МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
+
поляризационные заряды
Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то молекулы либо разворачиваются,
SТакой образец эквивалентен одному "большому диполю", плечо которого H, а заряд ± σS. Его дипольный момент будет равен
H σSH. Тогда сумма дипольных моментов всех молекул будет равна дипольному моменту "большого диполя". Объем же, занимаемый этими молекулами,
равен SH. Отсюда получим |
|
∑Pe |
|
|
|
(σS )H |
=σ , P = σ |
Кл |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||
|
∆V |
SH |
м2 |
|||||||
|
|
|
= P |
|
Итак, вектор поляризации диэлектрика в однородном поле численно равен плотности |
||||
поляризационных зарядов на торцах образца. |
||||
2. Диэлектрический образец в форме косоугольного цилиндра: |
||||
E |
|
|
Вновь помещаем диэлектрик в поле. Он поляризуется, при- |
|
|
α |
|
чем внутри он по-прежнему электронейтрален, а на торцах |
|
S |
P |
появляются нескомпенсированные заряды. Такой образец |
||
|
||||
также эквивалентен "большому диполю", плечо которого H, заряд σS, а дипольный момент σSH. Объем, не занимаемый
αα
P молекулами, будет находиться по формуле V = SH cos α.
H |
P = |
|
∑Pe |
|
|
= |
(σS )H |
= |
σ |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∆V |
HS cosα |
cosα |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P cos α = σ, P cos α = Pn, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn = σвне образца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция вектора поляризации на направление нормали к поверхности образца численно равна поверхностной плотности поляризационных зарядов в данной точке образца.
б) Неоднородное поле
Проведем внутри диэлектрика, находящегося в электрическом поле, произвольную замкнутую поверхность S. Эта поверхность разрежет диполи молекул. Подсчитаем число связанных зарядов, находящихся внутри этой поверхности.
Диэлектрик
|
|
E |
∑q связ. внутри S |
= ∑(ρiсвяз ∆V )i + ∑(σ iсвяз. внутри S ∆S i |
)= |
|||||
|
|
S |
= {σ связ. внутри S |
= −σ внеS }= ∑(σ iвнеS ∆S i )= {σ внеS = Pn }= |
||||||
P |
|
∆S |
= − |
∑ |
(P ∆S )= {P = P cosα}= − |
∑ |
(P∆S) − |
∫ |
(PdS). |
|
α |
|
n |
n |
при ∆S →0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
∆S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(PdS)= −∑qсвяз.внутриS – поток вектора поляризации сквозь произвольную замкнутую
S
поверхность S определяется алгебраической суммой связанных зарядов, охваченных этой поверхностью.
Вывод теоремы Остроградского-Гаусса для электростатического поля в веществе Под напряженностью электростатического поля в веществе мы будем подразумевать напряженность усредненного поля, созданного как свободными зарядами, так и зарядами, входящими в состав молекул.
Тогда теореме Остроградского-Гаусса для вектора E в веществе записывается следующим образом:
|
свободных |
|
|
связанных |
|
||
∫EdS = |
∑Qохвач. S |
|
+ ∑qохвач. |
S |
. не поддается прямому расчету |
||
|
ε0 |
|
|
|
|||
S |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
связанных |
= −∫(PdS). |
||
С другой стороны ∑qохвач. S |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
свободных |
− ∫(PdS) |
|
||||
∫ε0 (EdS)= ∑Qохвач. S |
|
||||||
S |
|
|
|
|
S |
|
|
одна и та же поверхность |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свобод. |
– теорема Остроградского-Гаусса для электростатического |
|||
∫ε0 (E + P)dS = ∑Qохвач. S |
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
поля в веществе.
Введем новую силовую характеристику поля.
D = ε0E + P – вектор электрического смещения (вектор электрической индукции).
∫(DdS)= ∑Qохвачсвобод. S. – теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в
S
веществе; Qсвобод – заряды, нарушающие электрическую нейтральность вещества. Поток вектора смещения через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.
Замечание. Из ∫(PdS)= 0 не следует, что P = 0.
S
Связь между векторами E и D
1.В любом случае справедливо соотношение D = ε0E + P.
2.Изотропный диэлектрик. (Изотропными называются диэлектрики, свойства которых по всем направлениям одинаковы.)
Для изотропного диэлектрика:
P ~ E (P ↑↑ E),
P = ε0κE, κ – диэлектрическая восприимчивость вещества,
D = ε0E + P = ε0E + ε0κE = (1 + κ) ε0E.
Обозначим 1 + κ = ε, ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества. D = εε0E (D ↑↑ E) – для изотропного диэлектрика.
3. Анизотропный диэлектрик.
В анизотропных диэлектриках вектор D не параллелен вектору E.
D = ε0 |
εxx |
εxy |
εxz |
E , D ↑↑ E. |
D |
|
εyx |
εyy |
εyz |
||||
E |
||||||
|
εzx |
εzy |
εzz |
|
||
|
|
|
||||
|
1442443 |
|
|
|||
тензор диэлектрической проницаемости
Пример. Поле в плоской диэлектрической пластине.
Поместим пластину из диэлектрика в однородное электрическое поле, вектор E которого перпендикулярен боковой плоскости пластины. При поляризации на боковых поверхностях пластины появляются поляризационные заряды, которые создают собственное поле, полностью локализованное внутри пластины.
+σ |
E0 -σ пластина (диэлектрик) |
|
E' – поле поляризационных зарядов |
|
E0 – внешнее поле |
поляризационные заряды По принципу суперпозиции полное поле внутри пластины будет равно сумме внутреннего E' и внешнего E0 полей.
Eдиэл = E0 + E',
Eдиэл = E0 – E'; т. к. E' ~ Eдиэл, то для изотропного диэлектрика E' = κEдиэл. диэлектрическая восприимчивость
Eдиэл = E0 – κEдиэл,
Eдиэл = 1E+0κ = Eε0 . В этом примере ε показывает, во сколько раз поле в диэлектрике ос-
лаблено по сравнению с внешним полем.
∫Edl = −E1τ l12 + ∫Edl + E2τ l34 + ∫Edl = (− E1τ + E2τ )l12(34) = 0 .
|
|
l |
|
|
|
|
l23 |
l41 |
|
|
|
контур |
0, если l23 → 0 |
0, если l41 → 0 |
|||||
направление обхода |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
– тангенциальная составляющая вектора E не претерпевает скачка на границе |
||||
|
E1τ = E2τ |
||||||||
|
раздела двух сред. |
|
|
||||||
|
D = εε0E, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D1τ |
= |
ε1 |
– тангенциальная составляющая вектора D претерпевает скачок. |
||||
|
|
D2τ |
ε2 |
|
|||||
II. Проводники
Поведение проводника в электрическом поле определяется наличием огромного количества свободных зарядов, которые могут легко перемещаться под действием сколь угодно малого поля на любые расстояния.
Вметаллах свободные заряды – электроны, n =1028 ÷1029 м13 .
Вэлектростатическом случае в проводнике наступает равновесное состояние, из которого вытекают следующие свойства:
1.Поле внутри проводника равно нулю (Eвнутр = 0). (В противном случае будет течь электрический ток, пока E не станет равным нулю.)
2.Вектор напряженности поверхности проводника.
Eτ |
= 0 |
. (Если Eτ ≠ 0, то по поверхности потечет ток, пока Eτ не станет рав- |
Eпов. = |
= E |
|
En |
|
ным нулю.)
3. Некомпенсированный заряд располагается по поверхности проводника. Доказательство: Проведем внутри проводника поверхность Гаусса и запишем теорему Гаусса.
|
некомп. |
= ∫(DdS)= 0 . |
|
|
|
S проводника ∑Qохвач. SГаусса |
|
|
|
||
|
|
SГаусса |
|
|
|
S Гаусса |
Т. к. D внутри проводника = 0, |
некомп. |
= 0 . |
||
то ∑Qохвач. SГаусса |
|||||
Пусть SГаусса |
→ Sпроводника |
некомп. |
= |
0 некомпенсированные |
|
∑Qохвач. Sпровод. |
|||||
заряды располагаются на внешней поверхности проводника, ч. т. д.
4.Любые точки внутри и на поверхности проводника имеют одинаковые значения потенциала. Поверхности проводника является эквипотенциальной.
Доказательство: |
1 |
|
ϕ1 −ϕ2 = |
∫Edl = 0 φ1 = φ2, ч. т. д. |
|
lвнутри |
2 |
|
lвнутрипроводника = 0 |
5. Напряженность поля у поверхности заряженного проводника находится по формуле:
|
Eτ = 0 |
|
|||
Eпов. = |
E |
|
= |
σ |
, |
|
n |
εε0 |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
σ – поверхностная плотность заряда, ε – диэлектрическая проницаемость среды, приникающей к поверхности проводника.
|
Доказательство: |
|
σ |
Проведем гауссову поверхность в виде цилиндра, перпендикулярно- |
|
h SГауссаn1 |
го поверхности проводника. |
|
проводник |
Запишем теорему Гаусса и учтем, что внутри проводника поле рав- |
|
но нулю (D2n = 0), а силовые линии вне проводника параллельны |
||
|
боковой поверхности цилиндра.
∫(DdS)= (σSторца ),
SГаусса
D1n Sторца + ∫DdS + D2n Sторца = (σSторца )
Sбок
0, 0
если h → 0
D1nSторца = σSторца D = σ En = εεσ0 , ч. т. д.
6.В неэлектростатическом случае поле внутри проводника ≠ 0. Под действием этого поля течет ток, плотность которого j = λE – закон Ома в дифференциальной форме.
λ – проводимость; λ = ρ1 , ρ – удельное сопротивление.
7.Обобщенный закон Ома для участка цепи.
1 dl |
2 |
I = |
∫jdS . |
dS = ndS |
E |
|
j |
Sсечен. проводника |
j |
|
|
|
Ток на участке 1-2 определяется действием как кулоновского поля, так и поля сторонних сил, которое мы будем характеризовать вектором Eстор.
j = λE; E = Eкул + Eстор, j = λ(Eкул + Eстор);
Вместо λ подставим 1/ρ и умножим слева и справа на dl:
ρj = λ(Eкул + Eстор) | dl,
ρ(jdl) = Eкулdl + Eсторdl,
∫2 |
ρ |
|
|
|
I |
|
dl = ∫2 |
Eкулdl + ∫2 |
Eсторdl , |
|||||
|
|
S |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
I ∫2 |
|
ρdl |
= ∫2 |
Eкулdl + ∫2 |
Eсторdl , |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
S |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= R12 |
|
|
|
|||
R |
|
|
= I |
2 |
ρdl |
. Здесь R12 – сопротивление участка цепи 1-2. Если участок однородный, то |
||||||||
|
|
∫1 |
|
|||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R = |
|
ρl |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
IR12 = ∫2 Eкулdl + ∫2 Eсторdl .
1 |
1 |
Введем обозначение
U12 = IR12 – падение напряжения,
ϕ1 −ϕ2 = ∫2 Eкулdl – разность потенциалов,
1
E = ∫2 Eсторdl – э. д. с.
1
IR12 = (φ1 – φ2) ± E12 – обобщенный закон Ома для участка цепи.
Итак, имеются три термина, характеризующих участок цепи. Каждый из них является энергетической характеристикой. Их различие заключается в следующем:
|
|
|
Aкул.сил |
||
ϕ1 |
−ϕ2 = |
|
|
– разность потенциалов, характеризуется работой кулоновских сил; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
q0 |
|
E |
|
Aстор. сил |
|||
= |
|
|
– ЭДС, характеризуется работой сторонних сил; |
||
q0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
U12 = Aкул.сил + Aстор. сил – падение напряжения в цепи, характеризуется работой и тех, и q0
других сил.
Вольтметр как прибор показывает только разность потенциалов. Эта разность потенциалов равна падению напряжения, только если на этом участке отсутствует ЭДС.
+Q |
|
|
–Q |
§ 3. Емкость. Энергия поля |
+ + |
– |
Зарядим два проводника одинаковыми по величине и противо- |
||
|
– |
|
положными по знаку зарядами. Заряды распределятся по по- |
|
φ1 |
+ |
– |
φ2 |
верхности проводника так, чтобы поле внутри проводника было |
|
+ |
– |
|
|
|
+ |
– |
|
равно нулю. Такое распределение зарядов единственно для дан- |
|
+ |
– |
|
ной формы проводника. Тогда каждая последующая порция за- |
|
|
|
|
рядов будет распределяться подобно предыдущей. В результате при увеличении заряда в n раз поле в каждой точке пространства также увеличивается в n раз.
↑ Q в n раз ↑ E в n раз ↑ (φ1 – φ2) в n раз.
Следовательно, между зарядом и разностью потенциалов существует прямо пропорциональная зависимость.
Q ~ (φ1 – φ2),
Q = C(φ1 – φ2); коэффициент пропорциональности C – это взаимная емкость двух про-
водников.
|
|
Q |
1 Кл |
= [1Ф]. |
|||
C = |
|
|
, C = |
1 |
|
||
ϕ1 |
−ϕ2 |
||||||
|
|
В |
|
||||
1 мкФ = 10-6 Ф,
1 пФ = 10-12 Ф.
Емкость не зависит от Q. Это чисто геометрический параметр, который определяется геометрическими размерами и диэлектрическими свойствами среды.
Пример. Емкость уединенного проводника
Уединенный проводник – проводник, удаленный от предметов. Роль второго проводника играют окружающие предметы.
Cуед = Qϕ .
Шар Q Чтобы E внутри шара было равно нулю, заряд должен быть равномерно распределен по поверхности шара.