МЭИ(ТУ) Физика

1.28. Вдоль оси тонкого* равномерно заряженного кольца (Q = 2,4 · 10-8 Кл) радиу- са r = 15 см расположен тонкий стержень так, что один из его концов совпадает с цен- тром кольца. Длина стержня l = 5 см, он равномерно заряжен с линейной плотностью

τ= 7 · 10-7 Кл/м.

1.Найти силу, с которой поле действует на стержень.

2.Что изменится, если заряд Q будет распределен по кольцу неравномерно?

1.29.По сферической поверхности радиуса r0 = 10 см равномерно распределен за- ряд Q1 = 0,18 мкКл. На продолжении радиуса этой поверхности расположен тонкий* стержень длиной l = 10 см, по которому равномерно распределен заряд Q2 = 3,8 нКл. Минимальное расстояние от стержня до поверхности шара h = 10 см.

Пренебрегая перераспределением заряда на обоих телах, найти силу, с которой по- ле действует на стержень.

1.30.Большая* вертикально расположенная пластина равномерно заряжена с по- верхностной плотностью σ = 7 · 10-8 Кл/м2. Вдали от краев пластины к ней прикреплена шелковая нить с однородным стержнем на конце.

Найти заряд стержня, если нить образует с плоскостью пластины угол α = 30°. Нить привязана к центру стержня, масса которого m = 2,0 г.

Ответы

Ex Ex

Рис. 1.6. а, б, в.

2. x0/l ≥ (1 – δ)/δ = 19.

1.3.1. Q = τ0l/2 = 4,0 · 10-10 Кл;

1.5.E = 2πετ00r sin 2lr = 17 НКл .

1.8. 1. Ex = 4πετ 0a (sinα1 + sinα2 )= 0,6 НКл ,

Ey = 4πετ 0a (cosα2 - cosα1 ) = 0,16 НКл ,

ось x перпендикулярна стержню, ось y направлена вдоль стержня; 2. а) l = a(tgα1 + tgα2 )= 0,24 м ,

оси x и y, как указано выше;

3. Ex = 4πετ 0a = 0,9 НКл , Ey = 0 .

2. δ (z1 )= (1+ r02 z2 )−12 = 0,099 ;

3. δ (z2 )=1- 2rz22 [1- (1+ r02 z2 )−1 2 ]= 0,076 .

0

4. См. рис. 1.8.

вектор E направлен по оси цилиндра.

1.11.а) N = πr2E = 2,0 В× м ;

б) N = abEsinα = 0,21В× м .

1.12.а) N = 21ε0 πσr2 sinα = 1,0 В× м ; б) N = 0 .

2. См. рис. 1.9.

1.14.1. E = 2πετ 0r = 4,0 ×105 и 7,0 ×104 НКл ; 2. См. рис. 1.10.

1.15.1. E1 = 0 , E2 = σr0 = 200 Н Кл ;

ε0r2

2.См. рис. 1.11.

1.16.1. E1 = E2 = 2σε0 = 340 НКл ;

2.См. рис. 1.12 а.

1.17.E = Ex ; Ex º E ; E3 = -E1 ;

1.а) E1 = - 3σ1 = -340 Н Кл , E2 = - σ1 = -110 Н Кл ; 2ε0 2ε0

2. См. рис. 1.12 б, в, г, д.

1.18. 1. F'= σ1σ2 =1,7 ×10−5 Н м2 ; 2ε0

2. A'= 21ε0 σ1σ2Dl = 5 ×10−8 Джм2 .

1.19.1. E = Ex ; Ex º E ;

E1 = -E4 = 2ε10S (- Q1 + Q2 - Q3 )= -7 ×104 НКл ;

E2 = 0 ; E3 = 2ε10S (Q1 - Q2 - Q3 )= -1,2 ×105 НКл . 2. См. рис. 1.13.

2. ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Потенциал, создаваемый точечным зарядом Q в точке A, находящейся на расстоя-

нии r от этого заряда, равен ϕ(A) = 4πεQ0r , если положить потенциал на бесконечности

равным нулю: φ(∞) = 0.

Потенциал, создаваемый в точке A произвольным зарядом, можно найти на основа- нии принципа суперпозиции (см. пример 2.1).

Зная распределение потенциала φ(x, y, z), можно найти составляющие напряженно- сти, пользуясь дифференциальной связью потенциала, и напряженности (см. пример

2.2).

Потенциал и разность потенциалов можно рассчитать, зная напряженность элек- тростатического поля, так как они взаимосвязаны.

Примеры решения задач

Пример 2.1. По тонкому* стержню, длиной l = 20 см равномерно распределен за- ряд Q = l,0 мкКл. Найти потенциал в точке A, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 = 10 см от его ближайшего конца (рис. 2.1). Пользуясь дифференциаль- ной связью напряженности и потенциала, найти напряженность электрического поля в точке A.

Рис. 2.1.

Наиболее экономно в данном случае найти потенциал φ(A), исходя из принципа су-

перпозиции потенциала: ϕ(A) = òdϕ(A). Введем ось x, как на рис. 2.1. Мысленно раз-

по Q

делим стержень на столь малые участки dx, что сосредоточенный на участке dx заряд dQ можно считать точечным. Поскольку заряд распределен по стержню равномерно, то

r = l + x0 – x.

Потенциал, создаваемый всеми зарядами стержня, найдем интегрированием:

Учтем, что расстояние r от произвольного заряда dQ до точки A различно, и перей- дем к интегрированию по r (dr = – dx, пределы интегрирования по r примут значения при x = 0 r = l + x0, при x = l r = x0) (рис. 2.1). Тогда

Конечно, можно найти φ(A) из интегральной связи напряженности и потенциала

ϕ(A) = ∞òE x dx , но для этого нужно сначала вычислить Ex(x) (тоже с помощью принципа

A

суперпозиции), этот путь длиннее.

При x >> l заряд стержня можно считать точечным, действительно, в этом случае

Отметим, что это выражение для Ex справедливо только для точки на продолжении стержня.

Пример 2.2. Найти потенциал как функцию расстояния от центра двух концентри- ческих сфер радиусами r1 = 10 см и r2 = 20 см, равномерно заряженных зарядами Q1 = 1,0 · 10-6 Кл и Q2 = – 3,0 · 10-6 Кл. Начало отсчета потенциала принять в центре

(φ(0) = 0).

Расчет потенциала из принципа суперпозиции ϕ = òdϕ представляет здесь мате-

по Q

матически сложную задачу. Высокая симметрия заряда позволяет легко рассчитать на- пряженность поля и воспользоваться связью потенциала и напряженности в интеграль-

ной форме

r0

ϕ(r) = ϕ(r)-ϕ(r0 ) = òEl dl , ϕ(r0 ) = 0 .

r

5 Er,

10 Н/Кл

10

5

Вычисляя потенциал φ(r), отметим, что соответствующий интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой Er(r) (рис. 2.2).

Математическое выражение для потенциала (как и Er(r)) будет иметь для разных

На рис. 2.3 изображен график φ(r) при заданных значениях r1, r2, Q1, Q2. Потенциал бесконечно удаленных точек положительный, это означает, что при переносе единич- ного заряда к центру поле совершает положительную работу (действительно, dr < 0,

Er < 0, dA < 0).

Задачи

2.1. Два точечных заряда расположены на оси x декартовой системы координат. За- ряд Q1 = 4,0 · 10-7 Кл находится в точке x1 = 0, заряд Q2 = – 2,0 · 10-7 Кл – в точке x2 = – 70 мм.

1.Найти потенциал: а) в точке с координатами x = 20 мм, y = 50 мм; б) в точке, в которой результирующая напряженность поля E = 0 (φ(∞) = 0).

2.Построить график зависимости потенциала φ от координаты x для точек, распо- ложенных вдоль оси абсцисс.

2.2.По тонкому* стержню длиной l равномерно распределен заряд Q. Найти по- тенциал в точке, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 от его ближайше- го конца.

2.3.Тонкий* стержень длиной l = 10 см заряжен положительным зарядом с линей-

ной плотностью τ = τ0 xl , где τ0 =8 нКл/м (рис. 1.5). Найти потенциал в точке, находя-

щейся на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его правого конца.

2.4. По тонкому* полукольцу радиуса r = 80 мм равномерно распределен заряд

Q= 7 · 10-8 Кл.

1.Найти потенциал в центре полукольца.

2.Как изменится ответ, если полукольцо заряжено неравномерно?

2.5.По тонкому* полукольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q. Из центра полукольца восстановлен перпендикуляр к плоскости полукольца. Ось z направлена по перпендикуляру, начало координат в центре полукольца.

1. Найти потенциал φ и проекцию вектора напряженности Ez как функцию коорди- наты z точек, лежащих на оси z.

2. Что изменится, если заряд Q распределить по полукольцу неравномерно?

2.6.По тонкому* кольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q.

1.Найти потенциал поля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии z от его центра.

2.Построить график зависимости потенциала φ от координаты z точек, лежащих на оси кольца (ось z направлена по оси кольца, начало координат совпадает с его цен- тром), считая: а) φ = 0 при z = 0; б) φ = 0 при z → ∞.

3.Найти напряженность поля в точках, лежащих на оси, дифференциальную связь между φ и E.

4.Что изменится в решении задачи, если заряд будет распределен по кольцу нерав- номерно?