МЭИ(ТУ) Физика

6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА В ВАКУУМЕ

Проводники с током создают вокруг себя магнитное поле, магнитная индукция ко- торого может быть рассчитана, по закону Био-Савара-Лапласа и принципу суперпози- ции полей или по закону полного тока.

Примеры решения задач

Пример 6.1. Провод с током I = 10 А, длиной l0 = 0,10 м согнут в виде дуги окруж- ности радиуса r = 0,10 м. Найти магнитную индукцию в центре окружности (подводя- щие провода направлены строго радиально).

Разобьем провод с током на множество бесконечно ма- лых элементов и рассмотрим произвольный элемент тока Idl (рис. 6.1). Магнитная индукция dB, созданная этим элемен- том в точке O, по закону Био-Савара-Лапласа равна

4πr2

го провода с током в точке O по принципу суперпозиции равна

B = òdB ,

по току

где интегрирование ведется по всем элементам тока.

Согласно правилу правого буравчика векторы dB всех элементов тока в точке O направлены перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Так же направлен и вектор B. Переходя к проекциям на направление, совпадающее с направлением вектора B, полу-

чим скалярную форму записи последнего уравнения

Пример 6.2. Ток плотности I течет по длинному* цилиндрическому проводу ра- диуса r0. Найти магнитную индукцию B на произвольном расстоянии r от оси цилиндра для точек, лежащих в области r ≥ r0.

Распределение тока в проводе обладает осевой симметрией, так что линии индук- ции магнитного поля являются окружностями, лежащими в плоскостях, перпендику- лярных оси цилиндра, центры которых лежат на оси. Это позволяет применить закон

полного тока

Задачи

6.1.Начертить линии магнитной индукции поля: а) длинного прямого провода с током; б) кругового тока.

6.2.По тонкому* длинному* прямому проводу идет ток I = 10 А.

1.Найти магнитную индукцию в точке, расположенной на перпендикуляре к про- воду на расстоянии r = 5 см от него.

2.Построить график зависимости модуля вектора индукции B от расстояния r.

6.3.По тонкому* прямому проводу идет ток I = 10 А. Точка C расположена против его середины на расстоянии a = 5 см, провод из точки C виден под углом a = 60°. Вы- числить магнитную индукцию в точке C. Поле подводящих проводов не учитывать.

6.4.По длинному* вертикальному проводу, расположенному в магнитном поле Земли, идет сверху вниз ток I = 8 А.

1. На каком расстоянии от провода результирующая магнитная индукция направ- лена вертикально? Индукция магнитного поля Земли B0 = 5,8 · 10-5 Тл, угол магнитного наклонения φ = 72°

2. Меняется ли положение найденной точки при изменении направления тока в проводе?

Угол магнитного наклонения – это угол, который вектор B0 образует с горизон- тальной плоскостью.

6.5.По длинному* проводу, согнутому под прямым углом, идет ток I = 30 А. Найти магнитную индукцией в точках, лежащих на расстоянии a = 5,0 см от вершины угла и расположенных: а) на биссектрисе прямого угла; б) на продолжении одной из сторон угла.

6.6.Найти магнитную индукцию B в центре прямоугольной рамки со сторонами a и b, по которой течет ток I. Поле подводящих проводов не учитывать.

6.7.Провод, по которому идет ток I = 1,0 А, согнут в виде равностороннего тре- угольника со стороной a = 20 см. Найти магнитную индукцию в центре этого треуголь- ника. Поле подводящих проводов не учитывать.

6.8.Два длинных* прямых провода с одинаковыми по величине и направлению то- ками I1 = I2 = 10 A, расположенными параллельно друг другу на расстоянии a = 0,9 м.

1. Найти результирующую магнитную индукцию B в точке, равноудаленной от проводов и лежащей в одной плоскости с ними.

2. Построить график зависимости проекции результирующего вектора индукции By от. координаты x для точек, лежащих на оси x (рис. 6.3).

3. Решить задачу при изменении направления тока I2 на противоположное.

6.9.Два длинных* прямых провода, по которым текут одинаковые по величине и направлению токи I1 = I2, расположены параллельно друг другу на расстоянии a.

1. Найти величину и направление вектора магнитной индукции B результирующего поля в точке C, равноудаленной от обоих проводников на расстояние b > a/2 (рис. 6.4).

2. Решить задачу для взаимнопротивоположных направлений токов I1 и I2.

3. Построить графики зависимости проекции вектора индукции Bx (и By для 2-го случая) от координаты y точек, лежащих на оси y.

6.10.Два длинных* прямых провода расположены перпендикулярно друг другу и находятся на расстоянии a = 5 см (рис. 6.5). По проводам идут токи I1 = 8 А, I2= 12 А.

Найти величину и направление вектора магнитной индукции B результирующего поля в точке C, лежащей на перпендикуляре к обоим проводникам на расстоянии x= 2 см от одного из них.

6.11.К двум точкам однородного проволочного кольца подведены радиально иду- щие провода, соединенные с достаточно удаленным источником. Найти магнитную ин- дукцию в центре кольца.

6.12.По плоскому круглому витку радиуса r0 = 4 см идет ток I = 2,0 А.

1.Найти магнитную индукцию в точках, лежащих на оси витка на расстояниях z1 = 2,0 см, z2 = 200 см от его центра.

2.При каком отношении z/r0 магнитную индукцию можно рассчитать по формуле

B = μ0 pm , чтобы относительная ошибка не превышала 10%? 1%?

2πr2

6.13. Тонкое* однородное кольцо радиуса a1 подключено к источнику с ЭДС ε. При этом в центре кольца магнитная индукция оказалась равной B. Рассчитать, во сколько раз надо изменить ЭДС источника, чтобы в центре кольца радиуса a2 = a1/2, сделанного из той же проволокли, что и первое кольцо, магнитная индукция оставалась равной B.

6.18.Тонкая* медная полоса шириной b = 500 мм изгибается и образует цилиндри- ческую поверхность, радиус которой r0 = 15 мм (рис. 6.7). Найти магнитную индукцию B1 в середине оси цилиндра и B2 в центре одного из его оснований, если по полосе идет ток I = 1000 А. Линии тока – окружности, плоскости которых перпендикулярны оси цилиндра. Магнитным полем подводящих проводов пренебречь.

6.19.Обмотка полого керамического кольца со средним радиусом r0 = 10 см состо- ит из N = 1000 витков диаметра d = 4,0 см каждый. Ток в обмотке I = 2,0 А.

1.Найти магнитную индукцию B в точках, лежащих на расстояниях: r1 = 3 см, r2 = 10 см и r3 = 15 см от центра кольца.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения индукции в кольце.

3.При каком отношении r0/d индукцию в кольце можно с относительной ошибкой до δ = 2% считать постоянной по величине?

6.20.Ток I = 10 А течет по длинному* медному цилиндрическому проводу кругово- го сечения радиуса r0 = 0,5 см. Плотность тока по всему сечению можно считать одина- ковой.

1.Найти магнитную индукцию B в точках, лежащих на расстояниях: r1 = 0,2 см, r2 = 1,0 см от оси провода.

2. Построить график зависимости индукции B от расстояния r. Относительная маг- нитная проницаемость меди μ =1.

6.21. Длинный* коаксиальный кабель, состоящий из одной жилы, радиус которой r0 = 1 мм, и тонкой медной оболочки радиуса r = 4 мм, образует двухпроводную систе- му, обтекаемую током I = 0,20 А.

1.Найти магнитную индукцию B в точках на расстоянии r1 = 0,5 мм, r2 = 2,5 мм и r3 = 5,0 мм от оси кабеля.

2.Начертить график зависимости модуля вектора индукции B от расстояния r.

6.22.По длинному* прямому цилиндрическому проводу радиуса r1 идет ток посто-

янной плотности I. В проводе имеется цилиндрическая полость радиуса r0. Ось полости

Рис. 6.8

параллельна оси провода и смещена от нее на расстояние d (рис. 6.8). Найти магнитную ин- дукцию B в полости в произвольной точке.

Ответы

6.1.См. рис. 6.9.

6.6.B = 2μ0 I a2 + b2 (πab).

6.7.B = 9μ0 I (2πa) = 9 ×10−6 Тл .

6.8.1. B = 0.

2.См. рис. 6.11.

3.B = 2μ0 I (πa) = 9 ×10−6 Тл .

6.9.1. Bx = 2μ0 I b2 - a2 4(πb2 ), By = 0.

2.Bx = 0, By = μ0 Ia(2πb2 ).

3.См. рис. 6.12.

6.18.B1 = μ0 I (b2 + 4r02 )−12 = 2,5 ×10−3 Тл ; B2 = μ20 I (b2 + r02 )−12 =1,3 ×10−3 Тл .

2.Bmax = μ0 IN [2π (r0 - d2)]= 5,0 ×10−3 Тл ; Bmin = μ0 IN [2π (r0 + d2)]= 3,3 ×10−3 Тл .

3.r0 d =1δ = 50 .

2. См. рис. 6.15.

6.21.1. B1 = μ0 Ir1 (2πr02 )= 2,0 ×10−5 Тл ; B2 = μ0 I (2πr2 ) =1,6 ×10−5 Тл ; B3 = 0.

2.См. рис. 6.16.

6.22.B = μ20 [j,d], d – вектор, направленный от оси проводника к оси полости.

7. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ И ДВИЖУЩИЕСЯ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

На элемент тока в магнитном поле действует сила, определяемая законом Ампера. Сила, действующая на проводник с током конечной длины, помещенный в магнитное поле, находится путем суммирования сил, действующих на элементы тока этого про- водника (см. пример 7.1).

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. На контур с током в магнитном поле действует механический момент сил, вра-

щающий контур.

Примеры решения задач

Пример 7.1. В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому течет ток I1, перпендикулярно к нему расположен тонкий* стержень длиной a, по которому течет ток I2. Расстояние от прямого тока до ближайшего стержня равно b (рис. 7.1). Найти силу, действующую на стержень, при I1 = I2 = 10 А, a = 10 см, b = 10 см.

Рис. 7.1.

Рассмотрим некоторый элемент тока I2dr, находящийся на произвольном расстоя- нии r от провода с током I1 (рис. 7.1). По закону Ампера на него действует сила, равная dF = I2[dr, B], где B – магнитная индукция в месте расположения этого элемента. По модулю dF = I2drB, так как sin(dr, B) = 1.

Магнитная индукция B провода с током вдоль стержня непрерывно меняется, так как по закону полного тока B = μ2π0 Ir1 . В области расположения стержня магнитная ин-

дукция B, создаваемая проводом с током, направлена перпендикулярно плоскости ри- сунка от нас (рис. 7.1).

Силы, действующие на все элементы стержня, имеют одинаковое направление, по- казанное на рис. 7.1, и различную величину, зависящую от расстояния r,

dF = μ0 I1I2 dr , поэтому результирующая сила F, действующая на весь стержень, равна

2πr