Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1325 вузов, 5426 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МЭИ(ТУ) Физика

.pdf
Скачиваний:
1234
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
40.05 Mб
Скачать
☆

§ 8. Граничные условия

(См. "Диэлектрики".)

µ1

 

B1

 

∫BdS = 0 ,

 

 

 

 

S

µ2

 

 

 

 

 

 

.

B2

 

 

 

B1n = B2n

 

 

 

Нормальная составляющая вектора B не претерпевает скачка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т. к. B = µµ0H,

 

H1n

=

µ2

.

 

 

H2n

µ1

 

∫Hdl = 0 – отсутствуют макротоки на границе раздела двух сред.

l

H1τ = H2τ – тангенциальная составляющая вектора H не претерпевает скачка.

 

B1τ

=

µ1

 

– тангенциальная составляющая вектора B претерпевает скачок.

 

H2τ

µ2

 

ГЛАВА IV. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

В предыдущих главах мы рассматривали ситуации, когда проявлялась либо электрическая, либо магнитная компонента электромагнитного поля. Сейчас рассмотрим случай, когда одновременно "работают" обе составляющие поля.

Электрическое поле

E (D)

Электромагнитное

поле

Магнитное поле B (H)

§ 1. Электромагнитное поле в вакууме

Рассмотрим ситуацию, когда в пространстве отсутствуют заряды и макротоки. Тогда из четырех уравнений Максвелла останутся только два первых уравнения.

1. ρ = 0

Уравнения

2. jмакро = 0 Максвелла:

∫Edl = −∫∂B dS .

(1)

l

S ∂t

 

∫Hdl = ∫∂D dS .

(2)

l

S ∂t

 

Если в пространстве создано переменное электрическое поле E, то оно возбуждает вихревое магнитное поле (см. уравнение (2)), которое в свою очередь создает вихревое электрическое поле (см. уравнение (1)) и т. д. В результате возникает цепочка возмущений, бегущих в пространстве.

E

– электромагнитное возмущение.

B

I. Вывод волнового уравнения

Постановка задачи: Пусть в пространстве есть изменяющееся электрическое поле. Направим вдоль вектора E ось y.

 

 

 

y

 

 

Ey(x)

 

2

Ey(x + ∆x)

 

 

Пусть E = Ey не меняется вдоль y и z, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n1234

 

 

 

меняется только по оси x.

 

 

 

 

 

Ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обход

 

 

 

 

Рассмотрим уравнение (1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Ey

 

 

∫Edl = −∫

∂B

dS .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x +

∆x

x

l

S

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мысленно выделим в пространстве два

 

 

Bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

контур 1-2-3-4, лежащий в

 

 

 

 

 

 

∆x

 

 

 

 

 

 

контура:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости yx и контур 1-4-5-6, лежащий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в плоскости zx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распишем левую часть уравнения.

 

 

 

 

 

 

Циркуляцию вектора E по контуру можно представить в виде:

∫Edl = E y (x )l12

+ E y (x + ∆x )l34

cos π + E x l23

 

+ E x l41

= [E y (x )− E y (x + ∆x )]l12 .

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распишем правую часть уравнения (1). Поток вектора B через площадь, ограниченную

контуром 1-2-3-4, будет равен:

 

 

 

 

 

 

 

− ∫

∂B dS = −

 

∂

∫BdS =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

∂t

 

 

 

∂t

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1234

 

 

 

 

 

 

 

1234

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {Потокпоповерхности S1234 можетсоздать

 

 

Bz компонентатолькополя}=

= −

∂

 

B

S

 

cosπ =

 

∂Bz

l ∆x .

 

 

 

 

 

 

 

∂t

 

 

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

1234

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

Приравняем левую и правую части уравнения (1):

[Ey (x)− Ey (x + ∆x)]l12 = ∂∂Bz l12 ∆x . t

Разделив на ∆x, получим:

−

Ey (x + ∆x)− Ey (x)

=

∂B

z

 

−

∆Ey

=

∂B

z .

∆x

 

∂t

∆x

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Ey

= −

∂B

 

 

 

 

Пусть ∆x → 0. Тогда

 

 

 

z

 

.

 

 

(3)

∂x

 

∂t

 

 

Из уравнения (2): ∫Hdl = ∫∂D dS ,

 

 

 

 

l

 

 

 

 

S ∂t

 

 

 

 

 

 

 

для контура 1-4-5-6, проделав аналогичные выкладки, получим:

∂H

∂Dy

 

 

 

∂xz = −

 

 

.

(4)

∂t

При данных начальных условиях никаких других соотношений между E и B быть не может.

Возьмем производную от первого уравнения по x, а от второго – по времени t.

∂Ey

∂x ∂H z

∂x

= −

∂Bz ,

 

 

∂

 

; B = µµ0 H;

 

∂x

 

∂t

 

 

 

 

∂D

 

 

 

 

∂

 

= −

 

y

;

 

 

 

; D = εε0 E;

 

 

∂t

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

∂2 E

∂x2y = −µµ0

∂2 Hz = −εε0 ∂x∂t

∂2 Hz , ∂x∂t ∂2 Ey . ∂ 2 t

Исключив из системы уравнений ∂2 Hx , получим:

∂t2

 

∂2 E

y

= µεµ0ε0

∂2 E

y

 

. Это волновое уравнение для составляющей электрического поля

 

∂x2

 

∂t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

по оси y.

Взяв производную от первого уравнения по t, а от второго – по x, получим:

 

∂Ey

 

= −

∂B

z

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

∂t

 

 

∂t

 

 

 

 

∂2 H

=

µεµ0ε0

∂2 H

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

2 z

∂t

2 z

∂H

z

 

= −

∂Dy

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

∂t

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µεµ

0ε0 =

1

 

 

, v

2

=

 

 

 

1

 

 

 

=

c2

,

 

 

 

v2

 

 

µεµ0ε0

µε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

 

 

c

 

– скорость распространения электромагнитной волны.

 

 

 

 

εµ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение типа

∂2 F

=

1 ∂2 F

– волновое уравнение, решением которого является бе-

∂x2

v2

∂t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гущая волна.

Итак, мы видим, что электрическая и магнитная компоненты поля одновременно подчиняются одному и тому же волновому уравнению.

Вывод: Переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.

Решение волнового уравнения имеет вид:

ξ(x, t) = f1(x – vt) + f2(x + vt).

прямая волна обратная волна

Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

II. Монохроматическая волна как решение волнового уравнения

Пусть источник волны создает возмущение, изменяющееся по закону синуса или косинуса:

Ey(0, t) = E0y cos(ωt + φ0).

При этих начальных условиях решения волновых уравнений

иметь следующий вид:

∂2 Ey

∂x2

∂2 Hz∂ 2x

=

1

 

∂2 Ey

 

v2

∂t2

будут

 

=

1

∂2 Hz

v2

 

∂t2

 

 

 

(x,t)= E0 y

 

 

x

 

 

 

 

Ey

cos ω t −

 

 

 

+ϕ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

– уравнение бегущей волны (решение дано без обрат-

 

 

 

 

 

 

x

 

 

H

 

(x,t)= H

 

 

 

 

 

 

 

z

0 z

cos ω t −

 

 

 

 

+ϕ

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной волны);

E0y, H0z – амплитуда, v – фазовая скорость,

x – координата колеблющейся точки, φ0 – начальная фаза,

Ey, Hz – отклонения от положения равновесия.

Введем λ = vT, λ – длина волны, где T = ν1 = 2ωπ , ν = 2Tπ . Тогда решение можно пред-

ставить в виде:

Ey(x, t) = E0y cos(ωt – kx + φ0), Hz(x, t) = H0z cos(ωt – kx + φ0),

ω = 2Tπ – частота (характеристика временной периодичности); k = 2λπ – волновое чис-

ло (характеристика пространственной периодичности).

III.Основные свойства электромагнитных волн

1.Вектор E H и оба они перпендикулярны скорости распространения волны. Электромагнитные волны – поперечные волны.

 

y

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

x

v

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

2. Из

волнового уравнения

скорость распространения электромагнитной волны

v =

1

 

 

 

 

εµε0 µ0 .

 

 

 

Для вакуума ε = 1, µ = 1: c =

1

= 300000

км .

 

 

 

ε0 µ0

 

с

Для среды v =

c .

 

 

 

 

 

εµ

 

 

 

n = εµ v = c/n, где n – коэффициент преломления.

Если ε или µ зависит от частоты, то наблюдается явление дисперсии, т. е. зависимости скорости распространения электромагнитной волны от длины волны или от частоты. В оптике это приводит к разложению белого света в спектр.

Если параллельный пучок света (фронт волны которого представляет собой плоскость) направить на прозрачную призму, то разные участки этого фронта волны проходят раз-

ные пути внутри призмы и, так как скорость волны в веществе v = nc , начинают отста-

вать друг от друга по фазе. В результате фронт волны разворачивается и, следовательно, луч света отклоняется к основанию призмы. Для разных длин волн это отклонение будет разным.

ct

ct

 

 

 

c

t

 

 

 

n

волновая поверхность (фронт волны)

3.Из волнового уравнения и уравнения бегущей волны можно получить связь между векторами E и H:

εε0 E = µµ0 H – это означает, что E и H колеблются синфазно, одновременно дости-

гая минимума и максимума.

4. Распространяясь, электромагнитная волна переносит энергию.

Энергетическая характеристика электромагнитной волны: вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (вектор Умова-Пойнтинга) P.

P = dtdSdW – плотность потока энергии численно равна энергии, которую волна перено-

сит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости рас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространения волны.

 

Скорость – vdt

 

 

 

 

 

Выберем в пространстве малый объем, в преде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS

лах которого поле можно считать однородным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объем dV = dS vdt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Энергия внутри объема dV: dW = wdV.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плотность энергии

w =

(DE)

+

(BH)

=

εε0 E 2

+

µµ0 H 2

= {

εε0 E = µµ0 H}= εε0 E 2 = { εε0 E = µµ0 H}=

2

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

= εε0 E µµ0 H = 1v EH , dW = 1v EHdS vdt ,

P = dtdSdW = EH , P = EH.

 

 

P = [EH]

– вектор Умова-Пойнтинга.

 

 

E

 

P – мгновенная характеристика электромагнитной волны.

 

 

Экспериментально мы наблюдаем усредненное значение плот-

P

v ности потока энергии.

 

 

H

 

P t = I – интенсивность электромагнитной волны.

 

 

 

 

 

среднее значение по времени

P

 

I = EH t = { εε0 E = µµ0 H}=

εε0 E 2 .

 

 

 

 

 

 

µµ0

t

 

 

 

 

 

Для плоской электромагнитной волны:

t

 

1

εε0 E02 ,

 

, где E02 – квадрат амплитуды.

I =

I ~ E02

 

2

µµ0

 

 

 

 

 

Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды этой волны.

IV. Опыты Герца

L 1

A

 

A

B C I

 

 

 

2

 

t

B

 

 

 

R

Закрытый колебательный контур В закрытом контуре вся энергия остается внутри контура.

Если пластины конденсатора развести, то часть поля, а с ним и энергия, "уходят" в пространство.

Открытый колебательный контур

 

 

 

A

 

A

 

L

E

1

ИВН

искра

 

 

 

 

2

 

B

 

B

 

 

Полностью "раскроем" пластины конденсатора A и B.

Все электрическое поле оказывается "вывернутым наружу". В пространстве возникает бегущая электромагнитная волна.

Аналогичный вектор, замкнутый на лампочку, выполняет роль приемника. В открытом колебательном контуре роль ключа выполняет искра.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

(лектор Садиков Б.А.)

§ 1. Электрический ток проводимости

Электрическим током проводимости называют упорядоченное движение электрических зарядов.

Упорядоченное движение зарядов, как это было уже установлено в электростатике, получается, например, в проводнике, который соединяет заряженное тело А с незаряженным В (рис. 1а). Однако это движение зарядов практически прекратится в момент выравнивания потенциалов обоих тел, после чего заряды как-то распределятся между телами. Существенно отметить, что заряд, оказавшийся на проводнике, соединяющем тела, распределится вдоль проводника равномерно.

А

В

а)

б)

Рис. 1.

Упорядоченное движение будет существовать также в проводнике, соединяющем разноименно заряженные тела или пластины заряженного конденсатора (рис. 16). В этом случае движение сопровождается нейтрализацией зарядов, находившихся на пластинах конденсатора. Из этих примеров видно, что движение зарядов, то есть электрический ток в проводнике, возможно при наличии разности потенциалов, то есть тогда, когда в проводнике существует электрическое поле. Но в рассмотренных примерах ток не может быть длительным, так как в процессе перемещения зарядов потенциалы тел выравниваются, а электрическое поле в проводнике исчезает. Следовательно, для получения тока необходимо как-то поддерживать разность потенциалов между телами. Для этого можно было бы непрерывно заряжать тело А и разряжать тело В, или заряжать тело А положительным электричеством, а тело В — отрицательным. Такую заряд-

ку тел вообще можно осуществить с помощью других заряженных тел. Далее, можно было бы тело А (рис. 1а) непрерывно заряжать от электрической машины, а тело В заземлить для того, чтобы оно не могло зарядиться до потенциала электростатических машин. Практически более удобным оказался способ, заключающийся в обратном переносе зарядов от тела В к телу А. Но под действием сил того же электростатического поля обратный перенос зарядов невозможен, так как потенциал тела В всегда меньше (или равен) потенциала А.

Следовательно, такой перенос зарядов может быть совершен только с помощью сил неэлектростатического происхождения. Эти силы получили название сторонних сил, а их источники — сторонних источников. Так как сторонние источники переносят заряд от тела с меньшим потенциалом к телу с большим потенциалом, то они должны совершать работу, а следовательно, должны обладать энергией. Сторонними источниками являются электростатические машины, гальванические элементы, аккумуляторы, динамомашины и т. п.

Из изложенного вытекает, что для получения электрического тока проводимости в замкнутой цепи необходим сторонний источник неэлектростатического происхождения. На рис. 2а дана схема электрической цепи, в которой находится сторонний источник е. Здесь положительные заряды от точки А проводника переходят к точке В под действием электростатических сил поля, а от точки В к точке А под действием сторонних сил, действующих в источнике.

Действие электростатических и сторонних сил в замкнутой цепи можно представить на такой модели. Возьмем винтообразную наклонную плоскость (рис. 2б). Если вверху плоскости помещать шарики, то под действием силы тяжести они будут скатываться к основанию, это иллюстрирует движение зарядов под действием электростатических сил. Но для обеспечения непрерывного движения шариков последние должны быть подняты с основания на вершину плоскости. Такое перемещение возможно только под

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности