МЭИ(ТУ) Физика
.pdfСБОРНИК ЗАДАЧ С МЕТОДИЧЕСКИМИ УКАЗАНИЯМИ И
РЕШЕНИЯМИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ "ЭЛЕКТРИЧЕСТВО"
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач представляет собой очередное переработанное издание кафедраль- ного задачника по физике (ч. 2) под редакцией Е. М. Новодворской. В новом издании каждый раздел снабжен краткими методическими указаниями, приведены решения 1-2 типовых задач, ко всем задачам приведены ответы в общем виде, всюду, где спрашива- ется, приведены графики, что должно способствовать более углубленной самостоя- тельной работе студентов над курсом. При общем сокращении числа задач введены разделы, посвященные уравнениям Максвелла и электромагнитным волнам.
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
1.Всюду значком звездочки (*) указано, что рассматривается идеализированный объект:
длинная нить, стержень, цилиндр, соленоид – имеют длину, значительно превосхо- дящую расстояние до точек, где рассматривается поле (электрическое или магнитное) этих объектов; можно считать, что их поле обладает осевой симметрией, краевые эф- фекты можно не учитывать. Характеристики поля, обладающего осевой симметрией, не зависят от координаты вдоль оси и от угла поворота вокруг оси, могут зависеть от рас- стояния от оси;
тонкий стержень, нить, соленоид – имеют поперечные сечения таких линейных размеров, что они значительно меньше расстояний до тех точек, где рассматривается поле; характеристики поля не зависят от размеров поперечных сечений;
большая плоскость, большая пластина имеют линейные размеры, значительно пре- восходящие расстояние до тех точек, где рассматривается поле зарядов, на них распре- деленных; можно считать, что поле обладает плоской симметрией. Характеристики та- кого поля могут зависеть только от расстояния от плоскости симметрии;
маленькая рамка, маленький стержень имеют такие размеры, что в их пределах внешнее поле можно считать однородным.
2.Относительная ошибка δ при расчете некоторой величины a по приближенной
формуле равна
δ = aточн − aприбл . aприбл
3. Числовые значения исходных данных и ответов задач приведены с учетом точ- ности соответствующих величин, но с относительной погрешностью не более 10%.
I. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ
Согласно закону Кулона A на расстоянии r, |
равна E(A) = |
Q |
и направлена |
4πε0r2 |
вдоль линии QA от заряда. Напряженность поля, созданного в некоторой точке произ- вольным зарядом, может быть рассчитана с помощью принципа суперпозиции (см. пример 1.1) или с помощью теоремы Гаусса (см. пример 1.2).
Примеры решения задач
Пример 1.1. По тонкому кольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q. Найти напряженность поля в точках на оси кольца (оси z) как функцию расстояния от центра кольца.
При z >> r заряд кольца не точечный. Распределение заряда характеризуется ли-
нейной плотностью τ. Линейная плотность заряда кольца равна τ = 2Qπr . E(z) найдем с
|
помощью принципа суперпозиции. Разделим кольцо на такие ма- |
|
лые участки длиной dl (рис. 1.1), что заряд такого участка dQ |
|
можно считать точечным. В точке на оси z он создает элементар- |
|
ную напряженность dE. |
|
Векторы dE от всех элементарных зарядов покрывают по- |
|
верхность конуса с вершиной в точке z (рис. 1.1). Из соображений |
Рис. 1.1. |
симметрии видно, что отлична от .нуля только составляющая E по |
|
|
|
оси z: E = Ez. Ez найдем с помощью принципа суперпозиции, сум- |
мируя векторы dEz одного направления. Переходя к проекциям, запишем Ez = òdEz ,
по Q
где dEz = dE cos α, α – угол между осью z и dE (рис. 1.1), dE – модуль напряженности,
dE = |
dQ |
, где ρ – расстояние от dl до точки z (рис. 1.1). Тогда |
||
4πε0 ρ2 |
||||
|
|
E(z) = òdE cosα = ò |
dQcosα2 . |
|
|
|
по Q |
по Q |
4πε0 ρ |
Выполняя интегрирование, учтем, что cos α = z/ρ, ρ2 = r2 + z2 и не зависят от положения заряда dQ. Тогда
E(z) = |
cosα |
|
òdQ = |
Qz |
|
|
. |
|||
4πε0 |
ρ |
2 |
4πε0 (r |
2 |
+ z |
2 |
3 2 |
|||
|
|
по Q |
|
|
) |
|
||||
Er = Qохв . 2πε0rh
Заряд, охваченный поверхностью интегрирования, равен Qохв = ρVз, где Vз – объем занятый этим зарядом. Для точек внутри объемного заряда, при r ≤ r0, т. е. для r1,
Vз = πr2h, для точек вне заряда (r2) Vз = πr02 h (на рис. 1.2 область пространства, содер-
жащая заряд, отмечена штриховкой). Для напряженности получаем:
при r ≤ r0 |
Er = |
|
ρπr2h |
= |
|
ρr |
, Er(r1) = 280 Н/Кл; |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2πε0rh |
|
2ε0 |
|
||||
при r ≥ r0 |
Er = |
|
ρπr2h |
= |
|
ρr2 |
, Er(r2) = 380 Н/Кл. |
|||
0 |
|
0 |
|
|||||||
2πε0rh |
2ε0r |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
На рис. 1.3 приведен график Er(r).
Рис. 1.3.
Задачи
1.1. Два точечных заряда Q1 и Q2 находятся на расстоянии l = 20 см друг от друга
(рис. 1.4). Заряды равны: a) Q1 = Q2 = 6 · 10-8 Кл; б) Q1 = 6 · 10-8 Кл, Q2 = – Q1.
Рис. 1.4.
1.Найти напряженность поля в точках, лежащих на оси абсцисс, с координатами x1 = 5 см, x2 = 15 см.
2.Построить график зависимости проекции вектора напряженности Ex от коорди-
наты x для точек, лежащих на оси абсцисс.
3.Найти напряженность поля в произвольной точке, лежащей на оси y.
4.Построить график E(0, y) зависимости модуля вектора напряженности E от коор- динаты y для точек, лежащих на. оси ординат.
1.2. По тонкому* стержню длины l = 10 см равномерно распределен заряд
Q= 8 · 10-8 Кл.
1.Найти напряженность поля в точке, лежащей на продолжении стержня, на рас- стоянии x0 = 10 см от его ближайшего конца.
2.При каком соотношении x0/l;напряженность поля можно рассчитывать по фор- муле напряженности поля точечного заряда, чтобы относительная ошибка δ не превы- шала 5%?
1.3. Тонкий* стержень длиной l = 10 см заряжен положительным зарядом с линей-
Рис. 1.5.
ной плотностью τ = τ0x/l, где τ0 = 8 · 10-9 Кл/м (рис. 1.5).
1.Чему равен полный заряд стержня?
2.Найти напряженность поля в точке, находящейся на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его правого конца.
1.4. По тонкому* полукольцу радиусом r = 8 см равномерно распределен заряд
Q = 7 · 10-8 Кл.
Найти напряженность электрического поля в центре полукольца.
1.5. Тонкая* нить длиной l = 25 см согнута в виде дуги окружности радиуса r = 5 см.
Найти напряженность поля в центре окружности, если стержень равномерно заря- жен с линейной плотностью τ = 8 · 10-11 Кл/м.
1.6. По тонкому* кольцу радиуса r = 10 см равномерно распределен заряд
Q= 1,6 · 10-6 Кл.
1.Найти максимальное значение напряженности поля на оси кольца z.
2.Построить график зависимости проекции вектора напряженности Ez от коорди- наты z.
1.7. По тонкой* прямой проволоке длиной l = 2,0 м равномерно распределен заряд
Q= 2,5 · 10-8 Кл.
1.Найти напряженность поля в точке, расположенной на расстоянии a = 1,0 м по нормали от середины проволоки.
2.При каком соотношении a/l можно для расчета напряженности поля пользовать- ся формулой для напряженности длинной* проволоки, чтобы относительная ошибка δ не превышала 1%, 10%?
1.8.По тонкому* стержню равномерно распределен положительный заряд с линей- ной плотностью τ = 8 · 10-11 Кл/м.
1. Найти напряженность поля в точке, отстоящей от стержня по нормали на рас- стояние a = 10 см, если прямые, соединяющие указанную точку с концами стержня, об- разуют с этой нормалью углы α1 = 30° и α2 = 60°.
2. Чему равна напряженность поля в точке, лежащей на том же расстоянии от стержня: а) против одного из его концов, б) против его середины?
3. Рассмотреть предельный случай при l << a, где l – длина стержня.
1.9.Тонкий* диск радиуса r0 = 20 см равномерно заряжен с поверхностной плотно- стью σ = 5 · 10-8 Кл/м2.
1.Найти напряженность поля на оси диска на расстояниях z1 = 0,10 r0 и z2 = 3 r0 от его центра.
2.Показать, что электрическое поле, созданное диском, при z << r0 практически однородно, а при z >> r0 переходит в поле точечного заряда.
3.Найти, чему равна относительная ошибка расчетов δ, если для точек z1 и z2 поль- зоваться соответственно формулами для напряженности однородного поля и поля то- чечного заряда.
4.Построить график зависимости Ez(z).
1.10.Заряд Q = 5 · 10-9 Кл равномерно распределен по боковой поверхности цилин- дра радиусом r0 = 30 см и длиной l = 60 см.
Найти напряженность поля на оси цилиндра в точке, отстоящей от его середины на расстояние z0 = 80 см.
1.11.B однородном электрическом поле напряженностью E = 700 В/м находятся: а) круглая площадка радиусом r = 3,0 см, расположенная нормально к линиям напря- женности, б) прямоугольная площадка со сторонами a = 3,0 см, b = 2,0 см, расположен- ная так, что линии напряженности образуют угол α = 30° с ее плоскостью.
Найти поток N вектора напряжённости электрического поля через каждую из ука- занных поверхностей.
1.12. Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью
σ = 1,2 · 10-8 Кл/м2.
Найти поток N вектора напряженности электрического поля через поверхности: а) полусферы радиусом r = 30 см, плоскость, основания которой составляет угол α = 30° с силовыми линиями поля; б) куба с ребром α = 3,0 см, две грани которого параллельны заряженной плоскости.
1.13. Сфера радиусом r0 = 3,0 см равномерно заряжена зарядом Q = l,0 · 10-7 Кл.
1. Найти напряженность электростатического поля в точках, расположенных на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от ее центра.
2. Построить график Er(r).
1.14. Длинная* нить равномерно заряжена с линейной плотностью τ = 4 · 10-7 Кл/м.
1.Найти напряженность электрического поля в точках, расположенных на расстоя- нии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от нити.
2.Построить график Er(r).
1.15.Длинный* цилиндр радиусом r0 = 3,0 см равномерно заряжен по поверхности
сплотностью σ = 6 · 10-9 Кл/м2.
1.Найти напряженность электростатического поля в точках, расположенных на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от оси цилиндра.
2.Построить график Er(r).
1.16. Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью
σ= 6 · 10-9 Кл/м2.
1.Найти напряженность электрического толя в точках, расположенных на расстоя- нии x1 = 2,0 см и x2 = 10 см от плоскости.
2.Построить график Ex(x), ось x перпендикулярна плоскости.
1.17. Электрическое поле создано двумя большими* параллельными тонкими* пла- стинами, равномерно заряженными с поверхностными плотностями σ1 и σ2.
1.Найти напряженность поля в пространстве между пластинами E2 и вне пластин (E1 слева и E3 справа от них), при σ1 = 2,0 · 10-9 Кл/м2 и различных σ2: а) σ2 = 2σ1;
б) σ2 = σ1; в) σ2 = – σ1, г) σ2 = – 2σ1.
2.Построить графики зависимости проекций вектора напряженности Ex от абсцис-
сы x (ось x направлена перпендикулярно пластинам) для всех случаев.
1.18. Две большие* тонкие* параллельные пластины равномерно заряжены с по- верхностными плотностями σ1 = 1,0 · 10-8 Кл/м2 и σ2 = – 3,0 · 10-8 Кл/м2.
1.С какой силой поле действует на единицу площади каждой пластины со стороны другой пластины?
2.Чему равна работа внешних сил, отнесенная к единице площади, необходимая
для увеличения расстояния между пластинами на величину l =0,3 см?
1.19. Три большие* тонкие* квадратные пластины площадью S = 0,50 м2 каждая, расположены параллельно друг другу на расстоянии d = l,0 мм одна от другой.
1.Рассчитать напряженность поля между пластинами (E2 и E3) и вне их (E1 слева и E4 справа), если на первой пластине равномерно распределен заряд Q1 = 3,0 · 10-7 Кл, на второй Q2 = – 6,0 · 10-7 Кл и на третьей Q3 = 9,0 · 10-7 Кл.
2.Построить график зависимости Ex(x), если ось x нормальна к заряженным пла- стинам.
1.20.Металлический шар радиусом R1 = 2,0 см окружен металлической оболочкой
радиусом R2 = 4,6 см, концентричной с шаром. На шаре находится заряд Q1 = 2,0 · 10-8 Кл, на оболочке – заряд Q2 = – 4,0 · 10-8 Кл.
1.Найти напряженность поля в точках, лежащих на расстояниях r1 = 3,0 см, r2 = 5,0 см от центра шара.
2.Построить график Er(r) – график зависимости проекции вектора напряженности Er от расстояния r.
1.21.В вакууме имеется скопление электронов в виде сферического облака радиуса r0 = 3,0 см. Объемная плотность заряда ρ = 1,4 · 10-8 Кл/м3.
1.Найти напряженность поля в точках, лежащих на расстоянии r1 = 7 см, r2 = 12 см от центра облака.
2.Построить график зависимости проекции вектора напряженности Er от расстоя-
ния r.
1.22.В вакууме образовалось скопление зарядов в форме длинного* цилиндра ра- диусом r0 = 4,0 см с постоянной объемной плотностью заряда ρ = – 1,4 · 10-8 Кл/м3.
1.Найти напряженность поля в точках, лежащих на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от оси цилиндра.
2.Построить график Er(r).
1.23. Объемная плотность заряда внутри электронного облака, имеющего форму длинного цилиндра радиусом r0 = 10 см, ρ = – 1,4 · 10-6 Кл/м3. Коаксиально электрон-
ному облаку расположена цилиндрическая поверхность той же длины и радиуса r1 = 3,0 см. Плотность заряда на поверхности σ = 2,7 · 10-9 Кл/м2.
1.Найти напряженность поля на расстоянии r3 = 4,0 см от оси электронного облака.
2.Найти величину E скачка, испытываемого вектором напряженности на заря- женных поверхностях.
3.Построить график зависимости проекции вектора напряженности Er от расстоя-
ния r.
1.24.Имеется скопление зарядов в форме большого* плоского слоя толщиной d = 8 см. Объемная плотность зарядов в слое ρ = 1,3 · 10-6 Кл/м3.
1.Найти напряженность поля в точках, удаленных от середины слоя на расстояния x1 = 15 см, x2 = 5 см
2.Построить график Ex(x) зависимости проекции вектора Ex от координаты x, если
ось x перпендикулярна боковым поверхностям слоя.
1.25.По прямой тонкой* нити длиной l0 = 4,0 м равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ1 = 4,0 · 10-7 Кл/м. В одной плоскости с нитью перпендикулярно
кней расположен тонкий* стержень длиной l = 20 см. Ближайший к нити конец стерж- ня находится от нее на расстоянии x0 = 5 см.
Найти силу F, с которой поле действует на стержень, если он равномерно заряжен с линейной плотностью τ2 = 1 · 10-8 Кл/м.
1.26.В одной плоскости с длинной* нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью τ, расположен стержень длиной l под углом α к нити. Расстояние от нити до центра стержня равно r0.
Считая стержень заряженным равномерно (заряд Q), найти силу, с которой на него действует поле, и получить предельное выражение для нее при α → 0 и α → π/2.
1.27.Две параллельные длинные* нити, находящиеся на расстоянии a1 = 10 см друг
от друга, равномерно заряжены с линейными плотностями τ1 = 1,2 · 10-8 Кл/м и
τ2 = 2,8 · 10-8 Кл/м.
Найти: а) силу, с которой поле действует на единицу длины каждой нити; б) рабо- ту, совершаемую кулоновскими силами, отнесенную к единице длины при раздвигании нитей до расстояния a2 = 15 см,