МЭИ(ТУ) Физика

Таблица 2

11.По результатам табл. 2 построить график t2(l) и найти l0 как координату точки пересечения прямой t1 и кривой t2(l) (рис. 5).

12.Установить расстояние l0 между точкой O и подвижным ножом (рис. 2).

13.Измерить время 50 полных колебаний t2′ (маятник

14. Вычислить lпр как расстояние между ножами (см. рис. 2).

3. Обработка результатов измерений

I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

1. По формуле (3), зная t , найти T математического маятника.

2.По формуле (2) найти значение g для опыта с математическим маятником.

3.Вычислить предельное значение погрешности для t по обычным правилам.

4.Найти погрешность косвенных измерений g из формулы

где ∆T = ∆nt .

5. Записать окончательный результат g = g ± ∆g с учетом правил округления.

II. ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК

1.По формуле (3), зная t′, найти Т′.

2.По формуле (6) определить значение g для опыта с оборотным маятником.

3.Найти погрешность косвенного измерения g по формуле

где ∆lпр находится как погрешность графика,

4. Записать окончательный результат g = g ± ∆g с учетом правил округления.

Контрольные вопросы

1.Что такое: а) математический маятник; б) физический маятник?

2.Записать основное уравнение динамики вращательного движения.

3.Сформулировать теорему Штейнера.

4.Вывести формулу для расчета ускорения силы тяжести в случае математического

ифизического маятников.

5.Что называется приведенной длиной физического маятника?

Лабораторная работа № 23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И ЭЛЛИПСОИДОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: измерение моментов инерции двух тел: груза № 1 (куб) и груза № 2 (параллелепипед), а также построение для них эллипсоидов инерции.

1. Описание установки и метода измерений

Прибор «Крутильный маятник» представлен на рис. 1. На основании 2, оснащенном четырьмя ножками с регулируемой высотой, прикреплен миллисекундомер 1. В основании закреплена колонка 3, на которой при помощи зажимных винтов закреплены кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7. На кронштейне 5 закреплена стальная плита 8, которая служит основанием фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и угловой шкале 11. Электромагнит 10 может изменять свое положение на плите, а его положение относительно фотоэлектрического датчика показывает на

угловой шкале стрелка, прикрепленная к электромаг- Рис. 1 ниту.

Конструкция рамки позволяет закреплять грузы 1, 2, значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Грузы крепятся при помощи подвешенной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками. Балка устанавливается путем затягивания гаек на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке. Фотоэлектрический датчик и электромагнит соединены с миллисекундомером 1 при помощи разъема.

Крутильный маятник представляет собой симметричное твердое тело (рамку), закрепленное на упругой струне, проходящей через центр масс этого тела (рис. 2). При

повороте маятника на небольшой угол α в струне возникает упругий крутящий момент, стремящийся вернуть систему в исходное состояние. Величина крутящего момента Mz = –ηα. Здесь η – угловая жесткость упругой струны. Знак "минус" указывает на то, что вектор момента силы упругости направлен против вектора углового перемещения. Если пренебречь потерями в системе, то уравнение динамики вращательного движения для маятника будет иметь вид

Iε = M z .

Учитывая, что ε = d 2α2 , dt

После преобразования получим

d 2α2 +η α = 0 . dt I

Отсюда собственная частота системы

ω0 = ηI .

Тогда период колебаний крутильного маятника вокруг вертикальной оси будет находиться по формуле

где I – момент инерции рамки с грузом, η – угловая жесткость упругой струны. Колебания, совершаемые маятником, будут гармоническими при условии, что на-

чальный угол отклонения системы от положения равновесия был невелик.

Момент инерции рамки с грузом I можно найти, если экспериментально измерить период колебаний рамки с грузом

Период Т крутильных колебаний вычисляется по формуле

крут n

где n – число полных крутильных колебаний (например, n = 10), t – время n полных крутильных колебаний.

Если измерить период крутильных колебаний ненагруженной рамки Т0 = t0/n, то можно найти экспериментальное значение момента инерции рамки без грузиков.

Найденные экспериментально моменты инерции двух тел можно сравнить со значениями моментов инерции этих тел, рассчитанными по теоретическим формулам. Выведем формулы, по которым можно рассчитать момент инерции параллелепипеда относительно

осей х, у, z (рис. 3). Масса груза m. Размеры груза № 2 а, b, с определяются экспериментально.

Разобьем параллелепипед высотой с на пластинки толщиной dz. Найдем сначала момент инерции тонкой пластины размерами а, b относительно оси z – Iz. Для этого разобьем пластину на тонкие стержни длиной b и шириной dx. Воспользуемся формулой момента инерции

тонкого однородного стержня массой dm относительно оси, проходящей через центр масс стержня, а также теоремой Штейнера. Для тонкого стержня имеем:

dI z = 121 dm b2 + dm x 2 ,

где dm = ρ·b dx dz, ρ – плотность материала, из которого изготовлен груз, х – расстояние от оси z. Интегрируя по х, найдем ∆Iz пластинки:

Момент инерции параллелепипеда (всех пластин) относительно оси z найдем, интегрируя по z ∆Iz пл.

Аналогично определяются моменты инерции параллелепипеда относительно двух

Таким образом, измерив с помощью штангенциркуля геометрические размеры грузов №№ 1, 2, зная массы грузов (заданы на установке), по формуле (7), (8), (9), (10) можно найти теоретические значения моментов инерции Iβ грузов №№ 1, 2 относительно осей х, у, z и произвольной оси, соответствующей повороту грузов на угол β.

Наглядное представление о значении Iβ вдоль любого направления можно получить при помощи эллипсоида инерции. Можно показать, что полуоси эллипсоида инерции

ное представление о величине всех возможный моментов инерции относительно осей, проходящих через центр масс. Для куба с Ix = Iy = Iz эллипсоид инерции трансформируется в сферу.

Экспериментально можно найти Ix, Iy, Iz и построить сечения эллипсоида инерции

(рис. 4). По графику для данного направления, характеризуемого углом β, находим ρ. Тогда искомый момент инерции будет равен

Полученное значение I нужно сравнить с экспериментальным значением момента инерции.

2. Порядок выполнения работы

1. Измерить линейные размеры грузов (3 раза в разных точках). Результаты изме-

2. Измерение момента инерции ненагруженной рамки

1)Включить установку, нажав на клавишу СЕТЬ*.

2)Установить указатель электромагнита на деление 60° угловой шкалы. Включив цепь электромагнита, зафиксировать рамку прибора.

3)Нажать на кнопку СБРОС.

4)Нажать на кнопку ПУСК, при этом рамка освобождается и начинает совершать крутильные колебания.

5)Когда на счетчике периодов колебаний появится цифра 9, нажать на кнопку СТОП. При этом отсчитывается еще одно полное колебание, 10-е, и фиксируется время 10 полных колебаний.

6)Измерить время 10 полных крутильных колебаний 5 раз, записав результаты измерений в табл. 2.

* Перед включением установки с помощью зажимных винтов 5, 6 на струне совместить плоскость рамки с плоскостью фотоэлектрического датчика 9 (рис. 1).

3. Измерение моментов инерции груза № 1 (куба) относительно главных осей х, у, z

(рис. 3).

1)Укрепить груз № 1 на рамке так, чтобы одна из главных осей х (у или z) была осью колебаний**.

2)Измерить время 10 полных крутильных колебаний 5 раз, записав результаты измерений в табл. 3.

3)Повернуть куб на угол β = 45° так, чтобы ось колебаний проходила через середину одного из ребер куба.

4)Найти tβ 10 полных крутильных колебаний.

5)Убедиться, что tβ = t для куба.

4. Измерение моментов инерции груза 2 (параллелепипеда) относительно главных осей х, у, z (рис. 4).

1)Укрепить груз 2 на рамке так, чтобы ось х была осью колебаний (см. рис. 4).

**Грузы на рамке укреплять с особой осторожностью, чтобы не оборвать струну.

2) Измерить время tx 10 полных крутильных колебаний 5 раз, записав результаты измерений в табл. 4.

3. Обработка результатов измерений

1)По результатам измерений табл. 2 найти по формуле (4) момент инерции ненагруженной рамки.

2)Вычислить по формуле (2) момент инерции рамки с кубом (груз № 1) относительно одной из осей симметрии по результатам табл. 3.

3) По формуле (5) найти момент инерции куба относительно одной из осей симметрии Ix.

соида инерции куба плоскостями y, z; x, y и x, z.

5) Построить сечение эллипсоида инерции куба одной из плоскостей, например, у,

z.

6)Найти по данным табл. 4, 5, 6, 7 моменты инерции рамки с грузом 2 (параллелепипеда и рамки) относительно осей х, у, z по формуле (2), а по формуле (5) найти I2x, I2y, I2z для груза 2.

7)По экспериментальным значениям I2x, I2y, I2z найти ρх, ρу, ρz и построить на миллиметровой бумаге сечения эллипсоида инерции для параллелепипеда плоскостями у, z; x, z.

8)По результатам измерений геометрических размеров грузов (табл. 1) и заданным на установке массам грузов m1, m2 рассчитать по формулам (7), (8), (9), (10) теоретические значения моментов инерции для куба и параллелепипеда.

9)Найти погрешности измерения I0