	fmax	; B =	dFmax	; B =	M max	.
	qv				P
			idl
					m

Все три определения эквивалентны. Они дают численное значение вектора. Его направление определяется ориентацией магнитной стрелки.

§ 2. Методы расчета вектора индукции магнитного поля

4. С помощью векторного	5.	С помощью закона полно-	6.	Метод	суперпозиций:
4. С помощью векторного	5.	С помощью закона полно-	6.	Метод	суперпозиций:
потенциала A (уравнение		го тока (уравнение Мак-		B = ∑∆Bi
Максвелла)		свелла)

	I. Расчет B с помощью векторного потенциала A
∫Bdl = µ0	∫jdS – одна из форм записи уравнения Максвелла.
l	S
	= ∑I

Дифференциальная форма записи этого уравнения: rot B = µ0j. ротор (вихрь)

Вводят понятие векторного потенциала A, так что B = rot A, причем div A = 0. Тогда rot rot A = µ0j

или в проекциях на оси координат

∂

A2x +

∂

A2x +

∂

A2x

= −µ0 jx

∂x

∂y

∂z

∂2 Ay

(I)

= −µ0 jy .

∂x2

∂y2

∂z2

∂2

= −µ0 jz

∂x

2z +

∂y

∂z

Эту систему уравнений можно дополнить еще одним уравнением для электростатического потенциала:

∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2ϕ	= −	ρ	.
∂x2		∂y2		∂z2
						ε 0

В четырехмерном пространстве векторный потенциал A и потенциал φ образуют единый четырехвектор.

Из системы (I) находят A. Зная A, получим B = rot A.

II. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора B)

Закон полного тока может быть получен из опытного закона Био-Савара-Лапласа.

∫Bdl = µ0 ∑I макротоков, сцепленныхсконтуромl (СИ) Циркуляция вектора B по произвольному

замкнутому контуру l равна произведению µ0 на алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром интегрирования l.

Здесь µ0 = 4π 10−7 Гнм .

Ток называют сцепленным с контуром l, если его нельзя "вытащить" из контура, не разорвав контур или ток.

об

хо

I2 сонаправлен n,

I2 > 0, l I1 < 0.

	а
тур
он

Ток, сцепленный с контуром

Ток, не сцепленный с контуром

Пример 1. Поле бесконечно длинного проводника с током
I	В качестве контура интегрирования l выберем силовую линию, прохо-
l	дящую через данную точку.
обход	∫Bdl = ∫Bdl cos(Bdl)= {всилу симметрии B = const на контуре l}= B ∫dl =
	l	l	l
	= B2πr ,

∑I = +I ,

B2πr = µ0I B = µ2π0 rI .

				Пример 2. Поле длинного соленоида (катушки)
	1	2		В качестве контура интегрирования l возьмем контур
	1	2		1-2-3-4, причем сторона l34 уходит в бесконечность.
I	4	3		1-2-3-4, причем сторона l34 уходит в бесконечность.
I	4	3			3		π	4	1	π = l12 B ,
				∫Bdl = l12B + ∫Bdl cos			π	+ ∫Bdl + ∫Bdl cos		π = l12 B ,
				l	2		2	3	4	2
				=0, т. к. участок l34 уходит в бесконечность
1		2	∑Iсцепл.сl = N12 I ,
1		2
	N12		Bl12 = µ0IN12	Bвцентре = µ0 I	N12	.
	N12		Bl12 = µ0IN12	Bвцентре = µ0 I	l12	.
					l12

Введем понятие плотности намотки:

n =	N12		.
	N12	Bв центре = µ0In
	l	Bв центре = µ0In
	l
	12
		III. Принцип суперпозиции. Формула Био-Савара-Лапласа

Магнитное поле будем рассчитывать так же, как определяли электростатическое поле.

Кулоновское поле

Магнитное поле

Аналогично, полное магнитное поле равно сумме

По принципу суперпозиции

полей, создаваемых малыми элементами с током

E = ∑∆Ei .

Idl.

Поле ∆Bi,

созданное этими токами, можно

В качестве элемента ∆E мы бра-

найти с помощью формулы Био-Савара-Лапласа.

ли поле, созданное малым заря-

Эта формула, так же как и закон Кулона, была

дом ∆q, находя ∆E из опытного

получена опытным путем.

закона Кулона.

B = ∑∆Bi ;

∆Bi =

µ0 I

[dliri ]

– формула Био-

∆qi

4π

∆E

4πε

r 2

Савара-Лапласа (эксперимент, опытный факт).

∆qi

вращать буравчик от ∆l к r

∆Ei

( – вектор ∆Bi направлен от

∆li

r i

нас, ~ – на нас.)

Пример. Магнитное поле на оси

I[dl r]

кругового тока

dBi

dB =

, B

= ∑∆Bi ,

4π

µ0

Idlr sin 90o

µ0 Idl

x dB =

dBx

4πr 2 ,

4π

dBx = dBsinα = dB

= µ0 IdlR

4πr3

Bx =

∫

µ0 IRdl3

µ0

∫dl =

µ0

2πR .

4π

поконтуру

4πr

поконтуру

4π r

r = R2 + x2 , где x – координата точки, в которой определяется B.

Bx =	µ	0	I 2πR2	; πR2 = S, SI = Pm. Тогда формулу можно представить в виде
Bx =	4π		(R2 + x2 )3 2	; πR2 = S, SI = Pm. Тогда формулу можно представить в виде
	4π		(R2 + x2 )3 2

Bx =	µ0		2Pm	. Здесь Pm – магнитный момент контура с током.
Bx =	4π		(R2 + x2 )3 2	. Здесь Pm – магнитный момент контура с током.
	4π		(R2 + x2 )3 2

Если x >> R, то B ~ x13 .

Согласно гипотезе Ампера поле магнита создано микротоками, циркулирующими в пределах объема молекул. Тогда зависимость B(x) для магнита будет иметь такой же характер, как и аналогичная зависимость для кругового тока. Следовательно, поле постоянного магнита должно убывать очень быстро.

железо	Bix	B ~	1	.

	Bi		x3

В целом мы видим, что магнитный момент контура с током является очень важной характеристикой, так как Pm определяет:

	Pm
1. Механический момент, действующий	Собственное магнитное поле контура с
на контур с током.	током.

2.Силу, втягивающую контур с током в неоднородном магнитном поле.

<<< < Предыдущая 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 / 20185 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.20194.71 Mб29МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ.doc
#
31.03.20153.11 Mб34моя курсовая по ОВЭД.doc
#
31.03.2015317.95 Кб127МП.Введение в курс ОИ.Last.doc
#
31.03.2015939.52 Кб17МПЭис.doc
#
01.04.202569.04 Кб0МУ КР ОснБ.docx
#
31.03.201540.05 Mб1234МЭИ(ТУ) Физика.pdf
#
01.03.2025306.69 Кб1МЭЭУ 20 вар ТР.doc
#
31.03.201587.04 Кб330Н.Бердяев. Воля к жизни и воля к культуре.doc
#
16.04.201911.74 Mб126На изготовку.doc
#
01.07.2025481.62 Кб2на проверку.docx
#
01.03.20251.47 Mб4НАДЕЖНОСТЬ ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ.doc