МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
§ 3. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
Пусть прямолинейный проводник длиной l с током I движется в магнитном поле. Разложим вектор B на три составляющие, одна из которых параллельна току (B||), другая параллельна оси x (Bx), вдоль которой движется проводник, а третья перпендикулярна плоскости движения проводника (B ). Найдем, под действием какой из этих составляющих проводник сможет двигаться вдоль оси x.
|
|
|
|
B |
B = B|| + Bx + B . |
|||
|
|
|
|
I |
B|| параллельно току I B перпендикулярно плоскости |
|||
|
l |
|
|
|
||||
|
|
|
в проводнике l |
движения проводника |
||||
I |
|
∆x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
I |
B|| |
I Bx |
l |
I |
|||
|
|
Fx |
||||||
|
|
|
|
FА |
||||
FА = 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
B|| не создает силы. Bx прижимает |
Fx = IlB |
|||||||
|
|
|
|
проводник вниз. |
Только B заставляет |
|||
|
|
|
|
|
|
|
проводник двигаться вдоль оси x. |
|
Тогда работа по перемещению проводника с током на расстояние ∆x будет равна |
||||||||
∆A = Fx∆x = IB l∆x = IB ∆S. |
|
|
||||||
|
|
|
|
= ∆S |
= ∆Φ |
|
|
|
∆A = I∆Φ, где ∆Φ – магнитный поток, ометаемый при перемещении проводника. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кон. |
|
|
|
|
|
, |
A = ∫IdΦ |
. |
|
|
|
||
dA = IdΦ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
нач. |
|
|
|
|
Для |
|
|
|
|
|
проводника произвольной формы аналогично получим: |
||
B |
|
|
|
Φ |
A = IΦ, Φ – поток вектора B через поверхность, очерчиваемую |
|||
|
I |
проводником в процессе движения. |
||||||
|
нач. |
кон. |
||||||
|
Движение контура с током в магнитном поле |
|||||||
Возьмем замкнутый проводник произвольной формы и поместим его в магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости движения проводника (другие составляющие вектора B не могут заставить проводник двигаться). Разобьем контур на два участка – l1 и l2. Тогда работа по перемещению контура в целом будет равна сумме
§ 4. Явление электромагнитной индукции
1831 г. Фарадей Если в катушку, замкнутую на микроамперметр, поместить магнит, то никакого тока в
цепи не возникнет. Электрический ток возникает только в том случае, если магнит перемещается относительно катушки. В ряде опытов Фарадей показал, что индуцированный (наведенный) ток возникает при изменении магнитного потока, пронизывающего витки катушки.
|
|
B |
|
∂B |
|
|
|
|
|
|
> 0 |
|
|
|
|
∂t |
|
I |
N |
|
B увеличивается. |
||
|
i – индукционный ток. |
||||
|
|
I |
|||
|
S |
|
|
|
|
|
Bсобств. i инд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно Фарадею, изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, приводит к появлению в последнем индукционного тока такого направления, при котором он препятствует причине, вызывающей этот ток.
Iинд |
E инд = − |
dΦ |
|
– формула Фарадея-Максвелла. |
|
dt |
|||
|
|
|
||
|
ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взя- |
|||
той с обратным знаком. |
||||
|
I. Вывод формулы Фарадея-Максвелла из закона сохранения |
|||
энергии
Поместим проводник с током I в магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости движения проводника. Тогда энергия батареи (Eбатdq) расходуется
|
|
на выполнение механической работы (δAмех = IdΦ) и часть энер- |
B |
|
гии переходит в тепло. |
E бат |
v |
Aбатареи = Aмех + Q. |
|
||
|
|
Eбатdq = IdΦ + I2Rdt, |
= Idt |
время |
|
EбатIdt = IdΦ + I2Rdt, |
|
|
Eбатdt = dΦ + IRdt, |
|
|
|
E бат − |
dΦ |
|
срав.сз-номОма |
∑E бат |
|
|
dt |
|
||||
I = |
|
|
I = |
. |
||
R |
|
R |
||||
Если сравнить с законом Ома для замкнутой цепи, то мы видим, что в формуле присут-
ствует ЭДС батареи и величина ddtΦ , которая также выполняет роль ЭДС. Очевидно,
что это и есть ЭДС индукции.
E инд = − ddtΦ , ч. т. д.
II. Вывод формулы Фарадея-Максвелла из электронных представлений
Пусть проводник длиной l движется в магнитном поле, вектор индукции B которого перпендикулярен плоскости движения проводника.
B |
b |
На заряды, входящие в состав движущегося проводника, действует |
qE |
|
сила Лоренца. Под действием этой силы происходит перемещение |
FЛ |
v |
зарядов до тех пор, пока возникшее электрическое поле не компен- |
E |
||
a |
|
сирует эту силу. |
В равновесном состоянии fЛ = –Fэл. qvB = qE E = vB,
φa – φb = El = Bvl.
Закон Ома для участка ab: IR = (φa – φb) + Eбат, так как I = 0, а Eбат = Eинд, то
Eинд = (φa – φb) = –Bvl,
|Eинд| = B vl.
Представим эту формулу несколько в ином виде – через изменение магнитного потока.
l |
|
E |
= −Blv = −Bl |
dx |
= −B |
dS |
= − |
dΦ |
, ч. т. д. |
|
S |
v |
dt |
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции
Фарадей видел в явлении электромагнитной индукции возникновение ин- |
|
дукционного тока. |
|
Согласно Максвеллу, любое изменяющееся магнитное поле создает в ок- |
|
ружающем пространстве вихревое электрическое поле. Если поместить в |
iинд |
него замкнутый контур, то по нему потечет индукционный ток. |
|
Максвелл видел сущность электромагнитной индукции в возбуждении электрического поля. Проводник есть лишь средство выявления этого поля.
B |
|
∂B |
> 0 , |
|
|
|
∂t |
||||
|
|
|
|
|
|
E |
E инд = − |
dΦ |
. |
||
|
|||||
|
|
|
|
dt |
|
Запишем эту формулу иначе. Т. к. ЭДС – это работа сил поля по замкнутому контуру,
то ЭДС можно представить в виде ∫Eстор. силdl , E – вихревое электрическое поле. Роль
l
сторонних сил будет выполнять вихревое электрическое поле.
С другой стороны, Φ = ∫BdS и, следовательно, |
dΦ = |
d |
∫BdS . |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
S |
|
|||
Тогда вместо формулы E инд |
= − |
dΦ |
можем записать ее аналог: |
|||||||||||||||||||
dt |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫Eвихрdl = − d |
∫BdS . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
l |
dt |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вихревоеполе ∫E |
вихр |
dl = −∫ |
∂B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂t |
dS |
∫(E |
вихр |
+ E |
кул |
)dl = −∫ |
∂B |
dS . |
||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
S |
|
|
||||||||||||
|
Кулоновскоеполе |
∫ |
E |
кул |
dl |
= 0 |
|
|
|
|
∂t |
|||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
S |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем под электрическим полем понимать сумму вихревого и кулоновского (электро- |
||
|
|
статического) поля. |
E = Eвихр + Eкул. ∫Edl = −∫∂B dS |
E инд = − dΦ . |
|
l |
S ∂t |
dt |
§ 5. Индуктивность. Явление самоиндукции и взаимной индукции
Рассмотрим контур с током I. Они создает магнитное поле, все сило- I S Bсобств вые линии которого проходят через плоскость, ограниченную конту-
ром. Введем понятие собственного магнитного потока.
Φсобств = ∫BсобствdS .
S
Т. к. поле пропорционально току (Bсобств ~ I), то и Φ пропорционально току (Φсобств ~ I). Коэффициент пропорциональности обозначим буквой L:
Φсобств = LI, L – индуктивность контура.
Метод расчета L: |
L = |
Φ |
; [1 Гн] (СИ); |
Вб . |
|
|
I |
|
А |
Индуктивность определяется геометрическими параметрами контура и магнитными свойствами среды. (Аналогично тому, что мы знаем о емкости.)
Пример. Индуктивность длинного соленоида
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
B = µ |
I |
N |
= µ |
In , n = |
N |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
0 |
|
l |
0 |
|
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φчерез1виток |
= SB = µ0 I |
N |
S . |
||||||||||
|
|
Nвитков |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||||||||||||
Потокосцепление Φ = Φ1 виток N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ = µ |
I |
N 2 |
S |
L |
= µ |
|
N |
2 |
S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l |
0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L = µ0 |
|
lS = µ0 n V , |
L = |
µ0n |
V |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I. Явление самоиндукции
Рассмотрим, что будет происходить в контуре при изменении тока I. Изменение тока вызывает изменение магнитного поле контура, что приведет к изменению собственного магнитного потока. Контур "забывает", что меняется его собственный поток, и реагирует на это изменение как на изменение внешнего магнитного потока – возникает ЭДС индукции, которую мы называем ЭДС самоиндукции. (По существу, изменяющееся магнитное поле, не важно, что оно собственное, создает вихревое электрическое поле.)
I |
∂I |
> 0 |
Bсобств ∂t |
iинд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение I изменение B изменение Φсобств. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E самоинд |
= − |
dΦсобств |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Φсобств = LI E самоинд |
= − |
d |
(LI ); E самоинд = −L |
dI |
− I |
dL |
. |
||||||||||||||
dt |
dt |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||
Если L = const (контур не деформируется или µ не зависит от I), то: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E самоинд |
= −L |
dI |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
|
dL dI |
= |
dL |
, то в общем случае |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dI dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂L |
dI |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
E самоинд |
= − L |
+ |
|
∂I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. ЭДС взаимной индукции |
||||
I |
|
|
|
B1 |
|
|
II |
|
Пусть по контуру I течет ток I1. Тогда магнитные силовые ли- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нии поля, созданного контуром I, частично будут пронизывать |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I1 |
контур II. Очевидно, что магнитный поток контура II пропор- |
|
ционален току контура I, т. е. I1.
I1 B1 Φ21,
Φ21 ~ I1,
Φ21 = L21I1.
Коэффициент L21 зависит от геометрии.
|
|
L21 |
= 1 [Гн] – коэффициент взаимной индукции. |
||
I |
II |
L12 |
= L21, |
||
|
I2 |
Φ12 = L12I2, |
|||
|
B2 |
||||
|
|
L |
= |
Φ12 |
. |
|
|
|
|||
|
|
12 |
I2 |
||
|
|
|
|
||
Коэффициент взаимной индукции – геометрический параметр, который определяется формой и взаимным расположением рамок, по которым протекает электрический ток.
E 2 = − dΦdt21 = − dtd (L21I1 ), E 2 = −L21 dIdt1 − I1 dLdt21 .
III. Энергия контура с током. Плотность энергии
Магнитное поле катушки несет в себе запас энергии. Если в катушке соз-
2 1 дать ток (ключ в положении 1), а затем перебросить ключ в положение 2,
то лампа вспыхивает.
I
t (время)
запас энергии Найдем запас энергии по работе, которую совершает ЭДС самоиндукции при перемещении заряда ∆q по цепи:
∆W |
L |
= ∆A |
|
= E |
э. д. с. самоиндукции |
∆q = −L ∆I |
I∆t , |
||||||
|
|
э. д. с. самоиндукции |
|
|
|
|
∆t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WL = ∫0 |
− LdI I = − L |
I 2 |
|
|
0 |
= L |
I 2 |
. Это и сесть энергия катушки с током I. |
|||||
|
|||||||||||||
2 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
I |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
WL = LI22 ; т. к. LI = Φсобств, то WL = Φ2I . (В электростатике WL = QU2 .)
Плотность энергии магнитного поля Выразим энергию катушки с током через параметры, характеризующие магнитное поле внутри этой катушки:
|
|
|
|
|
|
|
n = |
|
N |
- плотность намотки. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||
I |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = µ0 In |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
N 2 |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
L |
= µ0 |
|
|
S = µ0 n V |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь V – объем, занимаемый полем) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
WL = |
LI |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WL = |
µ0 n2V |
B2 |
= |
B2 |
V . |
|
|
|
|
|
|
||
|
2µ0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 µ0 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как и в электростатике, можно ввести понятие плотности энергии.
|
W |
|
B2 |
B2 |
|
|
|
|||
|
|
wm = |
(BH) |
|
||||||
Плотность энергии: w = |
|
= |
|
; |
|
= H |
|
|
. |
|
V |
2µ0 |
µ0 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W = ∫(BH)dV .
V 2
В общем случае, если у нас имеется электромагнитное поле, являющееся единым объектом, плотность его энергии можно найти по формуле:
E |
|
|
|
|
. |
wэл.-магн. поля = |
(DE) |
+ |
(BH) |
||
Электромагнитное B |
|
2 |
|
2 |
|
поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
