МЭИ(ТУ) Физика

2. Оценка погрешностей прямых измерений при однократных наблюдениях

Систематическая погрешность измерения ∆х в общем случае складывается из инст-

рументальной погрешности ∆xинс, методической погрешности и погрешности считывания.

Так как в лаборатории не проводится дополнительное исследование используемых измерительных приборов, то инструментальную погрешность будем оценивать ее предельным значением.

Металлические измерительные линейки изготовлены с достаточной точностью. Их миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ± 0,05 мм. Однако, кроме этой погрешности необходимо учитывать погрешность считывания, которая, при из-

вестном навыке, может быть доведена до четверти деления, т.е. ± 0,25 мм. Тогда пре-

дельное значение погрешности будет порядка ± 0,3 мм. Учитывая, что указатели в лабораторных установках отстоят от поверхности линеек на несколько миллиметров, в

качестве предельной погрешности измерения будем брать величину, равную ± 0,5 мм (в некоторых работах она может достигать 1 ÷ 2 мм). Предельная инструментальная погрешность штангенциркуля определяется точностью нониуса. Так, если она равна

0,1 мм, то погрешность измерения принимается равной ± 0,1 мм.

Погрешность термометра, барометра указывается в паспорте прибора. Так, для ртутного стеклянного термометра ТЛ-2 с пределом измерения 0 ÷ 100 °С при цене де-

ления 1 °С предельная инструментальная погрешность равна ± 2 °С.

Предельную инструментальную погрешность стрелочных приборов (амперметры, вольтметры и т. д.) можно определить по классу точности прибора

K= (∆x)инс 100% ,

хmax

где xmax – конечное значение шкалы, т. е. наибольшее значение измеряемой величины, указанное на шкале.

Цифровые измерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства, поэтому при определении их погрешности необходимо руководствоваться их паспортными данными, указанными на учебных стендах. В любом случае их предельная инструментальная погрешность не может быть ниже единицы последнего разряда, высвечиваемого на индикаторной шкале прибора.

Для приборов, у которых указатели перемещаются скачком с одного деления на другое (например, секундомеры), предельное значение инструментальной погрешности принимается равным цене наименьшего деления его шкалы. Так, у секундомера с це-

ной наименьшего деления 0,2 с инструментальная погрешность равна ± 0,2 с.

3. Случайные погрешности

Проведя измерения одной и той же величины, одним и тем же прибором, при одном и том же методе измерения, можно обнаружить, что численные результаты будут отличаться друг от друга на величину большую, чем инструментальная погрешность. В этом случае говорят о случайной погрешности измерений. Каждое численное значение, полученное в ходе такого эксперимента, будет являться случайной величиной. Случайные величины изучаются в математической статистике и с помощью этого раздела математики можно оценить как результат измерения, так и погрешность измерений.

Допустим, что мы провели большую серию из n измерений одной и той же величины. Из-за наличия случайных погрешностей отдельные значения из этой серии х1, х2, х3, …, xn не одинаковы. Для наглядности представления разобьем весь диапазон измерен-

ных значений на равные интервалы ∆хi (причем ∆xi << x ). Найдем, сколько значений измеряемой величины попали в данный интервал ∆хi, и построим гистограмму (с греч.

– ступенчатая кривая), высота каждой ступеньки которой пропорциональна числу таких «попаданий» (рис. 1).

Рис. 1

Чем точнее проведены измерения, тем более узкой будет полученная кривая, и наоборот, при грубых измерениях кривая распределения будет более широкой, расплывчатой. Пунктирная кривая, изображенная на рис. 1, представляет собой функцию плотности вероятности распределения случайных величин хi. Эта функция позволяет с за-

данной вероятностью определить результат измерений и величину случайной погрешности измерения.

Очевидно, что в отсутствие систематической погрешности величиной, ближе всего лежащей к истинному значению, будет являться среднеарифметическое значение из всех измерений.

Следовательно, в качестве действительного значения измеряемой величины нужно взять ее среднеарифметическое значение (которое в дальнейшем будем называть просто средним значением)

х = х1 + х2 ... + хn . n

Так как среднее значение x определяется суммой случайных величин, то и оно тоже является случайной величиной. Поэтому, если провести еще одну серию из n измерений, то в общем случае можно получить несколько другое значение x . При расчетах следует предварительно округлять значение x до трёх значащих цифр.

Вторая часть проблемы заключается в том, чтобы указать доверительный интервал, в котором с достаточно большой надежностью лежит истинное значение измеряемой величины. В пределах этого интервала должна лежать большая часть уже проведенных измерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем). Следовательно, этот интервал должен быть связан с шириной функции распределения погрешностей (см. пунктирную кривую на рис. 1). В математической статистике эта ширина характеризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения, который описывается функцией Гаусса, то среднеквадратичное отклонение можно будет найти по формуле

n

∑(x − xi )2

(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностей нормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторного практикума не проводятся.)

Так как на практике проводятся серии с малым числом измерений (n = 3 или n = 5), то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность, равную

n

∑(x − xi )2

Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измерений n, так и от доверительной вероятности P. Доверительную вероятность, как правило, принимают P = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают P = 0,95.

Значения коэффициента Стьюдента можно найти по табл. 1.

Таблица 1.

4. Суммарная погрешность прямого измерения

Если мы определили предельную погрешность измерения ∆хинстр, связанную с использованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайную погрешность ∆xсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения дается формулой

∆x = (∆xсл )2 + (∆хинс )2 .

При расчетах следует предварительно округлять значения случайной и предельной погрешностей до трех значащих цифр.

Результат прямого измерения следует записать в следующей форме

х = х ± ∆х, Р = 0,95.

Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежит от

х − ∆х до х + ∆х.

При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими прави-

лами округления:

1.Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до одной значащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление производят до двух значащих цифр.

2.Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.

3. При округлении целых чисел все отброшенные при округлении цифры заменяются множителем 10m, где m – число отброшенных цифр. (Например, если ∆х = 1327, то следует записать ∆х = 13 102, если же ∆х = 851, то после округления получим

∆х = 9 102.)

4. Если при округлении первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то предыдущая, сохраняемая цифра, увеличивается на единицу. В противном случае эта цифра не изменяется.

Например, если после расчетов сказалось, что погрешность измерения равна 0,47; 0,064; 0,128; 342, то следует записать:

∆x1 = 0,5 ; ∆x2 = 0,06 ; ∆x3 = 0,13 ; ∆x4 = 3 102 .

Если при этом измеряемая величина равна 3,425; 12,8356; 9,025; 8395,7, то результат необходимо представить в форме:

x1 ± ∆x1 = 3,4 ± 0,5 ; Р = 0,95;

x2 ± ∆x2 =12,84 ± 0,06 ; Р = 0,95;

x3 ± ∆x3 = 9,03 ± 0,13; Р = 0,95;

x4 ± ∆x4 = (84 ± 3) 102 ; Р = 0,95.

5. Погрешности при косвенных измерениях

При косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений (например, объем куба V = a3). Зная эту функциональную зависимость F = f(x) можно найти ее приращение при малом изменении аргумента:

Приближенно считая, что dF ≈ ∆F, a dx ≈ ∆x, получим

(например, для куба ∆V = 3a 2 ∆a ).

указывать в константах 5 значащих цифр, например π =3,1416; g = 9,8156 м/с2. Относительная погрешность констант в этом случае считается равной нулю.

Для справочных данных и для данных установки (если их погрешность не оговорена) погрешность составляет 5 единиц разряда, следующего после последней значащей цифры. Так, если на установке задан момент инерции маятника I0 = 0,12 кг м2, то ∆I0 = 0,005 кг м2.

Если в расчетах используются не все значащие цифры справочных данных, то в качестве погрешности этой величины берется погрешность округления. Очевидно, что значения справочных данных необходимо брать такими, чтобы их относительной погрешностью можно было пренебречь.

Так, число Авогадро NA = (6,022092 ± 0,000006) 1023 1/моль. Если взять

NA = 6,0 1023 1/моль, то погрешность ∆NA = 0,02 1023 1/моль, ее же относительная вели-

чина ∆N A = 0,003 , т. е. составит около 3%.

N A

6. Пример статистической обработки результатов измерений

Пусть необходимо найти длину окружности диска. Допустим, мы пять раз измерили его диаметр с помощью штангенциркуля, точность нониуса которого равна 0,1 мм. Результаты измерений сведем в табл. 2.

Таблица 2

Зная D , найдем ∆Di = D − Di . Соответствующие данные занесены в табл. 2. Слу-

чайную погрешность найдем по формуле Стьюдента. Учитывая, что при n = 5 и Р = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,776, получим

С учетом округления ∆Dсл = 0,18 мм.

Так как диаметр измерялся штангенциркулем, то в качестве инструментальной погрешности средства измерения возьмем величину ∆Dинс = 0,1 мм.

В результате суммарная погрешность прямого измерения

∆D = ∆Dсл2 + ∆Dинс2 = 0,182 + 0,12 = 0,2059 мм

или с учетом округления ∆D = 0,21 мм.

Окончательный результат прямого измерения представим в виде

D = (12,58 ± 0,21)мм, Р = 0,95.

Длина окружности L = πD. Погрешность косвенного измерения

∆L = π 2 ∆D2 + D2 ∆π 2 ,

относительная погрешность этого измерения

∆L = 0,7 мм. Тогда окончательный результат измерения можно представить в виде

L = (39,5 ± 0,7)мм, Р = 0,95.

7. Указания к составлению графиков

Результаты измерения физических величин часто удобно представить в виде графиков, наглядно показывающих связь между физическими величинами.

Для построения графиков удобно пользоваться миллиметровой бумагой, придерживаясь следующей последовательности:

1.Выбрать масштабы для откладываемых на графике величин.

2.Построить шкалу на осях, если график выполняется в декартовой системе коор-

динат.

3.Нанести экспериментальные точки и построить по ним график.

При выборе масштабов надо исходить из следующего:

а) на графике должны уместиться значения всех измеренных величин; б) начало координат не обязательно должно совпадать с нулевым значением откла-

дываемой величины. В качестве начала координат можно взять целое число, ближайшее к наименьшему значению измеренных величин;

в) график должен быть удобен для использования, поэтому одно деление масштабной линейки должно соответствовать 1, 2, 5, 10 или 25, 50 единицам откладываемой величины или такому же количеству долей единицы. Промежуточные значения, получаемые на опыте, на осевых шкалах не наносятся. У концов осей необходимо указать выбранную единицу измерения.

Наносимые на графике по экспериментальным данным точки надо изображать в виде кружочков радиусом менее 1 мм. По нанесенным экспериментальным точкам проводят плавную кривую, притом не по точкам, а между ними, так, чтобы разброс точек по обе стороны кривой был примерно одинаков. Недопустимо проводить через экспериментальные точки ломаную прямую, состоящую из отрезков прямых, соединяющих соседние точки.

ПОРЯДОК РАБОТЫ В ФИЗИЧЕСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ

1.Каждой студенческой группой при проведении лабораторных занятий руководят два преподавателя.

2.Студенты группы разбиваются на бригады по 2-3 человека. Каждая бригада имеет свой график прохождения физического практикума.

3.Перед приходом на очередное занятие каждый студент должен к нему подготовиться теоретически и подготовить заранее форму отчета (форма отчета приводится ниже).

4.До того как студент приступает к работе, его опрашивает преподаватель, проверяя степень подготовки к ней.

5.В конце занятия, после проверки правильности проведенных измерений и предварительных расчетов, преподаватель подписывает протокол работы.

6.На следующее занятие студент должен принести полностью оформленный отчет предыдущей работы, включая расчет погрешностей, а также заготовленную форму отчета к следующей работе. В противном случае студент не допускается к выполнению следующей работы. Полностью оформленный отчет должен быть подписан преподавателем (вторая подпись преподавателя).

7.После каждого цикла работ проходит защита сделанных работ. При защите студент должен знать как теорию, так и порядок проведения лабораторных работ.

ФОРМА ОТЧЕТА

1.Фамилия, имя студента.

2.Факультет, группа, номер бригады.

3.Название работы.

4.Краткая теория к работе.

5.Схема установки. Пояснения к схеме.

6.Таблица спецификации измерительных приборов.

7.Данные установки (заполняются в процессе выполнения работы).

8.Таблицы результатов измерений.

9.Расчетная формула и формулы для погрешностей.

10.Предварительный расчет (выполняется к окончанию работы).

11.Полный расчет (выполняется к следующему занятию).

12.Окончательное значение измеренной величины

х= х ± ∆х.